基于音圈電機的魯棒控制器設計與仿真

胡永珊，李志濤，謝求泉，羅志良

(江西工業工程職業技術學院 機械工程學院，江西 萍鄉 337000)

0 引言

音圈電機(Voice Coil Motor,VCM)是一款由單相直流電直接驅動的直線電機，可以實現高速高精度且力波動較小的定位運動，由于沒有復雜的機械結構，現在普遍運用在三維運動平臺的Z軸，并搭配力-位置切換控制算法進行推壓力控制。

魯棒控制主要用于那些被控對象存在高頻動態不能建模以及系統存在一些不確定性參數等問題的運控系統，其最核心的概念是得到被控對象的數學模型，分析系統具有的不確定因素和攝動，通過對被控對象的伯德圖分析，選取相應的加權函數，使系統能夠快速響應動態指令，并在一定的干擾下可以快速恢復自身的穩定性，從而保證點到點運動的精準定位。

在進行魯棒控制器設計時，最重要的是在對應的頻域段選取被控對象的不確定性上界函數和被控對象的性能加權函數，并要滿足系統抑制干擾能力強、動態過程響應快和穩態過程整定精度高的性能要求；其次就是要盡量使所設計的魯棒控制器傳遞函數的階次低。為此，本文對基于音圈電機的魯棒控制器進行設計與仿真。

1 建立音圈電機數學模型

在高速高精密的三維運動平臺中，音圈電機一般運用在Z軸，由于音圈電機沒有自鎖結構，每次下使能時，動子會因自身重力而往下掉，并且不易確定其運動初始位置，所以在工程應用時會用一個拉力彈簧或恒力氣缸來平衡動子的重力，使音圈電機的動子在去使能的狀態下可以處于一個固定的初始位置。所以在對音圈電機構建數學模型時，可以將被控對象構建成一個質量-阻尼-彈簧系統(MFK系統)，音圈電機力學模型如圖1所示。圖1中，FK為拉力彈簧的彈簧力，FG為電機動子的重力，FC為系統的阻尼力，F為電機產生的推拉力,y為動子的位移。

根據音圈電機工作原理，其等效電路模型如圖2所示。圖2中，U為音圈電機的母線電壓，E為音圈電機運動時產生的反電動勢，L為動子線圈等效電感，R為動子線圈等效電阻，I為流經動子線圈的電流。

圖1 音圈電機力學模型 圖2 音圈電機等效電路模型

根據等效電路模型可以推導出音圈電機母線電壓平衡方程式：

(1)

其中：t為時間；B為定子產生的磁感應強度；l為動子線圈長度；v為動子的運動速度。

根據電機力學模型可以得到音圈電機力學平衡方程式：

(2)

其中：m為動子線圈的質量；y為動子的運動位移；C為電機的等效阻尼系數；k為彈簧的彈力系數；g為重力加速度。

將式(1)和式(2)進行拉氏變換后再整理數據，就得到了音圈電機關于輸出運動位移y與相線輸入電壓u之間的數學模型，其傳遞函數P(s)表達式為：

(3)

2 系統辨識

在進行魯棒控制時，先要對被控對象進行系統辨識，得到被控對象的標稱數學模型。一般在工程設計中均采用掃頻的方式來分析和獲取被控對象的模型參數，掃頻時常選用的激勵信號有正弦波、PBRS和Chirp等。

正弦掃頻是將整個運控系統處于開環控制狀態，利用運動控制器產生一組模擬量電流信號來激勵音圈電機來回運動，并采集光柵尺的位置信號。該激勵信號是由一組在0 Hz～2 000 Hz的頻率段內間隔一定步距的模擬量電流信號組成。

將運控系統采集的模擬量電流信號和音圈電機光柵尺的位置信號進行快速傅里葉變換，并在MATLAB里畫出伯德圖，如圖3所示。利用圖3可以在頻域里分析被控對象的幅值特性和相角特性。

圖3 音圈電機經正弦掃頻得到的伯德圖

將經過快速傅里葉變換處理后所得到的頻率、幅值和相角等數據導入MATLAB軟件中，使用MATLAB系統辨識ident工具箱，通過分析被控系統的頻率特性曲線圖進行最小二乘法擬合。

