基于李雅普諾夫穩定性理論的路徑跟蹤控制器設計＊

鄭鑫 趙又群

（南京航空航天大學，南京 210016）

主題詞：路徑跟蹤穩定性LQR自適應控制

1 前言

路徑跟蹤作為智能車運動控制的核心，已成為國內外學者的研究熱點，其最常用的控制手段是模型預測控制（Model Predictive Control，MPC）、最優控制和魯棒控制。Amir[1]等人針對MPC計算量大的問題，提出了一種利用機器學習選擇最佳模型的運行時切換算法，在保證精度的情況下，有效提高了效率。Wang Zejiang[2]等人提出了一種基于查表的在線參數選擇方法來提高MPC的效率。Guo Hongyan[3]等人采用微分進化算法對MPC 進行了優化，提高了計算性能和控制性能。Hamid[4]等人為提高控制器魯棒性，設計了非線性MPC 控制器。Lima[5]等人在MPC 目標函數中綜合考慮了平順性約束。杭鵬[6]等人在分布式驅動汽車上驗證了MPC 路徑跟蹤控制器的可行性。郭應時[7]等人考慮乘坐舒適性，分別對比了基于預瞄和最優控制的控制器跟蹤效果。黃海洋[8]等人提出了一種基于多點預瞄最優控制的路徑跟蹤控制方法，保證了跟蹤精度和算法實時性。Zhang Xizheng[9]等人提出了一種最優預見線性二次調節器，實現了精確的路徑跟蹤和最優的轉矩分配。Alipour[10]等人基于輪式移動機器人路徑跟蹤提出了一種基于滑模魯棒方法的控制器，提高了系統抗干擾性。Zhao Zhiguo[11]等人提出的緊急轉向避撞（Emergency Steering Evasion，ESE）輔助控制器可優化預瞄距離，提高了路徑跟蹤精度和車輛穩定性。Barbosa[12]等人提出了一種利用魯棒遞推調節器對參數不確定車輛進行路徑跟蹤和橫向控制的方法。

以上路徑跟蹤研究大多采用MPC，該算法的高計算量使得控制器一般無法滿足汽車高速行駛時的實時性，其他算法，如滑模控制中的顫振，對執行機構的可靠性也有很大影響。本文基于李雅普諾夫（Lyapunov）穩定性理論設計模型參考自適應控制器，結合最優控制思想，引入系統反饋補償矩陣，化為線性二次最優問題，最后利用CarSim/Simulink聯合仿真平臺，將設計的控制器與MPC在速度和路面附著系數均不同的仿真工況下進行對比。

2 車輛動力學建模

本文的研究目標是使車輛快速而穩定地跟蹤目標路徑，為了提高控制器的可靠性，降低控制算法的計算量，盡可能地簡化動力學模型，本文采用線性二自由度模型作為車輛動力學模型，如圖1所示。

圖1 車輛動力學模型

由圖1可得汽車二自由度微分方程為：

式中，Ccf、Ccr分別為前、后輪的側偏剛度；lf、lr分別為質心到前、后軸的距離；φ、β分別為汽車橫擺角和質心側偏角；ω為質心橫擺角速度；u為縱向速度；v1為橫向速度；δ為前輪轉角；m為整車質量；Iz為質心繞z軸的轉動慣量。

3 路徑跟蹤控制器設計

3.1 基于Lyapunov 穩定性理論的模型參考自適應控制器設計

3.1.1 控制系統

本文基于Lyapunov穩定性理論的模型參考自適應控制系統設計了路徑跟蹤控制器，如圖2所示，系統輸入為前輪轉角δ，uw為汽車模型的輸入，系統內環由可調參數前饋控制器、反饋控制器和參考模型組成，系統的外環由自適應機構組成，自適應機構可以自動調整內環可調參數的取值，使被控對象的狀態或輸出盡可能地跟蹤理想值。

根據本文選取的汽車動力學模型，將式（1）寫成矩陣形式：

圖2 基于Lyapunov穩定性理論的自適應控制器結構

在設計路徑跟蹤控制器時，參考的輸出值分別為理想橫向位移yref、理想橫向速度、理想橫擺角φref和理想橫擺角速度，將式（2）代入如下變換：

式中，e1為車輛實際路徑與理想路徑之間的橫向誤差；ay為實際橫向加速度；ayref為理想橫向加速度；e2為實際橫擺角φ與理想橫擺角φref之間的誤差；y為橫向位移。

利用誤差變量e1和e2可以寫出新的誤差狀態方程：

由圖2可知，被控對象的輸入由反饋控制器和前饋控制器組成：

式中Ku為前饋矩陣；Kp為反饋矩陣。

3.1.2 基于線性二次型最優控制的穩定補償矩陣求解

本文根據Lyapunov 穩定性理論設計控制器，根據李雅普諾夫第二法，設計能量方程為：

式中，V為能量函數；P為正定矩陣。

設計過程中需要滿足：

其中Q也是正定矩陣，由此設計的控制器才能保證系統的穩定性。

而矩陣A的第1 列為0 向量，代入計算發現無法滿足上述要求，故本文將反饋控制器Kp寫為Kp1和Kp2，其中Kp1作為狀態反饋補償矩陣，保證系統的穩定性，Kp2用作反饋控制器，則將式（6）改寫為：

