基于疲勞強度分布的復合材料疲勞驗證載荷放大系數

郝新超，薛 斌

(中國商飛上海飛機設計研究院，上海 201210)

全機疲勞試驗可為確定飛機服役壽命和制訂檢查維護手冊提供重要依據[1]。復合材料結構疲勞壽命驗證試驗的可靠性是保證復合材料結構在飛機上安全應用的關鍵。復合材料比金屬結構具有更大的疲勞分散性。與金屬不同，復合材料與其結構是同時形成的，原材料和成型工藝的細微差異均會造成性能數據的變異性增大[2]。為保證疲勞驗證在統計上具有足夠可靠性和置信度，在復合材料飛機的驗證體系中需要一些典型結構部件進行試驗評價整個結構的合格性[3], 在典型結構試驗的基礎上獲得壽命系數(LF)或載荷放大系數(LEF)[4]。

采用壽命系數法，單件試驗件需要接近13.3倍壽命的驗證試驗方可滿足B基準的1倍壽命[5-8]，試驗周期過長，在全尺寸復合材料疲勞驗證試驗中不可行[6]。

載荷放大系數法(LEF)可以在不改變疲勞破壞模式的前提下，適當提高試驗疲勞載荷，從而在合理的試驗周期內，驗證結構在B基準(或A基準)下的設計壽命[7]。

文獻[4-8]給出了傳統的載荷放大系數的計算方法。該方法所得LEF依賴于疲勞壽命與靜強度Weibull分布的統計性質，不同類型結構特征的靜強度載荷放大系數(SLEF)分散性很大，應用上有一定的局限性。例如，對于含開孔的復合材料層壓板的載荷放大效果不明顯，不能很好地加速含孔復合材料的疲勞壽命試驗[9]。一般情況下，疲勞強度并不遵循正態分布或威布爾分布，而是遵循某種偏態分布-復合指數分布，當采用威布爾分布假設疲勞強度分布時可能會造成分析結果偏于危險[10]。

復合材料靜強度(或剩余強度)的分布函數不等于疲勞強度的分布函數，采用靜強度(或剩余強度)的分布推導而來的載荷放大系數，不能保證疲勞驗證具有足夠的可靠度。為此，研究復合材料疲勞強度和疲勞壽命的分布規律，在疲勞可靠性和疲勞強度分布[10-12]的基礎上給出一種新的疲勞強度載荷放大系數(FLEF)方法。在此基礎上獲得的疲勞載荷放大系數可保證疲勞驗證具有所需的可靠度與置信度，具有更小的系數分散性。

1 復合材料疲勞載荷放大系數確定

1.1 傳統載荷放大系數法(LEF)

由試驗統計數據可知，復合材料疲勞壽命服從雙參數Weibull分布[5-8]，疲勞壽命可靠度為p，即p(N>Np)的概率分布函數為

(1)

式(1)中：F(Np)表示疲勞壽命大于Np的概率函數；αL為疲勞壽命Weibull分布形狀參數;βL為尺度參數。

復合材料靜強度服從雙參數Weibull分布函數[5-7]，可靠度為p，即p(S>Sp)的概率分布函數為

(2)

式(2)中：F(Sp)表示靜強度(也稱為剩余強度)大于Sp的概率函數；αR為靜強度Weibull分布形狀參數；βR為尺度參數。

疲勞驗證壽命系數法詳細定義如式(3)所示，滿足可靠度為p，置信度為γ的疲勞壽命系數NF為[5-7]

(3)

(4)

式(4)表示在γ置信度下自由度為2n的卡方分布。可見壽命系數法的含義為采用n個試驗件進行NF倍壽命的疲勞試驗可保證1倍壽命的驗證結果具有p的可靠性和γ的置信度(通常γ=0.95)。

傳統載荷放大系數(LEF)可表示為式(1)和式(2)中相關參數的函數[4-9]：

(5)

(6)

式中：λ為使得壽命放大系數和載荷放大系數具有相同可靠度的相關系數；N為驗證周期；αL為疲勞壽命Weibull分布形狀參數；αR為靜強度(或疲勞剩余強度)Weibull分布形狀參數；n為驗證試驗件數量。

將式(3)代入式(5)得[4-7]：

(7)

