基于圓球模型推導重力加速度與緯度的關系式

任孝有

(北京市通州區潞河中學 北京 101100)

有意義的科學實踐活動既是探究活動，也是科學模型的建構、分析、驗證、評估和優化的過程[1].模型建構，是2017版《高中物理課程標準》中科學思維之一，是培養學生核心素養的重要方法，也是高考中重點考查的內容，例如2019年高考北京卷第24題對雨滴運動建構圓球模型、圓盤模型以解決不同的問題.在高三第二輪復習過程中，可以結合高中的典型問題，適度拓展，幫助學生體會模型建構的過程，促進建模能力的提升.

1 提出問題

重力加速度的大小隨緯度的增加而增大，那么兩者的定量關系是什么呢？為了解決這個問題，我們需要對地球形狀進行建模，選擇靜止在地球表面上的小物體作為研究對象，分析其受力和運動，進而獲得重力加速度的表達式.

2 建構模型

2.1 《普通物理學》中重力與萬有引力的關系

在地球表面上的物體所受的萬有引力F可以分解成物體所受的重力G和隨地球自轉而做圓周運動的向心力F′，如圖1所示，其中

式中G0為萬有引力常量.

F′=mω2r

地面上觀察時，如圖2所示，支持力N與G是一對平衡力，方向相反，而N與接觸面垂直，從圖1中F與G的方向關系分析，G不指向地心，N就不是背離地心，所討論模型不是球形，而是橢球形狀，赤道直徑大于兩極點間距離.高中階段分析萬用引力問題時，地球常簡化為圓球，這樣數學要求相對簡單，更符合高中階段學生的認知水平，因此需要建構圓球模型推導重力加速度與緯度的關系式[2].

圖1 地球表面物體所受萬有引力分解

圖2 地面上的物體受一對平衡力

2.2 基于圓球模型推導重力加速度與緯度的關系式

按地球為圓球模型對靜止在地面上的小物體m進行受力分析，如圖3所示，指向地心的萬有引力F，垂直切面向外的支持力N，同時必有一個沿切面向上的靜摩擦力f，才能提供物體隨地球做圓周運動的向心力.因此，更準確地說是建構表面粗糙的圓球模型.對于重力G，在地面上其大小等于物體所受的支持力N，方向沿半徑指向地心O.

圖3 地面物體受力分析

設地球半徑為R，自轉角速度為ω，在緯度α處，小物體m做圓周運動的軌道半徑為r.如圖3所示，建立水平豎直坐標系，對F，N，f進行正交分解有

將兩個等式變換，消掉f

得

F-N=mω2rcosα

因為

r=Rcosα

所以

F-N=mω2Rcos2α

即

G=F-mω2Rcos2α

分兩種情況做初步分析：

(1)兩極時，α=90°，重力等于萬有引力；

(2)赤道時，α=0，G=F-mω2R.

與常規分析一致.

進一步分析，顯然對于任意緯度，重力加速度

(1)

取

G0=6.672 59×10-11N·m2/kg2

M=5.965×1024·kg

R=6 371 393 m

得到如表1所示對比數據.

表1 不同緯度對應的加速度

根據表1數據，用Excel畫出重力加速度g與緯度α的關系圖線如圖4所示，從中可以看出計算值g小于查詢值g0，但變化趨勢一致.考慮到地球實際不是球形，結果需要修正，從圖4猜想，如果將計算圖線的起點與終點上移與查詢值一致，兩條圖線或許會重合.

圖4 g-α關系圖

3 修正模型

因為式(1)右側兩項中都含有半徑R，基于控制變量的思想，保持R不變.G0為萬有引力常量不能改變，因此第一項中只能改變M，第二項只改變ω.根據查詢數據可得以下結論.

當α=90°時，g極點=9.832 18 m/s2，代入式(1)有

(2)

當α=0時，g赤道=9.780 30 m/s2，代入式(1)有

(3)

聯立式(2)、(3)可得

ω2R=0.051 88 m/s2

(4)

由式(1)、(2)、(4)得出g的一般表達式

g=(9.832 18-0.051 88 cos2α)m/s2

(5)

表2 不同緯度對應的修正后的重力加速度

圖5 修正后的g-α關系圖

4 評估模型

查詢資料[4]，當把地球看成是一個球體近似有

g=9.780 3×(1+0.005 3sin2α)m/s2

(6)

根據式(5)、(6)獲得的數據，同樣畫出g與α的關系圖線，如圖6所示，兩者完全重合，說明修正的關系式(5)成立，所建構圓球地球模型成立.

圖6 把地球看成一個球體g-α關系圖

5 應用模型

按照資料[4]，當把地球看成是一個橢球時，有

g=9.780 3×(1+0.010 5sin2α)m/s2

(7)

由式(7)可知

α=0g赤道=9.780 3 m/s2

α=90°g極點=9.883 0 m/s2

按照式(1)及修正過程，可以得到

g=(9.883 0-0.102 7cos2α)m/s2

(8)

根據式(7)、(8)獲得的數據，畫出g與α的關系圖線，如圖7所示，兩者完全重合，說明修正的關系式(8)成立.

圖7 把地球看成一個橢球體g-α關系圖

也就是無論按哪種模型方法推導，只要按照上述建模及修正方法，都可以獲得重力加速度g與緯度α對應的準確關系式.因此對于任意近似球狀天體，只要精確測出兩個不同維度上的重力加速度，則可以獲得其重力加速度與緯度的關系式，而不需要其具體的質量、自轉周期、半徑等.如果使用赤道和極點的重力加速度，則重力加速度與緯度的關系可以表達為如下關系式

g=g極點-(g極點-g赤道)cos2α

6 反思模型：為何可以這樣做？

圓是特殊的橢圓，圓球是特殊的橢球.從圓球推理出的重力加速度g的表達式，從橢球也應可以推出，但一定有不同，體現在修正前變化趨勢類似而結果偏小，當然這種模型建構過程，更像是黑體輻射導致普朗克提出能量子，要充分借助實驗數據，大膽想象，充分檢驗.