質點系動能定理例談

胡小波

(江蘇省泰州姜堰區(qū)婁莊中學 225506)

日常生活中，我們通常會遇到這樣一個問題，題目如下：

引例人在水平面上走路(由靜到動)靠什么力對人做功引起人的動能的變化？

分析如圖1所示， 人在水平面走路時，人腳相對于地面有向后的運動趨勢，因而人受到向前的靜摩擦力，但此摩擦力作用于人腳上并不產生位移，即人受到地面的靜摩擦力是不做功的，那為何人會獲得向前的速度和動能呢？這是因為此時的人是不可以看作質點的，而應當將人看作很多個質點組成的質點系，質點系的動能變化是由內外力做功的總和引起的，顯然人走路時外力對人不做功，那人的動能的變化必定是內力做功的結果，因此人走路時獲得的動能是人本身的內力(來源于人體的肌肉)做功的結果.

圖1

上例說明質點系動能的變化會受質點系的內力做功影響，那質點系的動能變化究竟與什么力做功相對應呢，質點系動能定理又如何？

一、質點系動能定理

(1)內容：質點系總動能的增量在數(shù)值上等于質點系所受一切外力和一切內力做功之和.

(2)表達式 ：∑A外+∑A內=∑Ek2-∑Ek1.

式中∑A外、∑A內分別表示質點系外力所做功總功之和及內力所做總功之和；∑EK2、∑EK1分別表示質點系的末態(tài)的總動能及初態(tài)的總動能.

從該定理可以看出，無論是系統(tǒng)的外力還是系統(tǒng)的內力，只要它們做功都必定會引起質點系的動能的變化.特別的，當質點系的內力不做功時(比如系統(tǒng)內的兩物體由不可伸長的繩或桿相連)，即∑A內=0，表達式變?yōu)椤艫外=∑EK2-∑Ek1,處理問題極其方便.

二、應用舉例

例1如圖2所示，質量M的木塊套在光滑水平桿上，并用長為L的不可伸長的細線將木塊與質量m的小球相連,若從圖中豎直的虛線位置m小球受到一個水平的恒力F作用，由靜止開始運動，當細線拉到水平位置時如圖3所示，M木塊的位移是s,小球繞M木塊的角速度為ω，已知繩子長度為L，求出此時木塊速度?

圖2 圖3

分析對于用細繩相連的小球和物塊構成的質點系，受力方面：物塊M和小球m由細線相連，細線對物塊M和小球m的拉力屬于質點系的內力且做功的代數(shù)和為零，質點系的外力有物塊受到的重力和支持力、以及小球受到的重力和水平恒力，顯然質點系的四個外力中，物塊受到的兩個力(重力和支持力)均不做功，小球受到的兩個力(重力和水平恒力)都做功.

質點系內物體速度方面：當小球運動至細線水平時(如圖3所示)，M和m在桿方向速度為v，m在垂直桿方向速度為ωL，此過程M位移是s，m的位移是s+L，由質點系的動能定理得：

點評1本例的質點系是繩及繩相連的物塊和球，繩不可伸長，系統(tǒng)內力做功代數(shù)和為零，處理時只考慮外力做功.

例2 如圖4所示，在豎直平面內固定一U型軌道，軌道兩邊豎直，底部是半徑為R的半圓，質量均為m的A、B兩小環(huán)，用長為R的輕桿連接在一起，套在U型軌道上，小環(huán)在軌道的豎直部分運動時受到的阻力均為環(huán)重的0.2倍，在軌道的半圓部分運動時不受任何阻力.現(xiàn)將A、B兩環(huán)從圖示位置由靜止釋放，釋放時A環(huán)距離底部2R，不考慮輕桿和軌道的接觸，重力加速度為g，求：A環(huán)在半圓部分運動過程中的最大速度.

圖4 圖5

分析A環(huán)、B環(huán)與桿可以看成一質點系，受力方面：內力是桿對A、B環(huán)的作用力，很明顯內力做功且代數(shù)和為零；外力是A、B環(huán)的重力和豎直軌道對兩環(huán)的摩擦阻力及兩環(huán)運動到圓弧軌道時受到軌道的彈力，其中重力對它們做正功，阻力對其做負功，圓弧軌道的彈力不做功.

點評2 本例中，輕桿不可伸長，由此相連接的兩物體在運動過程中質點系的內力對系統(tǒng)做功的代數(shù)和為零，所以只要考慮系統(tǒng)外力的功，使問題得以簡化.

例3 如圖6所示，質量分別為m和M的物塊A和B用不可伸長的細繩連接，A放在傾角為α的固定斜面上，B能沿桿在豎直方向上自由滑動，桿到滑輪中心的距離為L，開始時將B抬高到使細繩水平.求當B由靜止開始下落h時的速度.(滑輪和繩的質量及各種摩擦均不計)

圖6 圖7

由質點系動能定理可得：

點評3 特別注意，繩和桿相連的物體，其各自沿繩或桿方向的速度大小一定相等.本例還可用系統(tǒng)的機械能守恒處理，這里不再贅述.不可伸長的繩和桿相連時，質點系內力做功為零，但并不是所有的質點系的內力做功代數(shù)和都為零.下面回到引例中提出的人在水平面起跳時質點系的動能問題.

例4如圖8所示,是被譽為“豪小子”的華裔球員林書豪在NBA賽場上投二分球時的照片.現(xiàn)假設林書豪準備投二分球前先曲腿下蹲再豎直向上躍起，已知林書豪的質量為m,雙腳離開地面時的

圖8

速度為V,從開始下蹲到躍起過程中重心上升的高度為h,則下列說法正確的是( ).

A. 從地面躍起過程中，地面對他所做的功為0

D. 離幵地面后，他在上升過程中處于超重狀態(tài)；在下落過程中處于失重狀態(tài)

分析本例是人從地面起跳問題，與引例中的人走路有相似之處，一者人都不可以看作質點，只能看作質點系；再者，地面作用在人腳的力(引例中是摩擦力，本例是支持力)都不做功； 從內外力上看，外力中的支持力不做功，重力做負功，內力(來自于人體)做正功，正由于內力做正功才引起了人的動能的增加，即人從下蹲到離開地面上升過程中是人的內力做功的結果，并不是地面對人的支持力做功的結果.

所以本題選AC，選項D根據(jù)超重、失重發(fā)生的條件很容易排除掉.

通過上述例子可小結出利用質點系動能定理解決問題的一般思路:

(1)明確質點系由哪些對象構成；

(2)要正確的分析出系統(tǒng)的內力和外力，明確系統(tǒng)內力和外力做功情況；

(3)如果質點系內的物體用不可伸長的繩或桿相連，則質點系內力做功代數(shù)和為零，只考系統(tǒng)外力所做的功，使問題大大簡化；

(4)如若內力做功代數(shù)和不為零，則分別寫出內力和外力所做的功，列質點系動能定理方程，解決問題.

需要特別強調的是質點系的內力做功代數(shù)和不一定都為零，只有不可伸長的繩和桿相連的物體，其內力做功的代數(shù)和才為零，一旦系統(tǒng)內的兩物體距離發(fā)生變化內力做功的代數(shù)和便不再為零，這一點一定要慎之又慎，另外，繩和桿相邊的物體在發(fā)生運動時，其各自沿繩或桿方向的速度一定相等，這也是關聯(lián)系統(tǒng)內物體速度關系的重要方法所在.