RC 框架結構地震均勻損傷優化設計

白久林，陳輝明，孫博豪，金雙雙

(1. 重慶大學山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室，重慶 400045；2. 重慶大學土木工程學院，重慶 400045；3. 省部共建山區橋梁及隧道工程國家重點實驗室，重慶交通大學，重慶 400074)

震害調查和理論研究表明，基于現有抗震方法設計的結構在強震下的位移響應通常是不均勻分布的[1 ? 2]，即結構的某些局部構件產生損傷，而其他構件處于彈性或低損傷狀態，這將導致結構的材料性能未能充分發揮。地震動的往復效應將使局部損傷逐漸累積并加劇，結構由于損傷過大而使得變形和損傷主要集中于某些局部樓層。由于損傷的不斷累積、結構的變形不斷加大，最終可能導致結構在該層形成薄弱層失效機制，結構的抗震潛能未得到充分發揮，未能形成全局化、整體化的耗能機制。結構材料若從損傷較低部位轉移到損傷較大部位或將損傷嚴重部分進行加強，損傷嚴重的構件損傷將降低，而損傷輕微的構件損傷將變大，最終將使得結構獲得近似均勻側向變形的損傷狀態。此時，結構各部位的材料不僅得到了充分利用，由于結構各部位均能耗能，結構的抗震響應有望降低，結構的抗倒塌性能大幅提高，這就是等變形或均勻損傷失效模式的基本理念[2 ? 4]。

“均勻化”理念早已植根結構彈性優化設計中，漸近結構優化方法是實現這一理念的典型手段[5]。考慮結構在強震下的非線性特征，各樓層側向變形的“均勻化”目前已經成為結構抗震優化設計的核心目標。基于均勻損傷失效模式原理，Chan 和Zou[6]提出了一種RC 框架結構兩階段的優化設計方法：小震彈性優化RC 構件尺寸大小、大震Pushover 分析優化截面配筋。Hajirasouliha 等[7]采用Park-Ang 雙參數損傷指標提出了一種適用于RC 框架結構的均勻損傷優化設計方法；但當構件處于彈性狀態時，Park-Ang 損傷指數的不連續性使得優化方法的適用性受限。徐龍河等[8]提出了基于性能的鋼框架結構失效模式識別和多目標優化方法。李忠獻等[9]提出了以整體結構的損傷指數為優化的約束方程和目標函數，通過修正結構柱參數來實現結構均勻損傷失效模式的優化方法。呂大剛等[10]采用可靠度方法對鋼筋混凝土結構最可能的失效模式進行了分析。鄭山鎖等[11]對型鋼混凝土框架的地震失效模式進行了識別和優化。孫愛伏等[12]發展了通過加強薄弱層來實現高層鋼結構均勻損傷的抗震能力提升方法。白久林等[13 ? 16]對均勻損傷失效模式進行了系列研究，分別提出了鋼框架均勻損傷優化設計方法[13]、基于Pushover 分析的均勻損傷優化設計方法[14 ? 15]、基于地震動輸入的結構地震失效模式分析與優化設計方法[16]和結構均勻損傷失效模式可控設計方法[16 ? 17]。

必須注意的是，已有的地震均勻損傷優化設計，未能很好地考慮地震動不確定性、土-結構動力相互作用(SSI)等對優化的影響，未能量化考慮結構整體損傷和局部構件損傷與均勻損傷之間的相互關系，使得均勻損傷優化設計的應用范圍受限。基于此，本文提出了一種考慮完備的RC 框架結構地震均勻損傷失效模式優化設計方法。基于優化準則法，構建了優化的目標函數、優化變量、約束條件和均勻損傷優化算法。以兩個5 層和12 層的RC 框架結構為例，建立了考慮SSI 效應的結構分析模型，對比分析了優化前、后結構的抗震性能。研究表明，本文所提優化方法能實現結構的地震均勻損傷，降低結構的最大層間位移角，提高結構的抗震性能，為結構抗震設計的發展提供了一種新的手段。

1 均勻損傷優化設計

優化準則法是土木工程結構諸多優化設計方法中的一種，其預先規定一組優化設計所必須滿足的準則，然后根據這些準則建立達到優化設計的迭代公式，求出滿足全部約束條件并使目標函數取最小值的設計變量近似解[18]。優化準則法簡便、易于操作，不需要計算梯度，且優化過程與優化變量的數目無關，一般通過數十次迭代便能達到收斂條件[19]。考慮到地震均勻損傷優化設計需要計算結構的非線性響應，計算量大，且優化的變量較多，本文采用優化準則法來進行設計。

