坐標法解決向量小題

葉文明 李 陽

(浙江省松陽二中 323406)

一般來說，代數問題較為抽象，若能通過構造將之合理轉化為幾何問題，利用“數形結合”這一重要思想方法，往往可增強問題的直觀性，使解答事半功倍或獨具匠心，數學家華羅庚曾經說過：“數離開形少直觀，形離開數難入微.”利用數形結合的思想可構通代數、幾何之間的關系，實現難題巧解.

解方程組得λ=5,μ=8,∴λ+μ=13,

圖2

解得λ=5,μ=8,∴λ+μ=13.

解析本題主要考查平面向量及其運算，基本不等式等知識，意在考查考生分析問題解決問題的能力.

設△ABC外接圓半徑為1，由題意知m，n不能同時為正，

∴m+n<1①.

因為∠C=45°，O是△ABC的外心，所以∠AOB=90°.

兩邊同時平方得1=m2+n2+2mncos∠AOB,

所以m2+n2=1②,

圖3

代入x2+y2=2得m2+n2=1.

又y=-m-n>-1,∴m+n<1.

4.(2017紹興高三質量調測)向量a,b滿足|a|=4,b·(a-b)=0，若|λa-b|的最小值為2，則a·b為( ).

A.0 B.4 C.8 D.16

解析本題主要考查平面向量的模，數量積以及二次函數的最值等知識，以平面向量為載體，借助平面向量的模的最值求解，考查考生的坐標求解能力.

所以(a·b-8)2=0，故a·b=8，選C.

事實上，由已知可設a=(4,0)，由b·(a-b)=0得b⊥(a-b).

所以b的終點在如圖4以(2,0)為圓心的圓上.令b=(x,y),則x2-4x+y2=0，∴λa-b=(4λ-x,-y).

圖4

|λa-b|

化為x2-4x+4=0，得x=2.

所以a·b=(4,0)·(2,y)=8，故選C.

5.(2017屆浙江新高考研究聯盟考卷)

圖5

直線BC：4x+3y-12=0,

直線BI:x+2y-3=0,

直線CI： 3x+y-4=0.

由(x,y)=λ(3,0)+μ(0,4) 得x=3λ,y=4μ.

圖6

圖7

圖8

圖9

A -4 B.4 C.-2 D.0

正確答案為C.

圖1

圖10

圖11