模糊微分方程可約的條件

吉利業，尤翠蓮

(河北大學 數學與信息科學學院，河北 保定 071002)

模糊集理論[1]是由美國專家 Zadeh在1965年提出的，模糊數學由此產生.在經典集合理論的基礎上，Zadeh提出了模糊集的概念.隨后學者們通過建立隸屬函數和相應的模糊集運算來分析模糊現象.為了衡量模糊事件的大小，Zadeh[2]又提出了可能性測度的概念.然而不足的是可能性測度不具有自對偶性.自對偶性是現實世界中十分必要的，為了解決這一問題，Liu等[3]提出了具有自對偶性的可信性測度.在2004年，Liu[4]建立了可信性理論并給出了可信性理論的4個公理.隨后Li等[5]給出如何判斷一個集函數是否為可信性測度的方法.2007年，Liu[6]將可信性理論進行了完善.從此，可信性理論得到穩步發展.

在可信性理論的框架下，Liu[6]提出了模糊變量的概念，即一種從可信性空間到實數集的函數.除此之外，模糊過程、模糊積分和模糊微分的概念也誕生了.為了解釋模糊現象隨時間的演變，Liu[6]提出模糊過程這一概念.最重要的模糊過程就是Liu過程[7]，它和隨機中的Brown運動具有同等地位.基于Liu過程，文獻[7]提出了Liu 積分和Liu公式，它們類似于隨機中的Ito積分和Ito公式.這些概念提出后，學者們做了大量工作.Qin等[8]把Liu過程從實數集推廣到了復數集.2015年，You等[9]討論了復Liu 積分的一些性質.You等[10]把Liu 積分和Liu 微分推廣到多維情形.You等[11]給出廣義Liu 積分的概念,并對一些性質進行了證明.目前學者們研究的模糊微分方程主要有2類：第1類是通過使經典微分方程的系數和初始條件模糊化得到的模糊微分方程[12-15].雖然方程的數值解法越來越吸引學者，但對其解析解的研究仍是相當重要的工作.近年來學者們利用各種工具或方法研究不同模糊微分方程的解析解，Hooshangian[16]和Altaie等[17]分別研究了模糊二階微分方程和模糊偏微分方程的近似解析解.第2類模糊微分方程是由Liu過程驅動的微分方程.這類方程最早出現在文獻[7]中，它的模糊性不僅體現在系數和初始條件上，還體現在驅動過程里.本文主要研究第2類模糊微分方程.

在模糊環境中，模糊微分方程是解決動態系統的有力工具，例如在科學、工程技術、金融投資等領域都會用到模糊微分方程去建立模型.You等[18]求出了線性模糊微分方程和部分非線性模糊微分方程的解析解，但仍有大量模糊微分方程不能得到解析解，所以You等[19]推導出模糊Taylor展開式，通過截斷展開式得到一種Euler逼近法并且討論了數值方法的收斂性.隨后文獻[20]中提出了一種基于模糊Taylor展開式來求模糊微分方程近似解的數值方法.在這2種模糊數值解法提出后，Cheng等[21]通過對Euler法進行改進提出新的數值格式.有關模糊微分方程數值解的研究將是未來模糊系統的一個重要研究方向.然而得到模糊微分方程解析解也是大家希望達到的目標.在求解析解的過程中，發現一類不能直接求出解析解、但能通過一個變量替換求解的非線性模糊微分方程，被稱為可約模糊微分方程.因此，本文主要目的是找到辨別和求解可約模糊微分方程的具體方法.

1 預備知識

Liu過程是一種模糊過程，在模糊微分方程的理論及應用中得到了廣泛的應用.

定義1[7]一個模糊過程如果滿足如下3個條件就稱為Liu過程.

1)C0=0;

2)Ct具有獨立且穩態的增量；

3)對于每一個固定時刻t，Cs+t-Cs是一個正態模糊變量，期望為et，方差為σ2t2.

如果e=0且σ=1，那么Ct是一個標準的Liu過程.

定理1[7](Liu公式)假設Ct是一個標準的Liu過程，h(t,c)有連續的偏導數.令Xt=h(t,Ct)，則

此時稱Xt關于CtLiu可積.

定義3[7](由Liu過程驅動的模糊微分方程)如果Ct是一個標準的Liu過程，并且f和g是給定的函數，Xt是未知的模糊過程，則方程

dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt

稱為由Liu過程驅動的模糊微分方程.