本文的優化設計有兩個假設：1)構件具有足夠的箍筋可確保不發生剪切破壞；2)梁柱節點為剛性連接，節點不會發生破壞。這兩個假設便是結構抗震設計時“強剪弱彎、強節點弱構件”設計準則。

1.1 目標函數

本文的優化設計是基于均勻損傷的思想，將結構損傷分布的均勻程度作為優化目標函數。對于剪切型RC 框架結構，其層間變形的大小與樓層的損傷密切相關。特別地，當RC 框架進入屈服狀態后，層間位移角通常被用來直接度量樓層的損傷大小，是衡量結構抗震性能最重要的參數之一。因此，層間位移角豎向分布的均勻性是均勻損傷優化設計的核心，進而優化目標函數可采用：

式中，covIDR-original和covIDR分別為優化前、后結構最大層間位移角分布的變異系數。隨著優化的進行，層間位移角分布逐漸趨于均勻，目標函數越來越小，進而結構的損傷也趨于均勻，最終實現均勻損傷設計的目標。

1.2 優化變量

對于RC 框架結構，在結構高度和跨度一定的情況下，影響結構抗震性能的主要參數是梁柱的截面尺寸和截面配筋。由于RC 構件截面尺寸與小震下結構的彈性剛度有關，其一般提前確定。因此，本文的優化變量僅選取截面配筋作為優化變量，梁柱的截面尺寸則保持不變。對于柱構件，由于截面采用對稱配筋，柱截面配筋僅有一個設計變量。對于梁構件，梁上端鋼筋和梁下端鋼筋分別抵抗由豎向重力荷載和抗震荷載產生的最大負彎矩和最大正彎矩，因此梁設計變量為梁上部鋼筋和梁下部鋼筋兩部分。為簡化計算，假定梁下部鋼筋面積與梁上部鋼筋面積成比例關系，且近似取兩者比值為0.5，這使得梁截面配筋的設計變量僅為一個。

1.3 約束條件

1) 在實際結構中，工程成本由于業主要求、抗震性能要求等可能出現材料成本的變化。本文考慮在優化過程中，材料成本(僅考慮梁柱鋼筋和混凝土)為：

式中：C0為初始材料造價；Ci為第i 次迭代的材料造價；η 為材料成本變化率。在本文的后續分析中，考慮成本不變、成本減少5%和成本增加5%三種情況，且假定鋼筋材料成本為混凝土的25 倍。

2) 梁柱構件需滿足最大和最小配筋率要求。最小配筋率和最大配筋率可根據規范要求獲得。

式中：ρc、ρcmin和ρcmax分別為柱端截面配筋率、最小配筋率和最大配筋率；ρbtop、ρbt min和ρbt max分別為梁端上部截面配筋率、最小配筋率和最大配筋率；ρbbot、ρbb min和ρbb max分別為梁端下部截面配筋率、最小配筋率和最大配筋率。

3) 梁構件需滿足正常使用極限狀態的要求，在豎向荷載下需保持彈性狀態。當某些梁在豎向荷載下屈服時，可根據鋼筋應變按式(4)進行迭代使其滿足彈性狀態：

1.4 收斂條件

本文的收斂條件為：連續兩步目標函數之差的絕對值小于誤差限制時則判定為收斂，如式(5)所示。在優化的過程中，可能會出現不收斂的情況。此時規定：超過30 步仍未達到收斂時則在30 步時停止。

式中：fi為第i 次迭代的目標函數；e0為誤差限值，取值為0.01。

1.5 優化設計

本文的地震均勻損傷優化設計是基于優化準則法來開展的，主要包括“分析-重新設計”的基本過程，具體優化步驟如下：

1) 確定初始的結構配置參數，并建立結構的非線性有限元模型。

2) 選擇合理的多條地震動作為結構輸入，并對結構進行大震作用下的非線性時程分析。記錄每條地震動下結構的最大層間位移角(IDR)分布和梁柱轉角(θ)分布，并對其進行統計分析，獲得整個結構的層間位移角平均值IDRave、結構柱端轉角平均值(θc)ave和梁端轉角平均值(θb)ave。

3) 根據收斂準則進行判斷。若收斂，則停止優化，此時的結構為最優設計，實現了均勻損傷的目標。否則按步驟4)繼續運行優化程序。需注意的是進行第一次優化時，不需進行判別。