由式(7)可見，傳統載荷放大系數(LEF)是復合材料靜強度Weibull分布形狀參數和疲勞壽命Weibull分布形狀參數的函數，并與壽命系數NF和驗證周期N相關。載荷放大系數LEF(N)與試驗周期N和壽命系數NF之間的關系[5-7]如圖1所示。

圖1 LEF(N)和壽命系數NF的關系

1.2 疲勞強度載荷放大系數法(FLEF)證明

Weibull[13]給出了在疲勞應力平均值Sm(或應力比R)為恒定值的情況下疲勞壽命破壞率與疲勞強度破壞率等同性的假設；傅惠民等[10]證明了該假設，進而由可觀測的疲勞壽命概率密度函數推導出疲勞強度特征函數的概率分布；熊峻江等[12]給出了具有可靠度p的廣義疲勞壽命P-Sa-Sm曲線，為復合材料疲勞強度的概率定義提供條件。

復合材料疲勞壽命與疲勞強度的概率疲勞壽命P-S-N曲線和廣義疲勞壽命P-Sa-Sm曲線如圖2所示。圖2中LEF(N=1)即為采用1倍壽命驗證周期時，具有B基準所需可靠度與置信度的載荷放大系數。圖2中，Smax為最大疲勞應力，p為疲勞壽命和疲勞強度的可靠度，pB-Base為B基準對應的疲勞壽命和疲勞強度可靠度，Sa為疲勞應力幅值，(Sa)P為概率疲勞應力幅值，S-1為對稱循環載荷下的疲勞極限，(S-1)P為對稱循環載荷下的概率疲勞極限，Sm為疲勞應力平均值，(Sm)P為概率疲勞應力平均值，SR為靜強度極限，(SR)P為概率靜強度極限，Ro-R為循環應力比。

圖2 復合材料疲勞P-S-N曲線與P-Sa-Sm曲線

1.2.1 復合材料疲勞強度分布函數

(7)

(8)

式中:f(NL|Sp)為最大循環應力為Sp時的疲勞壽命Weibull分布概率密度函數。在不同應力水平Sp下復合材料具有相同的形狀參數αL和不同的尺度參數βL(Sp)，即不同應力水平疲勞壽命有不同的分散度。

(10)

式(10)中：NL為疲勞壽命；Smax為在恒定應力比R下的最大循環應力;αL為疲勞壽命Weibull分布的形狀參數;βL(Smax)為疲勞壽命分布尺度參數βL關于最大循環應力Smax的函數。

1.2.2 復合材料疲勞S-N曲線

對于民用客機，設計壽命通常在28 000～60 000飛行循環之間，疲勞壽命屬于中等疲勞循環，疲勞分布符合冪指數分布函數。在對數坐標系中，復合材料S-N曲線Smax-lgNL為直線[11]。

令：

Smax=A′lgNL+B′

(11)

式(11)中:Smax為在恒定應力比R下的最大循環應力；NL為疲勞壽命；A′為斜率系數；B′為常數。

1.2.3βL(Smax)與Smax相關函數

由式(10)、式(11)得：

(12)

令：

(13)

1.2.4 復合材料疲勞壽命Weibull分布參數估計

(14)

(15)

(16)

(17)

1.2.6 給定壽命下復合材料疲勞強度平均值估計

將式(16)代入式(17), 令SmaxM(NL)為試驗次數為NL時，可靠度為p(p為平均值疲勞壽命對應的可靠度，一般p略小于0.5)的疲勞應力，求得：

(18)

其中，可靠度p為

(19)

1.2.7 給定可靠度與置信度下的復合材料疲勞強度估計

(20)

(21)

1.2.8 B基準可靠度復合材料疲勞強度估計

(20)

1.2.9 疲勞強度載荷放大系數

(23)

2 疲勞試驗結果與分析

2.1 疲勞試驗

研究表明，復合材料結構易在應力集中處(如開口周圍和存在沖擊損傷區域)產生疲勞問題[7]。通過兩種典型鋪層開孔拉壓(OHC)、一種鋪層充填孔拉壓(FHC)、兩種損傷尺寸的沖擊后壓(BVID和VID)試驗件在室溫干態條件下的疲勞試驗數據進行疲勞強度載荷放大系數(FLEF)方法的驗證。上述試驗均是等幅循環疲勞壽命試驗，疲勞試驗數據如表1所示，其中疲勞壽命單位kc表示千次疲勞循環，循環應力單位為MPa，循環應力比R分別為-1和0.1。

