非均勻應力場下圓形隧洞圍巖彈性應力分析

陳登國，高召寧，李順順

(安徽理工大學能源與安全學院，淮南 232000)

隨著隧洞工程不斷地發展，各種復雜的地質構造影響著隧洞圍巖的穩定性。在長期的理論和實踐研究中，許多專家和學者認為在隧洞開挖或掘進后，圍巖由原來平衡狀態的三維應力狀態轉變為二維應力狀態，圍巖應力重新分布[1]。同時也使得圍巖發生彈性和塑性變形，進一步引起隧洞圍巖產生變形甚至破壞[2-3]。對于軸對稱荷載隧洞圍巖的分析，一些學者也做了研究。文獻[4]根據雙剪強度理論推導了均勻應力場下圓形隧洞圍巖中的解析解，其結論與Mohr-Coulomb準則對比，更符合現場的工程實際；文獻[5]根據數值模擬軟件,對隧洞的設計與開挖過程進行了模擬驗證。文獻[6]基于俞茂宏統一強度理論和三線性應力應變軟化模型計算了圓形洞室圍巖的統一解析解。而在實際工程中，隧洞圍巖荷載分布呈現非軸對稱特征。文獻[7]研究了不同側壓力系數情況下以及考慮圍巖的軟化和擴容條件對圍巖的穩定性分析，并驗證了其結果的正確性。文獻[8]研究在不等壓情況下塑性區分布的近似解，分析圍巖的穩定性。文獻[9]研究了非軸對稱荷載滑動失穩破壞模型，分析了巷道巖體的整體穩定性。

因此，在已有研究成果的基礎上，在圍巖處于極限平衡狀態條件下，分析了非均勻應力場下圓形隧洞圍巖內彈性應力分布。由于側壓系數λ<1/3時，隧洞拱頂將出現拉應力，為防止隧洞圍巖出現失穩狀態，工程設計時應該盡量避免[10]。因此探討1/3≤λ<1的范圍對隧洞圍巖穩定具有實際的工程意義，結合Drucker-Prager準則推導了非均勻應力場下圓形隧洞圍巖內彈性區應力分布的解析解，分析不同主應力系數和側壓系數對隧洞圍巖應力解的影響。

1 圍巖變形特征研究

對于隧洞圍巖的變形特征分析一直以來都被視為控制隧洞圍巖穩定的關鍵因素。圖1為隧洞圍巖應力分布。

r0為隧洞的半徑，m；p0為初始地應力，MPa；σθ為切向應力，MPa；σr為徑向應力，MPa，λ為側壓系數

隧洞開挖前，巖體處于三向壓應力下的平衡原始巖體彈性狀態，如果側壓力系數在λ=1情況下，此時隧洞圍巖表面處(r=r0)徑向應力σr為0，切向應力σθ為原巖應力的2倍。由于應力與r/r0成正比，隨著r/r0的減小，σr與σθ均迅速的接近原巖應力p0[11]。

假設深埋隧洞的水平荷載對稱于豎軸，豎向應力對稱于橫軸；豎向為p0、橫向為λp0。由于結構本身對稱，故可以通過疊加原理解決，將荷載分解為兩部分疊加，如圖2所示。

pi為初始支護阻力，MPa

2 隧洞圍巖彈塑性分析

2.1 基本假設和解題條件

假設如下：①圓形隧洞無限長；②原巖為理想彈塑性體；③原巖為不可壓縮材料；④隧洞埋深大于20倍隧洞半徑。

以Drucker-Prager系列準則作為隧洞圍巖彈塑性屈服條件，結合非均勻應力場分析隧洞圍巖的彈性應力分布。Drucker-Prager準則是在Mises屈服準則的基礎上，對巖土材料考慮平均應力I1。其屈服函數為[12]

(1)

I1=σθ+σz+σr

(2)

J2=[(σθ-σz)2+(σz-σr)2+

(σr-σθ)2]/6

(3)

在隧洞周邊圍巖中，由于隧洞斷面上的徑向應力σr、切向應力σθ和隧洞軸向應力σz兩兩正交，且一般σθ最大、σr最小，主應力次序為σθ≥σz≥σr，于是可認為3個主應力的大小為σ1=σθ，σ2=

σz，σ3=σr。在實際工程中通常中間主應力系數b與中主應力σ2與最大主應力σ1和最小主應力σ3的關系則有：

(4)

由式(4)得：

σz=bσθ+(1-b)σr

(5)

將式(5)代入式(2)、式(3)中，將其轉化為σθ+σr、σθ-σr和b的關系：

(6)

a2(σθ-σr)

(7)