4) 對結構進行重新設計。當收斂準則不滿足要求時，結構的層間位移角一般是不均勻分布的。根據“均勻損傷”的基本定義，梁柱截面鋼筋將從層間位移角較小的樓層轉移到層間位移角較大的樓層。此外，結構的層間變形還與梁柱構件的局部變形有直接關系。因此，本文在構建優化設計時，同時考慮結構的宏觀(層間位移角)和微觀(梁柱轉角)損傷指標。梁柱截面新的配筋可根據式(6)～式(8)獲得：

根據式(6)～式(8)可以發現，當梁柱構件所在樓層的層間位移角比其平均值大、梁柱構件的轉角也比轉角平均值大時，梁柱構件的配筋將會得到加強，此時梁柱構件的地震損傷有望降低。反之，當層間位移角和梁柱轉角較小時，梁柱鋼筋將會減少，梁柱構件地震損傷將會變大。通過對“損傷大的構件加強、損傷小的構件削弱”的優化設計，結構的地震損傷實現均勻分布，且結構會形成全局耗能機制，結構的整體損傷有望降低。

5) 在得到新的梁柱截面配筋之后，按式(2)～式(4)進行材料成本、配筋率等約束條件限制，獲得優化后的結構模型。整個優化的流程如圖1所示。

需要說明的是，均勻損傷抗震設計這一思路可以推廣到豎向、平面不規則的高層建筑結構中，將結構材料重新分布，使得結構的整體抗震性能得到最大程度的發揮。

圖1 優化設計流程圖Fig.1 Optimization flow chart

2 結構分析模型

為檢驗本文所提出的均勻損傷優化設計方法的有效性，選取兩個5 層和12 層考慮土-結構相互作用(SSI)影響的RC 框架結構進行分析和驗證。

2.1 結構基本參數

兩個RC 框架的立面圖和梁柱構件的截面尺寸如圖2 所示。初始結構按照我國抗震設計規范進行[20]。5 層結構采用C30 混凝土、12 層結構采用C40 混凝土。兩個結構均采用HRB400 鋼筋，位于場地類別為II 類、設計地震分組為第一組的場地上，結構的抗震設防烈度為8 度(0.2 g)。地基土為黏性土，粘聚力和摩擦角分別為25 kPa 和20°，容重為17.5 kN/m3，剪切模量為5×104kPa，泊松比為0.3。基礎形式考慮為淺基礎，根據上部荷載和地基土條件，設計得到的基礎參數如表1所示。

2.2 結構分析模型

采用OpenSees 軟件來建立結構的有限元分析模型[21]。上部梁柱構件采用基于力的集中塑性鉸單元(beamWithHinges)，其中塑性鉸長度取截面高度。為考慮混凝土開裂等對構件剛度的影響，對單元中間彈性部分的剛度進行一定的折減。根據FEMA356 的規定[22]，梁的有效剛度取0.5 倍彈性剛度，柱的有效剛度取0.7 倍彈性剛度。截面采用可考慮軸力-彎矩耦合效應的纖維截面模型。混凝土采用Concrete01 模型；鋼筋采用Steel02 模型。

圖2 RC 框架結構立面和梁柱尺寸 /cm Fig.2 Structural elevation and the size of beam and column of RC frames

表1 基礎參數 /mTable1 Footing parameter

下部淺基礎采用非線性Winkler 地基梁模型(BNWF)來模擬土-結構相互作用的影響[23]。如圖3所示，BNWF 模型由豎向的多個q-z 彈簧(模擬基礎的沉降、搖擺和隆起)和水平的p-x 彈簧(模擬被動土壓力)和t-x 彈簧(模擬基礎與地基之間的摩擦力)組成。由于BNWF 模型具有：1)各個彈簧模型的骨架曲線已根據試驗數據進行了全面校準；2)可捕獲土體的屈服和退化(材料非線性)，以及基礎的沉降、間隙和滑動(幾何非線性)；3)豎向彈簧可改變剛度和間距以增加模型的通用性的顯著特點，其已成為土-淺基礎-結構相互作用體系地震分析的首選模型。

