求解一對解三角形中的最值問題

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

題目設△ABC的三邊長分別是a,b,c，p,q,r均是已知數且q+r>0,pq+pr+qr>0.

(1)若pa2+qb2+rc2=s，則△ABC面積的最大值為____；

(2)若△ABC的面積是S，則pa2+qb2+rc2的最小值為____.

解法1 設△ABC的長為c的邊所對的角是C.由q+r>0,pq+pr+qr>0，可得(p+r)(q+r)=pq+pr+qr+r2>r2≥0,p+r>0.

由余弦定理及均值不等式，可得

s=pa2+qb2+rc2=pa2+qb2+r(a2+b2-2abcosC)

即當且僅當

還可得當且僅當

即當且僅當

解法2 設BC=a,CA=b,AB=c，△ABC的面積為S.

由兩點間距離公式，可得