巧用“裂項”構造導數定義求不定式極限

紀定春

(四川師范大學數學科學學院 610068)

一、導數定義與不定式極限簡介

導數是高中重要的知識模塊,是高中數學學習的重點和難點.目前，大部分高中數學教師并不重視對數學概念的教學，正如章建躍先生所講：“當下的概念課教學多是一種走‘形式化’的過程，以解題教學代替概念教學的現象比較普遍.”不僅僅是數學概念的教學已經“形式化”，而是對數學本質的學習已大幅度削弱，如對數學中的定義、定理、命題、推理等的學習.大部分的數學教學都是知識講解與解題訓練相結合，這對短期內提升學生學習成績是有意義的，但是從長遠來看，勢必會嚴重阻礙學生數學思維的發展，應該值得深思.接下來，將對導數的定義和不定式極限作簡單的介紹.

導數定義設函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率為

則稱它是函數y=f(x)在x=x0處的導數，記作y=f′(x0)，即

這就是函數定義在點x=x0處的導數.

不定式極限若函數f和g滿足：

二、巧用“裂項”構造導數定義求不定式極限

1.含參數恒成立問題

例1(2016年四川高考理科卷第21題)設函數f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.

(1)略；

解析問題(1)解答，略.

令h(x)=x-1-e1-x+lnx，顯然h(1)=0.

評注該方法是巧用“裂項”法，將極限為零的分式結構裂項，把原極限問題轉化成正常極限和導數的定義，通過導數定義將分式結構極限問題?；烧綐O限問題，利用導數定義作為橋梁，建立分式極限與整式極限之間的關系，充分體現了化歸與轉化思想.

2.求參數的最值問題

(1)略；(2)略；

令函數h(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，則有h(0)=ln(1+0)-ln(1-0)=0.

評注該方法巧用“裂項”法，將分母結構裂成兩項之差，然后構造導數定義，把不定式(分式)極限問題轉化成整式極限問題，展現了導數定義在求不定式極限問題中的重要作用和地位，充分地體現了化歸與轉化思想.

3.求參數的取值范圍

例3(2015年山東理科數學第21題)設函數f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R.

(1)略；(2)若?x>0，f(x)≥0成立，求a的取值范圍.

解析問題(1)解答，略.對于問題(2)，對?x>0，f(x)≥0成立，等價對任意x>0，ln(x+1)+a(x2-x)≥0恒成立.考慮分離參數a，則需分類討論.

當x=1時，顯然有ln2+a(1-1)=ln2≥0，即a∈R.

令h(x)=ln(1+x)，則h(0)=ln(1+0)=0.

綜上所述，參數a的取值范圍為[0,1].

評注該方法巧用分類參數法和“裂項”法，將一個不定式極限問題轉化成可求極限的導數定義問題，降低了思維的難度，同時也說明高中數學教學要注重概念的教學.

(1)略；

解析問題(1)解答，略.對于問題(2)，由問題(1)可知，a=1，b=1.

令g(x)=-2xlnx+x2-1，可得g(1)=0.

綜上所述，k的取值范圍為(-∞,0].

評注該方法先分離參數，再用“裂項”法將不定式極限轉化成導數的定義，最后利用導數的定義將一個分式極限轉化成整式極限.

李邦河院士在獲得華羅庚數學獎的報告中就指出：“數學玩的是概念，而不是純粹的技巧.”在一些難題、技巧上下功夫，是一種舍本逐末的做法.數學概念作為學生數學生長發育的細胞，是建構數學大廈的基礎.數學概念的教學，是培養學生數學生長發育“干細胞”的教學，因此數學教學應該是注重數學概念的教學.導數的概念教學，要深度地剖析導數的定義內涵與外延、導數定義的構成要素、導數定義的結構等，讓學生深刻地理解導數的幾何意義與代數形式.

數學概念的教學應該是注重培養學生數學思維的教學，是數學方法、思想、精神的深度教學，而不是走“形式化”的解題教學.正如著名的數學家米山國臧所說：“縱然把數學知識忘記了，但數學的精神、思想、方法也會深深地銘刻在頭腦里.”數學知識是具體化的數學思想，數學思想方法是數學中的精華部分，掌握了數學的方法、思想和精神也就統領了數學知識.例如，在導數定義的教學過程中，應當讓學生體會分割的思想、極限(逼近)的思想、整體到局部的思想、從特殊到一般的思想等，讓學生的思維方式由靜態向動態轉變，感受無限的魅力，進而促進學生數學思維的發展.