圖3 BNWF 模型示意圖Fig.3 Schematic diagram of BNWF model

在OpenSees 模型中，q-z、p-x 和t-x 彈簧均采用零長度單元來連接剛性地基與表征基礎的彈性梁柱單元(elastic beam column element)。土體性能通過具有不同滯回性能的彈簧來模擬，三種彈簧的滯回曲線如圖4 所示。其中q-z 彈簧采用QzSimple2材料來模擬，其具有不對稱的滯回響應，即受壓強度高、拉伸強度較低。在基礎端部水平布置的p-x和t-x 彈簧，分別選用PxSimple1 材料和TxSimple1材料來模擬。PxSimple1 材料具有捏縮的滯回曲線，能考慮卸載時基礎與地基之間的間隙和被動土壓力的影響。TxSimple1 材料具有飽滿的滯回性能，可較好地模擬與基礎滑動相關的摩擦行為。BNWF 模型的參數可根據基礎數據和地基土參數計算確定。

圖4 三種彈簧模型滯回曲線Fig.4 Hysteresis curves of three spring models

2.3 地震輸入模型

本文從PEER 強震地震數據庫中選取了10 條天然地震動[24]，地震動的詳細信息如表2 所示。10 條地震動的選取是基于PEER 的調幅方法，即將所選地震動的反應譜中位值與我國抗震設計規范反應譜最大程度地吻合。10 條地震動調幅到大震水平(PGA=400 cm/s2)下的反應譜及其中位值與規范譜的對比如圖5 所示。可以看出兩者具有很好的吻合度。結構分析時，阻尼采用Rayleigh 阻尼(阻尼比為5%)，考慮結構的重力二階P-Δ 效應。將10 條地震動調幅到大震水平，對結構進行非線性動力分析，根據抗震響應參數進行結構的優化迭代。

圖5 10 條天然地震動反應譜及其與規范譜的對比(5%阻尼比)Fig.5 Response spectra of 10 ground motions and their comparison with code spectrum (5%-damped)

表2 10 條地震動信息Table2 10 ground motion records

3 分析結果

3.1 收斂參數的敏感性分析

在本文建立的優化設計程序中，收斂參數α 和γ 的取值將直接影響優化速度和收斂效果，因此需對收斂參數進行敏感性分析。圖6 給出了在成本不變的約束條件下，不同收斂參數對優化結果的影響。從圖6 中可知，隨著優化的不斷進行，目標函數有減小的趨勢，且隨著收斂參數數值的增加，收斂速度越快，所需要的迭代步數較少。當α=γ=0.5 時，5 層結構時能順利收斂，12 層結構則不能收斂。當α=γ=1.0 時，兩個結構均不能收斂。

圖6 收斂參數對優化結果的影響Fig.6 Influence of different converging parameters on the final solution

圖7 給出了5 層結構成本增加5%和12 層結構成本降低5%時，收斂參數的取值對優化結果的影響。從圖7 中可以看出，在成本增減約束條件下，不同收斂參數對優化結果的影響與成本不變時大致相同。總體趨勢上，隨著收斂參數的增大，收斂速度會加快，但最終收斂值大致相同。特別地，兩個結構在收斂參數α=γ=1.0 時均不收斂。同時，從圖7(a)中可以看出，當α=γ=0.1 時，由于目標函數仍不斷減小，即結構仍向著均勻損傷的方向發展，在優化迭代30 步后仍未達到式(5)的收斂條件，此時以30 步作為收斂條件。此外，對12 層結構，當α=γ=0.5 時(圖7(b))，優化雖能收斂，但收斂值與α、γ 為0.1 和0.2 時明顯偏大，表明此時優化程度不高、收斂效果不好。此外還可發現，在收斂參數α 和γ 取值為0.1 和0.2 時，不同收斂參數獲得的最終優化結果大致相同。這表明結構的最終優化結果和損傷分布的均勻程度是大致相同的，與收斂參數的取值關系不大。綜合考慮收斂的穩定性、收斂速度，本文建議在地震均勻損傷優化時，收斂參數α 和γ 取值均為0.2。

圖7 收斂參數對成本增減優化結構的影響Fig.7 Influence of the converging parameter on the final solution for structures with varying material cost