在文獻[18]中，模糊微分方程分為線性模糊微分方程，廣義線性模糊微分方程，齊次模糊微分方程和可約模糊微分方程.

形如

dXt=(a+bXt)dt+(c+dXt)dCt

的方程叫做線性模糊微分方程，其中a、b、c和d是常數.當a=c=0時，方程被稱為線性齊次模糊微分方程.

形如

dXt=(u1t+u2tXt)dt+(v1t+v2tXt)dCt

的方程叫做廣義線性模糊微分方程，這里的u1t、u2t、v1t和v2t是給定的模糊過程，并且與Xt、Ct無關.這個方程的解為

本文將線性和廣義線性模糊微分方程統稱為線性模糊微分方程.其他模糊微分方程統稱為非線性模糊微分方程.

形如

dXt=f(Xt)dt+g(Xt)dCt

的方程叫做齊次模糊微分方程，此處f和g都是給定的函數.

一個非線性模糊微分方程如果可以通過變量替換轉化為線性模糊微分方程，進而求解，稱這樣的方程為可約模糊微分方程.

2 可約模糊微分方程

應用一個恰當的替換Yt=U(t,Xt)，非線性模糊微分方程

dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt

(1)

可以轉化成一個關于Yt的線性模糊微分方程

dYt=(γtYt+αt)dt+(δtYt+βt)dCt.

(2)

結合方程(2)，可得

(3)

(4)

借此推導出非線性模糊微分方程轉化成線性模糊微分方程的條件，得到以下定理.

定理2令

αt和βt是模糊過程，C是任意常數.

證明：對方程(1)作變量替換Yt=U(t,Xt)后，令γt≡δt≡0，根據式(3)可得

對上式兩邊關于x求導，則

(5)

由式(4)，可得

上式兩邊對t求導,

(6)

將式(5)代入式(6)，如果g(t,x)≠0，那么

定理得證.

注1：此定理并不表示非線性模糊微分方程通過變量替換求解時替換形式唯一.

例1求解非線性模糊微分方程

(7)

定理3若函數a(x)和b(x)是二次可微函數，則模糊微分方程dXt=a(Xt)dt+b(Xt)dCt可以通過替換Yt=U(Xt)轉化成線性模糊微分方程dYt=(a1Yt+a2)dt+(b1Yt+b2)dCt，其中

其中

b2可以任意選擇，C1、C2是任意的常數.

證明：根據式(1)-式(4)，如果齊次模糊微分方程

dXt=a(Xt)dt+b(Xt)dCt，

可以通過替換Yt=U(Xt)轉化成

dYt=(a1Yt+a2)dt+(b1Yt+b2)dCt,

那么

(8)

(9)

接下來分2種情況尋求U(x)的表達式.

第1種情況，假設b(x)≠0且b1≠0，由式(9)可得

(10)

即

(11)

對式(11)求導，有

(a′(x)b(x)-b′(x)a(x))(b′(x)-b1)+a(x)b(x)b″(x)-a″(x)b2(x)=0.

所以

從而得到U(x).

另一種情況，如果b1=0，根據式(9)可得

U(x)=b2B(x)+C2，

(12)

b2可以在滿足式(8)的情況下任意選擇，C2是任意常數.

定理得證.

下面通過2個算例來驗證定理3的有效性.

例2設Ct是一個標準的Liu過程，a、b、k是正數，考慮模糊微分方程

dXt=k(a-lnXt)Xtdt+bXtdCt

(13)

的解.

則原方程的解為

例3令Ct是一個標準的Liu過程，假設a、b、k是正數，考慮模糊微分方程

(14)

的解.

所以模糊微分方程(14)的解為

從目前研究看來，很多非線性齊次模糊微分方程都是可約的，可以轉化為線性模糊微分方程,但是也有一部分是無法確定的，仍需進一步研究.

3 結論

本文討論了非線性模糊微分方程的可約條件和求解方法，其中包括如何判別一般非線性模糊微分方程是否可約以及如何轉化為線性模糊微分方程的方法，還包括非線性齊次模糊微分方程的可約方法.即使需要大量的運算，但仍有助于更簡便地求解非線性模糊微分方程.盡管如此，由于并不是所有非線性模糊微分方程都是可約的，故關于非線性模糊微分方程的求解仍需進行研究.