(a-bα-α)σθ-(a-bα+2α)σr-k=0

(8)

整理可得到的D-P系列準則表達式為

(9)

用統一屈服方程表示為

σθ=Mσr+N

(10)

2.2 彈性區應力

根據圍巖的受力分布特點可知，將圖2圍巖荷載看成兩部分的疊加：①四周均布壓力(1+λ)p0/2；②左右均勻分布拉力(λ-1)p0/2和上下兩邊均勻分布壓力(1-λ)p0/2。對上述兩部分求解然后進行疊加，可得到非均勻應力分布下的應力分量。

對于四周均布壓力作用下，滿足靜力平衡方程式：

(11)

將式(10)代入式(11)求得微分方程：

(12)

式中：σr1為第一部分徑向應力；C為積分常數，由邊界條件確定。

(13)

由式(10)、式(12)可得隧洞圍巖應力：

(14)

式(14)中：σθ1為第一部分切向應力。

假設在第二部分左右兩邊均布拉力(λ-1)p0/2和上下兩邊均布壓力(1-λ)p0/2作用下，兩側受壓，兩側受拉應力場。在r→∞時，外邊界條件為

(15)

式(15)中：τrθ為剪應力。

而在圓環邊界處的條件σr|r=r0=0,τrθ|r=r0=0,假設應力函數為

φ=f(r)cos2θ

(16)

由邊界條件并結合半逆解和雙協調方程可以解得[14]：

(17)

式(17)中：σr2為第二部分徑向應力；σθ2為第二部分切向應力。

將式(14)、式(17)兩部分應力分量疊加，得到非均勻應力作用下隧洞圍巖全應力解，如式(18)所示：

(18)

由文獻[9]可知，切爾西(Kirsch)解。式(19)所示：

(19)

3 算例分析

為了進一步研究非均勻應力場對隧洞圍巖穩定性分析的影響，以云南高黎貢山隧洞為背景，其所處圍巖各參數如下：r0約為3.5 m，p0約為15 MPa，pi=1.8 MPa，c為2 MPa，內摩擦角φ為30°。將上述參數代入式(18)、式(19)計算。

(1)當λ=1時，代入式(17)，計算可得：

(20)

式(20)與文獻[15]軸對稱下的Drucker-Prager準則所計算的結果一致。

(2)當λ≠1，r=r0時，初始支護阻力為pi，隧洞周邊的應力分布σr=pi。

為了研究中間主應力系數b與θ、側壓系數λ三者之間的關系，現取中間主應力系數b分別為0.2、0.5、0.8，結合式(18)可得到中間主應力系數b與θ、λ之間的關系，如圖3所示。由圖3可知，在(330°，30°)和(150°，210°)的范圍內，隨著中間主應力系數b的增大，對應的側壓系數范圍減小。而且，中間主應力系數和側壓系數兩者之間的關系相互影響，因此在兩者間的協調作用下也能夠更好地反映出隧洞圍巖應力的大小。隧洞圍巖的在側壓系數以及中間主應力系數影響下，可以選擇有效且合理的支護措施，避免塌方的出現。

圖3 中間主應力系數b與θ、λ之間的關系

為了研究σθ、θ、λ三者之間的關系，中間主應力系數b分別取為0.2、0.5、0.8，結合式(18)和式(19)可知可得到σθ與θ及λ三者之間的關系，當側壓系數λ-1時，可以得到關于隧洞圍巖表面處切向應力σθ與θ、λ之間的關系，如圖4所示。由圖4可知：對于考慮中間主應力系數b不同時，在相同的θ及λ下，切向應力σθ會隨著b的增大而增大，但總體增加的幅度較小，而且切爾西解的曲面始終大于不同中間主應力系數b對應下的曲面解。當θ在一定范圍變化時，不同中間主應力系數b對應的曲面中σθ隨著側壓系數λ不斷增大而增大，σθ逐漸由負值變成正值。

圖4 隧洞圍巖表面處σθ與θ及λ之間的關系

為了分析當θ= 90°時垂直應力σθ與θ及λ三者之間的關系，中間主應力系數b分別取為0.2、0.5、0.8，結合式(18)、式(19)可得到σθ與θ及λ三者之間的關系，如圖5所示。由圖5可知，在相同的側壓系數下，切爾西解曲面隨著距隧洞中心距離r增大σθ緩慢減小，在距隧洞中心距離r一定時，σθ隨著側壓系數λ的變化較小。而對于3個不同中間主應力系數b的曲面，從整個曲面來看中間主應力系數越大，對應曲面σθ越小，而且總體的變化規律相同。在隧洞圍巖表面處σθ最大，隨著距隧洞中心距離r的變大，σθ減小，最終σθ逐漸趨于原巖應力。由圖5可知，切爾西解曲面與其他3組曲面有交線，在實際工程中可通過曲面之間的交線，判斷λ與σθ之間的關系找到最優解。根據式(18)計算出切向正應力σθ，得到更加合理經濟的結果。