2.2 疲勞強度載荷放大系數分析

表1 不同疲勞應力下復合材料疲勞壽命數據

圖3 αmaxi和βL(Smaxi)的相關方程

2.3 傳統方法與本文方法的對比分析

2.3.1 兩種方法計算結果分散度及中值比較

采用傳統方法(LEF)，表2所述的5種疲勞試驗在試驗周期為1倍壽命時，其載荷放大系數分散度較大(最大為1.418，最小為1.104)，不符合文獻[7]所述疲勞載荷系數統計值約為1.177的統計規律。由靜強度和疲勞壽命分布形狀參數中值所得的載荷放大系數(表2中平均值行的LEF(1)= 1.165)與文獻[6]所述疲勞載荷放大系數統計值1.177相近。

采用疲勞強度載荷系數(FLEF)法，表2所述的5種疲勞試驗在試驗周期為1倍壽命時，其載荷放大系數分散度較小(最大為1.208，最小為1.116)，不同類型疲勞試驗的載荷放大系數的分散度較小，均與文獻[6]所述疲勞載荷放大系數統計值1.177相近。FLEF(1)的中值為1.141，本文方法(FLEF)所得載荷放大系數優于傳統方法(LEF)求得的載荷放大系數LEF(1)=1.165和文獻[6]給出的載荷放大系數LEF(1)= 1.177(1.141 < 1.165<1.177)，即采用較小的載荷放大系數可達到相同的可靠壽命。

表2 疲勞載荷放大系數

2.3.2 兩種方法的適用性對比

由于復合材料結構包含多種結構特征，為保證結構試驗驗證的可靠性，理論上應取所有特征中最為嚴重的載荷放大系數方可保證結構驗證的安全性。

采用傳統方法(LEF)求得的最大載荷放大系數(采用1倍壽命驗證周期時取1.418，采用2倍壽命驗證周期時取1.363)，在疊加環境影響載荷系數之后，將使得疲勞載荷大于靜強度，這將改變疲勞驗證的破壞模式而不可行。采用疲勞強度載荷放大系數法(FLEF)求得的最大載荷放大系數(采用1倍壽命驗證周期時取1.208，采用2倍壽命驗證周期時取1.184)較為合理。可用于包含上述特征的復合材料結構試驗驗證。

可見傳統方法(LEF)在應用上有一定的局限性，而疲勞強度載荷放大系數法(FLEF)則有更見廣闊的適用性。

2.3.3 兩種方法所需試驗件數量及數據有效性比較

運用傳統方法(LEF)需額外針對每種結構損傷特征進行靜強度(剩余強度試驗)試驗，并統計其分布規律(計算靜強度形狀參數αR)才可求得載荷放大系數。在進行大量不同結構損傷特征的疲勞壽命試驗和靜強度試驗前提下，基于綜合統計方可得到可行的綜合疲勞載荷放大系數。

因此傳統方法(LEF)所需試驗的數量大于疲勞強度載荷放大系數法(FLEF)，且傳統方法(LEF)無法得到針對單獨結構損傷特征的載荷放大系數。采用疲勞強度載荷放大系數法(FLEF)僅利用有限疲勞數據即可得到可行的針對每種結構損傷特征的疲勞載荷放大系數。

3 結論

(1)基于疲勞強度的概率分布給出了疲勞強度載荷放大系數，該方法通過不同類型損傷的復合材料層壓板疲勞試驗驗證了可行性。本文方法求得的載荷放大系數優于傳統方法計算結果，具有更小的數據分散性。本文方法(FLEF)有更廣闊的應用適用性。

(2)疲勞強度載荷系數法基于復合材料的概率疲勞壽命曲線(P-S-N)，在理論上更適合復合材料疲勞試驗載荷放大系數的確定。

(3)傳統方法所需試驗的數量更大，需要計算不同類型的疲勞和靜強度分布形狀參數的統計分布后才可獲得可行的疲勞載荷放大系數。疲勞強度載荷放大系數法僅需少量疲勞試驗即可針對不同類型疲勞數據單獨計算其載荷放大系數。