3.2 優化前、后結構性能對比

以5 層結構為例，圖8 給出了結構在等造價優化過程中梁柱鋼筋的變化情況。從圖8 中可以看出，隨著優化的進行，各層梁柱鋼筋均發生了變化。對于梁構件，1 層和2 層梁在整個優化過程中，其配筋逐漸增加；3 層梁配筋總體上未發生變化；4 層配筋先減小后又輕微地增加；5 層梁配筋逐漸減小直至達到最小配筋率要求。對于柱構件，1 層柱配筋先增加后逐漸減少，且達到優化狀態時的配筋比初始結構有一定增加；2 層鋼筋先略微增加后一直逐漸減小；3 層和5 層鋼筋在優化過程中一直減小而4 層鋼筋在優化過程中一直增加。12 層結構也有類似的分析結論。表3 給出了5 層結構規范設計和優化設計結構的梁柱縱筋對比。從表3 中可以看出，對于柱構件，優化設計底層柱和4 層柱的配筋率相比規范設計有明顯的增大；對于梁構件，優化設計結構的中下部樓層的配筋率有較為明顯的增加。對于本文所提的優化設計方法，正是由于結構中梁柱構件配筋的相互轉移，才使得結構的損傷逐漸趨于均勻。

圖8 5 層RC 框架優化過程中各樓層鋼筋變化情況Fig.8 Variation of story reinforcements of 5-story RC frame in the optimization process

需注意的是，梁柱轉角作為構件的局部損傷指標，在本文被用來建立均勻損傷優化設計程序。為量化分析優化前、后結構的梁柱轉角大小，以12 層結構為例，圖9 給出了等造價優化結構與原始結構的梁柱轉角中位值的對比。從圖9(a)中可以看出，優化設計使得梁端轉角分布更加均勻，同時降低了梁端轉角的最大值。對于柱端轉角(圖9(b))，在優化前、后的轉角值均較小，這表明結構柱主要處于彈性狀態，確保了結構的“強柱弱梁”破壞機制；同時通過優化設計，結構柱在強震作用下將獲得更小的柱端轉角。

表3 5 層結構規范設計和優化設計得到的梁柱縱筋對比Table3 Comparison of longitudinal steel reinforcement ratio of the 5-story structure between code-based design and near optimum design

圖9 12 層結構梁柱最大轉角中位值分布及對比Fig.9 Median and maximum beam-column rotation for 12-story frame

為驗證優化前、后結構的均勻損傷分布情況，圖10 給出了成本不變、成本增加和成本減少三種情況下結構在多條地震動下層間位移角的中位值分布情況。從圖10 中可以看出，原始結構的層間位移角呈現出中下部樓層較大、上部樓層較小的情況，表明上部樓層的材料并未得到充分利用。經過均勻損傷優化設計后，無論材料成本是否變化，各樓層的材料得到了充分利用，結構的層間位移角均趨向于均勻化。具體來說，5 層結構通過優化設計使得層間位移角的變異系數從25.2%下降到4.05%(成本?5%)、2.04%(成本不變)和0.84%(成本+5%)，而12 層結構對應的變異系數從35.21%分別下降到14.73%、11.48%和8.02%。需注意的是，經過均勻損傷優化后的12 層結構上部樓層的層間位移角仍較小，未實現均勻化，這是由于達到收斂條件時的梁柱截面配筋均已達到最小配筋率要求，不能再進一步減少配筋。此外，隨著材料成本的增加，層間位移角逐漸變小，這一現象在12 層結構中表現得更加明顯。在成本不變、成本減少5%和成本增加5%的約束條件下，5 層結構的最大層間位移角從1.39%分別下降至1.27%和1.21%，而12 層結構從1.44%降低至1.32%和1.23%。由此可以看出，本文所提的均勻損傷優化設計方法，在不同成本條件下均能實現結構地震損傷均勻分布的目標，且優化設計將降低結構的最大層間位移角，提高了結構的抗震性能。

圖10 優化前、后結構的層間位移角對比Fig.10 Change of story drift ratio after optimization under different cost constraints

4 結論

基于均勻損傷的思想，本文提出了RC 框架結構抗震優化設計方法。以兩個5 層和12 層的鋼筋混凝土結構為例，研究了收斂參數、成本約束條件等對優化過程和優化結果的影響，得到以下主要結論：

(1) 本文所提的均勻損傷優化設計方法，綜合考慮了結構整體損傷與局部損傷分布，能實現結構材料合理有效地從損傷輕微部位向損傷嚴重部位轉移，形成結構的全局耗能機制。

(2) 收斂參數α 和γ 對收斂速度和收斂的穩定性均有影響。通過對收斂參數的敏感性分析，建議收斂參數α、γ 取值為0.2。

(3) 本文所發展的優化方法在不同的材料成本約束下，均能實現結構損傷的均勻分布，且能降低結構的最大層間位移角，提高結構的整體抗震性能。