巧用“裂項(xiàng)”構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義求不定式極限

紀(jì)定春

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 610068)

一、導(dǎo)數(shù)定義與不定式極限簡介

導(dǎo)數(shù)是高中重要的知識(shí)模塊,是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).目前，大部分高中數(shù)學(xué)教師并不重視對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，正如章建躍先生所講：“當(dāng)下的概念課教學(xué)多是一種走‘形式化’的過程，以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的現(xiàn)象比較普遍.”不僅僅是數(shù)學(xué)概念的教學(xué)已經(jīng)“形式化”，而是對數(shù)學(xué)本質(zhì)的學(xué)習(xí)已大幅度削弱，如對數(shù)學(xué)中的定義、定理、命題、推理等的學(xué)習(xí).大部分的數(shù)學(xué)教學(xué)都是知識(shí)講解與解題訓(xùn)練相結(jié)合，這對短期內(nèi)提升學(xué)生學(xué)習(xí)成績是有意義的，但是從長遠(yuǎn)來看，勢必會(huì)嚴(yán)重阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，應(yīng)該值得深思.接下來，將對導(dǎo)數(shù)的定義和不定式極限作簡單的介紹.

導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率為

則稱它是函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作y=f′(x0)，即

這就是函數(shù)定義在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù).

不定式極限若函數(shù)f和g滿足：

二、巧用“裂項(xiàng)”構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義求不定式極限

1.含參數(shù)恒成立問題

例1(2016年四川高考理科卷第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.

(1)略；

解析問題(1)解答，略.

令h(x)=x-1-e1-x+lnx，顯然h(1)=0.

評注該方法是巧用“裂項(xiàng)”法，將極限為零的分式結(jié)構(gòu)裂項(xiàng)，把原極限問題轉(zhuǎn)化成正常極限和導(dǎo)數(shù)的定義，通過導(dǎo)數(shù)定義將分式結(jié)構(gòu)極限問題專化成整式極限問題，利用導(dǎo)數(shù)定義作為橋梁，建立分式極限與整式極限之間的關(guān)系，充分體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想.

2.求參數(shù)的最值問題

(1)略；(2)略；

令函數(shù)h(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，則有h(0)=ln(1+0)-ln(1-0)=0.

評注該方法巧用“裂項(xiàng)”法，將分母結(jié)構(gòu)裂成兩項(xiàng)之差，然后構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義，把不定式(分式)極限問題轉(zhuǎn)化成整式極限問題，展現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)定義在求不定式極限問題中的重要作用和地位，充分地體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想.

3.求參數(shù)的取值范圍

例3(2015年山東理科數(shù)學(xué)第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R.

(1)略；(2)若?x>0，f(x)≥0成立，求a的取值范圍.

解析問題(1)解答，略.對于問題(2)，對?x>0，f(x)≥0成立，等價(jià)對任意x>0，ln(x+1)+a(x2-x)≥0恒成立.考慮分離參數(shù)a，則需分類討論.

當(dāng)x=1時(shí)，顯然有l(wèi)n2+a(1-1)=ln2≥0，即a∈R.

令h(x)=ln(1+x)，則h(0)=ln(1+0)=0.

綜上所述，參數(shù)a的取值范圍為[0,1].

評注該方法巧用分類參數(shù)法和“裂項(xiàng)”法，將一個(gè)不定式極限問題轉(zhuǎn)化成可求極限的導(dǎo)數(shù)定義問題，降低了思維的難度，同時(shí)也說明高中數(shù)學(xué)教學(xué)要注重概念的教學(xué).

(1)略；

解析問題(1)解答，略.對于問題(2)，由問題(1)可知，a=1，b=1.

令g(x)=-2xlnx+x2-1，可得g(1)=0.

綜上所述，k的取值范圍為(-∞,0].

評注該方法先分離參數(shù)，再用“裂項(xiàng)”法將不定式極限轉(zhuǎn)化成導(dǎo)數(shù)的定義，最后利用導(dǎo)數(shù)的定義將一個(gè)分式極限轉(zhuǎn)化成整式極限.

李邦河院士在獲得華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的報(bào)告中就指出：“數(shù)學(xué)玩的是概念，而不是純粹的技巧.”在一些難題、技巧上下功夫，是一種舍本逐末的做法.數(shù)學(xué)概念作為學(xué)生數(shù)學(xué)生長發(fā)育的細(xì)胞，是建構(gòu)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)生長發(fā)育“干細(xì)胞”的教學(xué)，因此數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是注重?cái)?shù)學(xué)概念的教學(xué).導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)，要深度地剖析導(dǎo)數(shù)的定義內(nèi)涵與外延、導(dǎo)數(shù)定義的構(gòu)成要素、導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)等，讓學(xué)生深刻地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與代數(shù)形式.

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)該是注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，是數(shù)學(xué)方法、思想、精神的深度教學(xué)，而不是走“形式化”的解題教學(xué).正如著名的數(shù)學(xué)家米山國臧所說：“縱然把數(shù)學(xué)知識(shí)忘記了，但數(shù)學(xué)的精神、思想、方法也會(huì)深深地銘刻在頭腦里.”數(shù)學(xué)知識(shí)是具體化的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)中的精華部分，掌握了數(shù)學(xué)的方法、思想和精神也就統(tǒng)領(lǐng)了數(shù)學(xué)知識(shí).例如，在導(dǎo)數(shù)定義的教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生體會(huì)分割的思想、極限(逼近)的思想、整體到局部的思想、從特殊到一般的思想等，讓學(xué)生的思維方式由靜態(tài)向動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)變，感受無限的魅力，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.