函數思想在高中數學解題中的應用

王 鵬

(江蘇省徐州市銅山區鄭集鎮鄭集高級中學 221143)

函數是高中階段數學知識的一項重要板塊，在生活形態中屬于量與量之間的變換，能夠為其它知識學習提供向導作用.為此，利用函數思想優化學生解題過程，提高解題能力，不僅是實現函數思想滲透的一種關鍵途徑，更是高中數學教學的一大特色與魅力.

一、函數思想相關分析

函數是數學的基本概念，是函數思想發展的基礎.因此，教師在應用函數思想輔助解題時，必須充分了解函數有關定義及性質，具體包括周期函數、單調遞增/遞減函數、奇/偶函數、一次函數、二次函數、指數函數(如圖1)、對數函數(如圖2)等，在此基礎上體會函數思想.

在高中數學中，許多知識中都體現了函數思想，包括方程、不等式、線性規劃、隨機變量、算法等，可謂是無處不在.在解題教學中，教師要注重分析不同知識與函數之間的關系，尋求函數思想運用的切入點.

二、函數思想在高中數學解題中的運用過程

1.引用函數單調性，求解不等式問題

函數與不等式屬于兩個性質完全不同的知識結構，在高中數學教學中，它們卻有著密切的聯系.不等式性質很大程度上反映了函數單調性.因此，在解題教學中，教師可以利用函數思想引導學生用函數的觀點審視不等式，更好地把握不等式本質特征.為此，在筆者看來，不等式中最值與恒成立問題是函數思想滲透的切入點.相關例題如下：

例1對任意x∈[-1,1],f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值大于零恒成立，求a的取值范圍.

2.引入函數解析式，求解數列問題

高中階段學習的等比、等差數列本就是一類自變量為正整數的特殊函數，與函數思想有著密切的聯系，不同的數列問題中無形中會隱藏著函數的某種特征.利用函數思想求解數列問題也是歷年高考中的重點考題.利用函數思想求解數列問題的途徑有很多，比如求解等差數列前n項和的最值問題時，可以將Sn看做關于n的二次函數，運用配方法，引入函數單調性知識解決問題.為了從“形”上幫助學生充分認識函數思想與數列知識之間的關系，本節以函數解析式的運用為例，分析相關數列問題的求解.

例2已知a1=1,a2=a3=a4=0,求數列{an}的通項公式.

3.引入函數與方程聯系，求解零點問題

函數思想是處理“數學型”問題的一種思維方法，描述的是現實生活中數量之間的變化關系.在問題解決中，從實際情境中建立對應函數模型，運用函數基本知識，實現問題的解決.方程類知識在教學中也孕育了函數思想，它的本質在于研究問題在運動中的等價關系，一般情況下習慣首先明確給出的未知量與已知量之間關系，通過構建方程或方程組，由未知量推導出已知量.雖然兩者看起來本質不同，但在實際操作中常常互相滲透，函數間的關系與方程之間可以互相轉換.

例3已知函數f(x)=xlnx-ax2-x(a∈R)，討論函數f(x)的零點情況.

通過審題發現，函數f(x)并不是所熟悉的函數模型，解析式包括對數、冪函數，此時需要首先確定函數定義域x∈(0,+).接下來引導學生對原函數進行變形，變為f(x)=x(lnx-ax-1)(a∈R)，同時用g(x)表示“lnx-ax-1”，二次變形為f(x)=xg(x).因為x≠0，因此對函數f(x)零點的討論可以轉為對函數g(x)零點情況的討論.解題過程進行到這一步時，引入函數思想中與方程之間的聯系，將對g(x)零點的討論等價轉化為討論方程lnx-ax-1=0的根的情況.但方程仍然不是我們熟悉的方程，此時可以重新從函數角度進行審視，將方程轉化為的形式，求解與y=a交點橫坐標，從而得出原函數f(x)的零點情況.

綜上所述，函數思想在高中解題過程中的運用，不僅展現了函數知識與其它板塊知識之間的聯系，還為解題提供了新思路，有利于培養學生創新意識，提高解題能力.為此教師要重視函數思想的滲透，優化解題過程.