一題多空型數學填空題命制摭談

余建國

填空題被稱為數學高考命題的“試驗田”，其命題形式、內容等方面都處在不斷變革和完善之中，一題多空是命題技術創新的形式之一。［1］2004 年北京市數學高考試卷中開始出現一題兩空，此后無論是分省命題，還是相對統一的三份全國卷都或多或少出現一題兩空型填空題。本文在分析2019 年高考數學填空題的基礎上，結合筆者的命題實踐，［2］探討一題多空型填空題的命制方法。

一、2019 年高考數學填空題“一題多空”分析

2019年高考數學試卷全國共計13 份：北京卷（文、理），天津卷（文、理），全國卷Ⅰ（文、理），全國卷Ⅱ（文、理），全國卷Ⅲ（文、理），以及文理合卷的上海、江蘇和浙江。填空題均為“一空型”的有全國卷Ⅰ（文、理）、全國卷Ⅲ（文、理）、天津卷（文、理）以及文理合卷的上海卷和江蘇卷，其余5 份試卷中都存在多空型的填空題，且均為一題兩空。表1統計了5份含一題多空試題的填空題。

從表1 可以看出，一題多空型填空題都是一題兩空，但試題的數量不一樣，其中北京文、理卷中試題數量也有區別；從試題位置來看，命題人一般根據素材的類型和難度預估，按照難度次序從易到難排列，幾乎都與一題一空混合排列，沒有固定次序；考查的知識點或方法都是高中數學中的基礎知識和基本方法，屬于“雙基”范疇。

試卷名稱北京卷（文）北京卷（理）全國卷Ⅱ（文、理）浙江卷填空題個數多空題考查內容6 6 4 7多空題個數2（第14題文理同題）3（第14題文理同題）1（文理同題）4線性規劃；二元一次不等式應用題等差數列的通項與求和公式應用；函數的奇偶性與單調性；二元一次不等式應用題有文化背景的立體幾何計算題直線與圓的位置關系；二項式定理應用；解三角形；平面向量模的最值

選擇題和大多數填空題屬于“客觀題”，這種題型在考查雙基方面具有優勢。而相對于解答題，由于沒有過程分，填空題不能區別“一筆失誤”與“根本不會”，因此區分度受到一定影響。為了保證信度，提升區分度，一題多空型試題在發揮一題一空題型優勢的同時，設立了“中間站”，或體現局部結果，或作難度遞進，既可以增加考查內容，擴大知識覆蓋面，又可以將難度較大的問題讓學生“分步得分”，如全國Ⅱ卷（文、理）第16 題，在卷面上明確了“本題第一空2分，第二空3分”。

二、一題多空型填空題的結構與命制

填空題通過提供一個不完整的敘述，讓考生根據要求填寫空缺的部分（定量或者定性），形成一個正確的命題，填寫內容可以是條件，也可以是結論。在一空型填空題的基礎上，一題多空試題設計形式更加多樣化，結構上更加豐富多彩。

1.知識點并列式。

在一個主干知識下考查幾個相關的知識點，使主干知識的考查更加突出，這在計算型填空題中比較普遍，如在等差數列中，先計算通項公式或特定項，再計算前n項和或計算前n項和的最值，難度上略有遞進。并列式的多空問題之間知識內容、思維層次前后關系不緊密，各自獨立求解，只是增加考查知識的覆蓋面。

例1 設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a2＝-3，S5＝-10，則a5＝____，Sn的 最 小 值 為____。（2019年北京卷理科第10題）

例2 在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點D在線段AC上，若∠BDC＝45°，則BD＝____，cos∠ABD＝________。（2019 年浙江卷第14題）

從這兩個例題可以看出，兩空共享基本量的計算結果，但又各自獨立求解，增加了考生得分的機會，同時使主干知識的考查更加全面。研究歷年高考試題可以發現，這樣的多空型填空題最多。

與此類似的試題還有2019 年北京卷理科第13題，2019年浙江卷第12、13題。

2.問題并列式。

這種并列式多空題，所考查的兩個或多個問題往往是有關聯的，它們是同一數學模型的多方面結果呈現。所以，在解題時數學模型的建立或解題方法的選擇必須是正確的，在此基礎上各個擊破，先易后難。

與此類似的試題還有2018 年北京卷理科第14題，2018年浙江卷第12、13題。

3.閱讀理解式。

這類問題往往給出較多的背景，尤以實際背景為多，題干較長，文字敘述較多，背景中蘊含某個數學問題（模型），考生通過閱讀、理解、抽象及建模，才能得到通常意義上的數學習題。通過一題多空設問，考查學生對問題理解和解決的層次深淺，可以更真實地反映考生的閱讀理解以及進一步學習的潛能。

例5 李明自主創業，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃。價格依次為60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒，為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120 元，顧客就少付x元，每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%。

①當x＝10 時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為______。（2019 年北京卷理科及文科第14題）

除了與實際問題緊密相關的應用題，“新定義”題也能考查學生的閱讀、理解和解決問題的能力，這類問題在填空題中，為了最大限度地發揮其甄別學生學習能力的作用，往往也設置成一題多空型。

類似的試題還有2019 年全國卷Ⅱ理科及文科第16題、2014年湖北卷理科第14題。

三、命制一題多空型填空題的新探索

縱觀從2004 年開始出現的歷年一題多空型填空題，除了上面粗淺的分類外，顯然還有其他的命題技術。下面結合筆者的命題實踐，從多空的結構角度例說若干命制方法。

1.從特殊到一般。

2.從靜止到運動。

題3 斜率為k的直線l經過拋物線y2＝4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，①當k＝1 時，AB＝________；②點B關于x軸的對稱點為B′，直線AB′過定點________。（答案：8，（1，0））

靜止是運動的定格，運動是靜止的連續。在函數、解析幾何中，運動變化是永恒的主題，第1空設計為某特定的變量（位置）的問題，第2空研究變量（位置）任意取值（運動）時的問題，這類問題的結論往往與定量或定性有關。與此類似的還有——

3.從確定到最值。

第1空需要解可行域的交點，并確定可行域的形狀，為第2空數形結合奠定基礎。兩空由淺入深，由易到難，內在邏輯相連。在求最值類問題中，可設置前置問題，意在引導考生共享運算結果，防止重復計算。與此類似的還有——

題6 已知拋物線y2＝4x，過點P（4，0）的直線與拋物線相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則y1y2＝______，y12＋y22的最小值是______。（答案：16，32）

4.從正向到逆向。

一個命題的題設和結論都可能包含若干要素，只要部分或整體地交換這些要素，就可以構造原來命題的一個“逆向”命題，將難度小的放第1 空，難度大的放第2 空。這種逆向構造，既可檢測學生對原有概念或命題的理解，又能促使他們發現一些有意義的新命題。事實上，本題中離心率、斜率與向量關系“3 倍”三者有著內在的聯系，這種關系可以拓展到雙曲線和拋物線，是解析幾何久考不竭的“金礦”。與此類似的還有——

另外，開放性問題和探究性問題也已逐步進入數學試題，如前幾年比較多見的類比和歸納，考查學生的歸納、類比、猜想、頓悟等非邏輯的推理能力，其特點正好適用于不需表達過程的填空題，但如何借助一題多空優勢呈現，仍需命題者潛心研究。

題型是題目的呈現方式，是實現考查目的的重要手段。高考的考查目標和考查重點進行改革以后，需要新的題型呈現考查要求，實現考查目的。［3］筆者認為，命題技術能體現教師把握數學本質規律的能力，研究命題能夠促進教師教學方式的變革。一題多空型填空題會因更多教師的參與研究而變得更加精彩。