探秘立體幾何的模型構建

曾 敏

(江西省南昌市江西師范大學附屬中學 330046)

模型構建的本質是根據題意進行數學建模，提升空間想象能力.常見的立體幾何模型有長方體(正方體)模型、圓錐模型、球模型、圓柱模型等.用構建模型的方式來看待立幾問題，總結典型的立體模型，有助于提高解題能力.

一、長方體(正方體)模型

類型1 “三視圖”中的應用

例1某幾何體的三視圖如圖1所示，三個視圖中的正方形的邊長均為6，俯視圖中的兩條曲線均為圓弧，則該幾何體的體積為____.

模型反思大部分幾何體可通過對正方體或長方體分割得到，所以將三視圖問題放在正方體或長方體模型中研究，能夠快速得到直觀圖.

類型2 “補形”中的應用

解析依題可知PA2+PC2=AC2，∴PA⊥PC.

又∵PB⊥平面PAC，∴以PA,PC,PB為長、寬、高，作長方體如圖3所示.

則該長方體的外接球就是四面體P-ABC的外接球，

模型反思觀察條件與模型之間的內在聯系，利用補形的思想可巧妙構造長方體(正方體)模型.如：①三棱錐的三條側棱兩兩垂直，等效于一個“墻角”，可將“墻角”補形構造正方體或長方體；②三棱錐的三組對棱分別相等，等效于一個長方體的三條面對角線，可將三棱錐補形構造正方體或長方體；③正四面體補形構造正方體.

二、圓錐模型

例3 已知矩形ABCD，AB=2，BC=x，將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中，則( )．

A．當x=1時，存在某個位置，使得AB⊥CD

C．當x=4時，存在某個位置，使得AB⊥CD

D．?x>0時，都不存在某個位置，使得AB⊥CD

解析在翻折過程中，AB形成以BD所在直線為軸的圓錐側面，作點A關于直線BD的對稱點E，翻折過程中的垂直可轉化為AB能與圓錐的一條母線垂直，結合模型知，最大張角是∠ABE，從而得∠ABE≥90°.即 ∠ABD≥45°.

模型反思翻折問題中，抓住共面的線性角不變的性質構建圓錐模型，借助模型量化計算，培養抽象思維與直觀想象.

三、球模型

例4 已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形ABCD，△PAD為等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，空間一點M，滿足PM⊥MC，則點M在底面ABCD上的軌跡是( ).

A.圓的一部分 B. 橢圓的一部分

C. 雙曲線的一部分 D. 拋物線的一部分

解析如圖5，空間一點M，滿足PM⊥MC，則點M在以PC為直徑的球面上.

又因為點M在底面ABCD上，所以點M的軌跡是球面與底面ABCD的公共部分，即交集為圓.故選A.

模型反思抓牢動點的軌跡符合球的結構特征(動點到定點的距離等于定值).

四、圓柱模型

例5 如圖6，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是( ).

A.圓

B.橢圓

C.一條直線

D.兩條平行直線

解析由已知可得動點P的軌跡在圓柱面上.由于AB是平面α的斜線段，所以平面α斜截圓柱面，得到的截面圖形為橢圓.選B.

模型反思抓住動點的軌跡符合圓柱的結構特征(動點到定直線的距離為定值).

在探索立體幾何的問題中，巧構立體模型，不但可以提升學生的思維起點，培養學生的空間想象能力，而且還能讓學生發現數學美，體驗數學美.