理清解答困難 提升思維品質
——以三道平面向量試題的一題多解為例

鄭 良

(安徽省合肥市第四中學 230000)

解題時，若審題不夠深入，只看到問題的表面現象，就會出現用運算代替思維(低效)甚至問題不可解(無效)的情況.這就提示我們要積累必要的知識、思想、方法(模型)，通過審題，將攝入的信息經過梳理、比對、分解、調整、加工、整合的過程，思維貫通后以合理的形式輸出.

平面向量是高中數學的重要內容，也是高考的熱點之一.平面向量兼顧“數”與“形”的兩重性，形成了其獨特的知識體系與思想方法體系.平面向量往往與三角、解析幾何、函數、不等式等知識交匯，從而呈現出表示方法多、聯系知識廣、解題思路靈活等特征.學生在解題時常常會遭遇困惑：是從形的角度還是從數的角度入手較好？ 如何找到比較簡捷的方法等等.本文通過對三道平面向量試題的一題多解，示范探尋解題的切入點，給出解法的合理性分析，比較解法的差異，期待能對大家的解題分析能力的提高及理性思維的提升有所幫助.為節省篇幅，本文以解答和點評的形式給出.

例1 已知平面向量a=(1,2)，b=(4,2)，c=ma+b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m=____.

解得m=2.

例2若向量a=(k,3)，b=(1,4)，c=(2,1)，已知2a-3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是____.

解法1 因為2a-3b與c的夾角為鈍角，又2a-3b=(2k-3,-6)，c=(2,1)，所以

解法2 2a-3b=(2k-3,-6)，c=(2,1)，記2a-3b與c的夾角為θ，故

由題意θ為鈍角，所以cosθ∈(-1,0)，

由cosθ<0，得k<3.①

在①的前提下兩邊平方整理得4k2+36k+81>0，即(2k+9)2>0，得

點評如何用數來刻畫鈍角？可用cosθ∈(-1,0)，其中θ為兩個向量的夾角，由于cosθ需要用分式表示，使得不等式“cosθ>-1”的求解相對麻煩.考慮余弦函數的有界性，只需在cosθ<0的基礎上去掉“cosθ=-1”，而“cosθ=-1”等價于兩個向量方向相反，而兩個向量方向相反是兩個向量共線的一種情況，對于兩個向量的共線關系可用向量共線定理來解決，通過差集就可以把該問題轉化為整式運算.這就是解法1優于解法2的原因.歸納一下兩個向量的夾角為銳角或鈍角的求解方式：①a與b的夾角為銳角?a·b>0且a與b不共線；②a與b的夾角為鈍角?a·b<0且a與b不共線.

例3 設a，b，c是單位向量，且a·b=0，則(a-c)·(b-c)的最小值為( ).

解法1 因為a，b是單位向量，且a·b=0，在平面直角坐標系中取a=(1,0)，b=(0,1)，又c是單位向量，設c=(cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π].

a-c=(1-cosθ,-sinθ)，

b-c=(-cosθ,1-sinθ)，

(a-c)(b-c)

=(1-cosθ,-sinθ)·(-cosθ,1-sinθ)

=-cosθ(1-cosθ)-sinθ(1-sinθ)