同心球殼電容器與同軸圓筒電容器的對應性

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

對于球形電容器和圓柱形電容器，由于帶電球面或帶電圓筒在其內部空間產生的場強為零，則內極板包圍的區域沒有電場；由于兩極表面的等量異種電荷都等效于集中在球心或軸線上而相互中和，則外極板之外的區域沒有電場.所以只在兩極板之間存在電場，或者說，電容器內部電場相當于只由里面的電極產生，與外面的電極無關.而且兩種電容器的電容公式和優化設計半徑的尺寸都具有對應性.

1 電容器的尺寸設計

【例1】[1]兩個同心導體球殼，外球殼的內半徑R=5 cm，內球殼的外半徑可以任意選擇，若兩球殼之間充滿各向同性均勻電介質，能使該電介質恰好不被擊穿的電場強度為2×107V/m，試求兩球殼之間能承受的最大電壓.

解析:設內球殼的外半徑為r，內、外球殼的電荷量分別為Q，-Q，相對介電常數為εr，以圓心為坐標原點，則兩球殼之間的場強與坐標x的關系式為

可知兩球殼之間的電勢差為

由場強的關系式可知，當x=r時，Ex取最大值，而Ex的允許最大值為Em，則

【例2】[2]由絕緣介質隔開的兩個同軸的柱形導體構成了同軸柱形電容器.設內、外導體與介質接觸面的半徑分別為r和R，長度為l(l?R-r)，兩圓筒之間充滿相對介電常數為εr的電介質，其擊穿場強為Emax.在外半徑R一定的情況下，為使電容器能夠承受的電壓最大，求內圓柱導體的半徑r應為多大.

解析:真空中均勻帶電無限長直線在距離為x處的場強大小為

設圓筒電容器內、外兩極分別帶等量正、負電荷，那么只有在兩圓筒之間的區域存在電場，這相當于只由里面的圓筒產生電場，而均勻帶電無限長圓筒在圓筒外面產生的電場可等效為電荷集中于圓筒軸線上的均勻帶電的無限長直線產生的電場，可知介質中離軸線x處的場強為

(1)

電容器內、外圓筒之間的電勢差為

(2)

由式(1)可知，當x=r時，場強最大，而電介質其擊穿場強為Emax，代入式(2)得

(3)

則

所以當內圓柱導體的半徑r=0.368R時，可使設計出的電容器能夠承受的電壓最大.

2 電容器的電容公式

【例3】試推導同心球殼電容器的電容公式.

解析:兩球殼之間的電勢差為

可知電容的倒數為

所以電容為

由此可知球殼電容器兩極等效正對面積等于兩個球殼表面積的幾何平均數.

【例4】試推導同軸圓筒電容器的電容公式.

解析:同心圓筒電容器兩極的電勢差為

所以電容為