圖5 θ=90°時，σθ與r、λ之間的關系

4 隧洞圍巖不同側壓系數演化特征數值分析

為了能夠加準確地分析側壓系數λ和中間主應力系數b對隧洞圍巖的影響，采用FLAC3D數值模擬軟件結合Drucker-Prager模型對隧洞圍巖應力演化特征進行數值模擬研究。模型尺寸沿X、Y、Z方向為50 m×30 m×50 m，其中X為隧洞斷面的水平方向，Y為沿隧洞軸向的水平方向，Z為隧洞垂直方向，為了便于數值模擬的研究，結合文獻[16]取b=0.5。邊界條件設置上表面為自由表面，其余邊界采用法向固定約束。當模型取的足夠大，超過隧洞半徑的10倍以上時，邊界效應倍消除[17]，建立了如圖6所示模型。

圖6 數值計算模型

由圖7可知，對不同的側壓系進行數值模擬，分析不同側壓系數對隧洞圍巖垂直應力的影響。同時在Drucker-Prager準則的基礎上，考慮了不同的中間主應力系數b對隧洞圍巖的影響。當中間主應力系數b不取定值時，由上述圖3可知，b的大小與側壓系數的關系，當b增大時，側壓系數對應的范圍也會有所減小。由7圖可知，分別對不同的側壓系數進行了數值模擬，當λ較小時，對于隧洞的拱頂和底部，所產生的應力遠小于原巖應力，且隨著λ的增大，隧洞的拱頂和底部的應力也會明顯的增加。但對于隧洞的幫部，則是隨著λ的增大，隧洞幫部應力逐漸的減小。當λ=0.4時隧洞兩幫表面圍巖的切向應力約為原巖應力的2.43倍，應力較大且較為集中，對隧洞的穩定性極為不利。當側壓系數λ不斷地增大時切向應力逐漸減小，最終在λ=1時，可看出切向應力恢復到約為原巖應力的2倍，符合理論分析的結果。分析可知，若中間主應力系數b不取定值時，由b和λ之間的線性關系，結合隧洞的幫部、底部和拱頂之間的變化趨勢，可以選擇合理的中間主應力系數b的大小確定隧洞圍巖的應力，使得支護的效果更好，更加經濟。

圖7 θ= 90°時不同側壓系數應力分布

由圖8可知，分析了不同側壓系數下的最大主應力。從圖8可以看出，隧洞開挖后在不同的側壓系數下圍巖的切向應力發生局部集中，在隧洞兩幫集中比較明顯。隨著側壓系數不斷地增大，隧洞圍巖在兩幫集中的應力不斷的減小，隧洞周邊受到的應力更加均勻。當側壓系數λ=1時，隧洞表面的圍巖應力接近原巖應力的2倍。隨著距隧洞中心的距離不斷增大，切向應力最終趨于了原巖應力。λ=1時，由圖8最大主應力云圖和圖5的應力曲面圖可知，當中間主應力系數b=0.5時，在隧洞圍巖表面處二者的切向應力曲面圖所得到的結果基本一致，約為原巖應力的2倍。

圖8 最大主應力云圖

5 結論

對非均勻應力場下圍巖應力的分析，得出以下結論。

(1)在基于Drucker-Prager準則的非均勻應力場下，深埋隧洞圍巖彈性區應力分布是由軸對稱和非軸對稱共同疊加作用的結果，通過構建力學模型，分別求出兩者的應力并進行疊加，推導出隧洞彈性區應力場解析表達式。

(2)基于Drucker-Prager準則作用與中間主應力系數下的非均勻應力場圓形隧洞的應力分布解析解與切爾西應力解做出比較，由理論分析可知：考慮中間主應力系數的隧洞圍巖表面處的應力明顯比切爾西的應力降低，且隨著中間主應力系數b減小，隧洞圍巖表面應力也減小。

(3)由分析可知，在(330°，30°)及(150°，210°)圍巖范圍內隨著中間主應力系數的增大，所對應的側壓系數范圍減小。

(4)通過FLAC3D數值模擬非均勻應力下不同側壓系數對隧洞圍巖的影響，可知側壓系數越大，隧洞幫部集中應力會降低，拱頂的集中應力增大和理論分析的結果基本一致。