橫看成嶺側成峰 遠近高低各不同
——坐標法解決平面向量的模長問題

盧會玉

(甘肅省嘉峪關市第一中學 735100)

以平面向量模長為背景的綜合題，通常與函數、不等式、平面幾何、三角函數、解析幾何等知識點結合考查，能綜合考查學生分析問題和解決問題的能力，能有效考查學生的思維品質和學習潛能，體現了高考在知識點交匯處命題的思想，是高考的熱點，也是難點. 解決這類問題的關鍵是認真分析題意，恰當地將問題等價轉化為解析幾何中的模型，或者函數或不等式求最值等問題進行求解.

正因為向量既有“數”，又有“形”的雙重身份，所以數形結合法是解決平面向量模長問題的常見方法．而坐標法作為學生非常熟悉的方法，自然而然成為了平面向量模長的解題利器，這也是一種將幾何問題代數化的典范.

一、已知向量坐標求模長的問題

已知向量坐標求模長的問題常與二次函數的最值或者三角函數的范圍有關，運算正確即可.

例1已知向量a=(1-t,t),b=(2,3)，則|a-b|的最小值為( ).

故選C.

二、已知條件中有明顯垂直關系的模長問題

有一類在已知條件中有明顯的垂直關系的問題，比如已知矩形、數量積為零等等. 這類問題很多學生是可以想到用坐標法的，建立直角坐標系后，剩余的問題就是運算.

圖1

圖2

例5已知a,b是單位向量，a·b=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的最大值是____．

解析因為a,b是單位向量，且a·b=0，所以可設a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),則c-a-b=(x-1,y-1).由|c-a-b|=1得(x-1)2+(y-1)2=1，即(x,y)的軌跡是以(1,1)為圓心，半徑為1的圓.

解析由題意可知，不妨以A坐標原點，AB所在的直線為x軸，AC所在的直線為y軸，建立直角坐標系，則A(0,0),B(3,0),C(0,4).

故選……