對心直動平底從動件運動規律的研究

劉建強，鄧帥卿，楊 彪

(太原理工大學 機械與運載工程學院，山西 太原 030024)

0 引言

對心直動平底從動件盤形凸輪機構在工程上的應用較為廣泛，在已知凸輪輪廓列表曲線的情況下對從動件運動規律進行研究具有重大意義。然而，目前國內外對這方面的研究較少且已有的研究較為復雜。在該背景下，本文基于三點作圓圓弧逼近列表曲線法并巧妙地運用幾何關系，給出了對心直動平底從動件盤形凸輪機構從動件運動規律的較為簡單的求解方法。最后給出了通過MATLAB對從動件運動規律進行求解的實例。

1 列表曲線處曲率中心與曲率半徑的近似求解

當已知列表曲線時，即已知曲線上某些坐標點但沒有給出方程的曲線，可以通過三點作圓圓弧逼近列表曲線的方法，求出列表曲線處曲率中心的坐標及曲率半徑。下面給出三點作圓圓弧逼近列表曲線方法。

如圖1所示，Q1、Q2、Q3、Q4、Q5、Q6為列表曲線上的點，O1、R1分別為過Q1、Q2、Q3三點所做圓弧的圓心與半徑，即Q1、Q2、Q3點處的曲率中心與曲率半徑。

圖1 三點作圓圓弧逼近列表曲線法原理圖

設(X1,Y1)、(X2,Y2)與(X3,Y3)分別為Q1、Q2、Q3點處對應的坐標，(X1′,Y1′)與(X2′,Y2′)分別為Q1與Q2中點坐標及Q2與Q3中點坐標，(X0,Y0)為圓心坐標。則：

(1)

Y0=K1(X0-X1′)+Y1′.

(2)

(3)

2 根據幾何關系求解從動件運動規律

如圖2所示為一對心直動平底從動件盤形凸輪機構，其平底與從動件導路中心線垂直。以凸輪回轉中心O為原點，以通過凸輪對稱軸并指向凸輪近休止處外法線方向建立OX軸，在OX軸逆時針旋轉90°方向建立OY軸，凸輪基圓半徑為Rb。

圖2 對心直動平底從動件盤形凸輪機構

凸輪以等角速度ω沿順時針方向轉動，根據“反轉法”原理，從動件繞O點以等角速度-ω轉過φ角時，其對應的位移為s。此時，平底與凸輪的接觸點由B1變為B2。圖2中，θ與r分別為凸輪上B2點處對應的極角與極徑，O1與R1分別為B2點處對應的曲率中心和曲率半徑。

根據幾何關系，在△OB2O1中運用余弦定理可得：

(4)

在直角△AOB2中有：

(5)

又OA//B2O1,則∠OB2O1=∠AOB2=θ-φ，則：

(6)

化簡得：

(7)

(8)

式(7)中，Rb已知，則對于給定的列表曲線r=r(θ)，可根據上述三點作圓圓弧逼近列表曲線法求出從動件運動規律對應的列表曲線s=s(φ)。

3 通過MATLAB求解從動件運動規律計算實例

表1是凸輪上部分點所對應的極坐標系下的坐標值以及通過計算得到的各點對應的直角坐標系下的坐標值。

表1 極坐標系下與直角坐標系下凸輪部分點的坐標值

MATLAB求解代碼如下：

clc,clear

x=xlsread('C:UsersAdministratorDesktopA-20191','D2:D629');%每個極徑極角對應的x坐標

y=xlsread('C:UsersAdministratorDesktopA-20191','E2:E629');%每個極徑極角對應的y坐標

Rb=2.413;%基圓半徑

r=xlsread('C:UsersAdministratorDesktopA-20191','B2:B629');%導入極徑

v=xlsread('C:UsersAdministratorDesktopA-20191','A2:A629');%導入極角

for i=1∶2∶626;

X5=(x(i)+x(i+1))/2;Y5=(y(i)+y(i+1))/2;

X6=(x(i+1)+x(i+2))/2;Y6=(y(i+1)+y(i+2))/2;

K1=(x(i)-x(i+1))/(y(i+1)-y(i));

K2=(x(i+1)-x(i+2))/(y(i+2)-y(i+1));

Ox((i+1)/2)=((K2*X6)-(K1*X5)+(Y5-Y6))/(K2-K1);%圓心橫坐標

Oy((i+1)/2)=K1*(Ox((i+1)/2)-J5)+Y5;%圓心縱坐標

R((i+1)/2)=sqrt((x(i)-Ox((i+1)/2))^2+(y(i)-Oy((i+1)/2))^2);%圓心到切點距離

RO((i+1)/2)=sqrt(Ox((i+1)/2)^2+Oy((i+1)/2)^2);%圓心到原點距離

s((i+1)/2)=((RO((i+1)/2))^2+r(i)^2+(R((i+1)/2))^2)/(2*R((i+1)/2))-Rb;%由幾何關系求推程

e((i+1)/2)=acos(((RO((i+1)/2))^2+r(i)^2+R((i+1)/2)^2)/(2*R((i+1)/2)*r(i)));%由幾何關系求極角與轉角的差值

b((i+1)/2)=v(i)-e((i+1)/2);%求轉角

end

for i=2∶313

if abs(s(i)-s(i-1))>1

s(i)=s(i-1);

b(i)=b(i-1);

end

end

plot(b,s,'+r')

title('凸輪從動件位移與凸輪轉角的關系')

xlabel('凸輪轉角/rad')

ylabel('從動件位移')

通過上述代碼求得的從動件運動規律如圖3所示。

圖3 從動件運動規律

4 結語

本文基于三點作圓圓弧逼近列表曲線法并巧妙地運用幾何關系，給出了求解對心直動平底從動件盤形凸輪機構從動件運動規律的較為簡單的方法。在此基礎上，給出了通過MATLAB求解從動件運動規律的代碼，對該類問題的求解具有借鑒意義。