由此，原系統補償后，新的李雅普諾夫方程有解：

因此，本控制器中P和Kp1的設計也成為關鍵。則Kp1和P的設計可以由求解線性二次型最優控制（Linear Quadratic Regulator，LQR）問題得出。由于系統中A、B1可控，則Riccati方程必定有解：

由式（11）可設計出P和Kp1。

3.1.3 路徑跟蹤自適應控制器設計

根據李雅普諾夫第二法，由式（11）求解得到的正定矩陣P構造包含Kp2和Ku的正定二次型能量函數V：

式中，r1、r2為權重系數。

將式（12）對時間求導，得：

將式（9）代入式（13）可得：

又因為：

則原式（14）轉化為：

由李雅普諾夫穩定性理論得到系統穩定的條件為：

由式（10）可知，式（18）一定成立，則Kp2與Ku為：

式中，Kp2（0）=0、Ku（0）=0分別為Kp2、Ku的初值。

3.2 模型預測控制器

3.2.1 預測方程

在設計MPC控制器時，需要對汽車縱向運動狀態進行預測，在線性二自由度模型基礎上考慮縱向運動[13]，得到沿x軸、y軸和繞z軸的受力平衡微分方程：

式中，（x，y）為車輛坐標系中的坐標；（X，Y）為地面坐標系中的坐標；Flf=Clfsf、Flr=Clrsr分別為前、后輪縱向力[14]；sf、sr分別為前、后輪滑移率。

MPC控制器具體見文獻[14]，本文不再贅述。

3.2.2 約束條件設置

汽車動力學模型是在輪胎側偏角與側偏力線性的基礎上建立的，對其進行小角度約束：-2.5°＜αf＜2.5°。

由于汽車的動力性能受輪胎與路面附著條件的限制，假設汽車縱向速度不變[15]，考慮乘坐舒適性和小角度模型，橫向加速度約束為：-0.4g＜ay＜0.4g。

質心側偏角對車輛穩定性也有較大影響，研究表明[16]，不同路面下汽車穩定行駛時的質心側偏角范圍為：-12°＜β＜12°（良好路面）；-2°＜β＜2°（濕滑路面）。

4 CarSim/Simlink聯合仿真與結果分析

選取雙移線為目標路徑，仿真使用的整車參數如表1所示，將本文設計的基于Lyapunov穩定性的模型參考自適應控制器與MPC 控制器控制效果進行對比，仿真過程中分別選取干燥路面（附著系數μ=0.85）、濕滑路面（μ=0.50），起始點為坐標原點，分別以36 km/h、54 km/h、65 km/h的行駛速度進行聯合仿真。本文設計的自適應控制器參數如表2所示。

表1 車輛主要參數

表2 自適應控制器參數

為驗證本文設計的控制器的可靠性，基于CarSim/Simlink 聯合仿真平臺對控制器進行對比試驗，為驗證魯棒性，仿真過程中保持兩控制器的參數不變，仿真結果如圖3～圖5、表3、表4所示。

圖3 干燥路面下不同速度雙移線工況仿真結果

圖4 濕滑路面下不同速度雙移線工況仿真結果

圖5 濕滑路面自適應控制器控制下汽車橫向加速度

表3 傳統MPC控制器實時運行狀態

表4 基于Lyapunov的自適應控制器實時運行狀態

綜合圖3、圖4可以看出，在保持兩控制器參數不變的情況下，基于Lyapunov 自適應控制器的跟蹤效果略好于MPC 控制器。由圖3b和圖3c以及圖4a和圖4b可以看出，隨著車速的提高，基于Lyapunov 自適應控制器的跟蹤精度反而略有提高，這是自適應機構中可變系數的前饋控制器和反饋控制器的調節作用造成的。由圖4c可知，在濕滑路面上車速為65 km/h時，基于Lyapunov的自適應控制器使汽車行駛過程產生一定誤差，但最終回到目標軌跡，這是由于Lyapunov 穩定性第二法在時間趨于無窮時，狀態誤差趨于0。

由圖5可知，雖然在65 km/h的工況下自適應控制器橫向加速度出現了抖動，但波動幅度不大，表明汽車處于良好的穩態，抖動的原因可能是輪胎工作于非線性區。

本文聯合仿真平臺選用酷睿8 代處理器，主頻為3.60 GHz，由表3和表4可以看出，MPC控制器程序運行時間較長，超出了設置的仿真時間，并具有較高的CPU占用率，因此，基于Lyapunov 的自適應控制器相對于傳統MPC控制器具有較好的實時性。

綜上可得，本文設計的基于Lyapunov 穩定性理論的自適應路徑跟蹤控制器具有良好的路徑跟蹤效果，保證了系統的穩定性，且在外部環境或自身參數發生變化時有一定的自調節作用，相比于MPC控制器，本算法具有計算量較少、控制精度高且參數調節方便的優點。

5 結束語

本文針對智能車路徑跟蹤問題，設計了基于Lyapunov 穩定性理論的模型參考自適應路徑跟蹤控制器，搭建汽車動力學模型，通過CarSim/Simulink 聯合仿真平臺將該控制器與MPC控制器進行對比，結果表明，本控制算法具有良好的路徑跟蹤能力和魯棒性，當外部環境和自身參數變化時，具有一定自調節能力。對汽車非線性模型的研究，高速行駛工況下的系統穩定性和自適應能力以及控制器的魯棒性是本文后續的研究方向。