例談一類三角混合題的求解策略

2020-08-24 04:44:36黃智銳江中偉

數理化解題研究 2020年22期

黃智銳江中偉

(廣東省梅州市虎山中學 514299)

近幾年來，全國和各省高考對三角函數部分的考查，在內容、題量、分值三個方面保持相對穩定的同時，加大了對三角函數和其他函數結合的一類新函數的考查，難度較大，往往都是壓軸題. 這樣的命題意在考查考生的計算能力、演繹推理能力、綜合應用知識解決問題的能力以及數學思想方法的應用，激發學生進一步學習的潛能. 近幾年來不斷在高考的相關問題中出現，成為高考題型中的一個創新，僅供參考.

一、sinx、cosx或tanx與一次函數的和或差相結合

此題型形如f(x)=asinx+bx+c、f(x)=acosx+bx+c或f(x)=atanx+bx+c(a,b,c∈R).

例1 設函數f(x)=ax-sinx.若a=1，求曲線y=f(x)在點(π,f(π))處的切線方程.

解析由已知得f(x)=x-sinx，求導得f′(x)=1-cosx，因為f(π)=π，f′(π)=2，故所求的切線方程為y-π=2(x-π)，即y=2x-π.

點評根據導數的幾何意義求解切線方程.

例2 設函數f(x)=3x+2cosx,g(x)=(ex-1)(e2x-5),若?x1∈(-,0]，?x2∈R，f(x1)+a≤g(x2)，則實數a的取值范圍是( ).

解析因為f′(x)=3-2sinx>0，所以f(x)在(-,0]上為增函數，所以f(x)max=f(0)=2.令t=ex(t>0)，則h(t)=(t-1)(t2-5)，h′(t)=(t+1)(3t-5).當時，h′(t)<0；當t>時，h′(t)>0.所以從而依題意可得即故應選D.

點評求導，確定f(x)max=f(0)=2，然后換元，構造函數求出g(x)=(ex-1)(e2x-5)的最小值，利用f(x)max+a≤g(x)min，列不等式求實數a即可.

請同學們思考：

1.若?x1∈(-,0]，?x2∈[-1,1]，其余條件不變，則實數a的取值范圍是____.

2.若?x1∈(-,0]，?x2∈[-1,1]，其余條件不變，則實數a的取值范圍是____.

3.若?x1∈(-,0]，?x2∈[-1,1]，其余條件不變，則實數a的取值范圍是____.

二、sinx、cosx或tanx與二次函數的和或差相結合

此題型形如f(x)=asinx+bx2+cx+d、f(x)=acosx+bx2+cx+d或f(x)=atanx+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R).

例3 設函數f(x)=cosx+kx2+(2k-1)x(x∈R).

(1)證明：對?k∈R，函數f(x)都不是奇函數;

解析(1)假設函數f(x)為奇函數，因為x∈R，所以f(0)=0，這與f(0)=k·02+cos0+(2k-1)·0=1矛盾.故對?k∈R，函數f(x)都不是奇函數.

點評(1)采用反證法，假設f(x)為奇函數，則必有f(0)=0與f(0)=1矛盾，故假設不成立，即可證明f(x)不是奇函數；

三、sinx、cosx或tanx與三次函數的和或差相結合

此題型形如f(x)=asinx+bx3+cx2+dx+e、f(x)=acosx+bx3+cx2+dx+e或f(x)=atanx+bx3+cx2+dx+e(a,b,c,d,e∈R).

例4 設函數f(x)=ax-sinx.當a≤1，x∈[0,+)時，證明：

四、sinx、cosx或tanx與指數函數的和或差相結合

例5 已知函數f(x)=ex-cosx.

(1)求函數f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

綜上,采用經陰道聯合彩超檢查剖宮產子宮瘢痕妊娠有著較高的確診率,其診斷快捷、方便、易操作,患者檢查痛苦少易于接受,可以作為早期診斷剖宮產子宮瘢痕妊娠的首選方式,值得推廣。

解析(1)∵f(x)=ex-cosx，則f′(x)=ex+sinx，∴f(0)=0，f′(0)=1.故函數f(x)在點(0,f(0))處的切線方程y=x.

(2)當x>0時，ex>1≥cosx，此時f(x)=ex-cosx>0，所以函數f(x)在(0,+)上沒有零點.又f(0)=0，下面只需證明函數f(x)在上有且只有一個零點.構造函數g(x)=f′(x)=ex+sinx，則g′(x)=ex+cosx.當時，g′(x)>0，所以函數g(x)在上單調遞增.因為f′(0)=1，由零點存在定理知，存在使得f′(t)=0，且當時，f′(x)<0；當t0，所以函數f(x)在x=t處取得極小值，則f(t)

點評(1)利用導數研究曲線上某點(x0,f(x0))處的切線方程是基本題型，只需求出f(x0)和f′(x0)，然后利用點斜式寫出所求切線的方程即可；

(2)利用分類討論思想，當x>0時，ex>cosx來說明函數f(x)在(0,+)上沒有零點，并利用函數f(x)的單調性和零點存在定理證明函數f(x)在上有且只有一個零點，結合f(0)=0，可證明函數f(x)在)上有兩個零點.