擬合方式選用零極點配置方式。通過選用不同組合的零點和極點，與被控對象的數據進行最小二乘法擬合。分析經多次擬合后的效果，選取其中匹配度最高的那組零點和極點。最后擬合結果匹配度最高的是3個極點和0個零點，這也正好可以驗證機理數學建模的合理性。最終被控對象音圈電機所確定的數學模型的傳遞函數為：

(4)

對得到的傳遞函數進行頻域分析以及動態響應性分析，并對掃頻所得的數據進行不確定性及擾動分析，為魯棒控制器設計做準備。

3 魯棒控制器的設計

根據運控系統要求的性能指標和魯棒穩定性，選擇用H∞混合靈敏度方法來設計控制器，其控制結構如圖4所示。圖4中，W1、W2和W3為系統的加權函數，z1、z2、z3為系統的評價函數，Δ1、Δ2和Δ3為系統存在的不確定性擾動，R1(s)為規劃位置輸入，e為位置跟蹤誤差，K(s)為H∞控制器，P(s)為被控對象標稱傳遞函數，u為H∞控制器輸出，d為控制對象輸出的測量噪聲，w1、w2、w3為Δ1、Δ2和Δ3的輸出，Y(s)為實際位移輸出。

加權函數W1、W2和W3的標準框架如式(5)所示：

(5)

其中：G(s)為廣義被控對象；y為Y(s)控制器輸出。

圖4 被控對象基于混合靈敏度控制的控制器結構

魯棒控制器性能的好壞依賴于權函數的選取。在選取加權函數時要注意各加權函數的特點:W1主要用來抑制系統的高頻噪聲以及權衡高頻域中因不能建模的不確定性因素，所以該傳遞函數具有高通特性；W2用來抑制外界低頻干擾，確保系統在運行中有較好的抗干擾能力和定位誤差跟隨調節能力，所以該傳遞函數具有低通特性；W3用來防止系統出現動態跟隨誤差輸出過大和穩態時積分過飽和而導致被控對象出現過沖或震蕩的現象。

最終選取的三個加權函數如下：

(6)

三個加權函數的伯德圖如圖5所示。

圖5 W1、W2和W3的伯德圖

最后根據三個加權函數，在MATLAB上求出魯棒控制器的傳遞函數，其傳遞函數的伯德圖如圖6所示。

4 仿真分析

4.1 分析方法

在MATLAB的Simulink模塊中搭建一套含魯棒控制算法、PID控制算法和開環控制算法的仿真系統，如圖7所示。

首先給系統觸發一個階躍單位信號，在示波器上得到相應的階躍響應曲線，分別來分析各個控制器的上升時間、超調量和調節時間，從而來分析控制器的動態響應性能和穩態整定性能。

其次當被控對象整定到穩態時，再給系統觸發一個干擾信號，來分析魯棒控制器和PID控制器抑制干擾的性能。

4.2 仿真結果

首先在沒加干擾信號條件下，給系統觸發一個單位階躍激勵信號，得到如圖8所示的魯棒控制算法和PID控制算法的階躍響應。

由圖8可知:在相同情況和條件下，魯棒控制器在動態上升過程中沒有出現明顯的過沖，可以迅速地進入穩態過程；而PID控制器卻達不到這種效果，說明魯棒控制算法有良好的動態響應性能和穩態整定性能。

圖6 魯棒控制器的傳遞函數伯德圖

圖7 魯棒控制算法與PID控制算法性能對比仿真系統

然后再給系統觸發一個階躍激勵信號，待系統達到穩定后，添加一個干擾信號，最后分別在示波器中得到魯棒控制器和PID控制器抑制干擾能力的結果，如圖9所示。

由圖9可知：當遇到擾動時，魯棒控制算法可以迅速恢復到穩定狀態，且沒有出現顯著的波動，從而驗證了所設計的魯棒控制算法具有良好的抑制外來干擾的能力。

5 結論

通過與PID控制算法仿真對比，驗證了魯棒控制算法較好地改善了被控對象的動態響應品質和穩態抑制干擾的能力。

圖8 魯棒控制算法與PID控制算法階躍響應對比

圖9 魯棒控制算法與PID控制算法抑制干擾性能對比