基于QR分解的線(xiàn)性方程組Ax=b的最小二乘解

陳 佳 余 苗 陶 婷

(成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院 四川 成都 610059)

如今許多應(yīng)用問(wèn)題都需要大規(guī)模的科學(xué)計(jì)算和數(shù)據(jù)處理，這些問(wèn)題許多時(shí)候直接或間接的需要求解如下線(xiàn)性方程組：

Ax=b

用LU分解比Gauss消去法直接求解節(jié)省大量計(jì)算。但在許多情況下此方程組沒(méi)有解，則退而求其次求其最小二乘解。矩陣的QR分解對(duì)此有著實(shí)際意義的應(yīng)用。

一、矩陣QR分解的三種方法[1][2][3]

定義1 設(shè)A∈Cn×n，如果存在n階酉矩陣Q和n階上三角矩陣R，使得A=QR，則稱(chēng)此分解為A的QR分解(或酉三角分解)。當(dāng)A∈Rn×n時(shí)，稱(chēng)為A的正交三角分解。

(一)Gram-Schmidt正交化方法QR分解

定理1 任何實(shí)(復(fù))n階非奇異矩陣可分解為正交(酉)矩陣Q和實(shí)(復(fù))的非奇異上三角矩陣R的乘積，且A=QR分解唯一。

證明：存在性 矩陣A的列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，寫(xiě)為α1，α2…αn，將其正交規(guī)范化為q1，q2…qn。令Q=(q1q2…qn)為正交(酉)矩陣。

(二)Givens變換法QR分解[4]

定理2 任意n階非奇異矩陣A=(aij)可通過(guò)左連乘有限個(gè)初等旋轉(zhuǎn)矩陣化為上三角矩陣。

由上可知，A=(Tn-1,n…T12)-1A(n-1)，令Q=(Tn-1,n…T12)-1，因旋轉(zhuǎn)矩陣Tij為正交矩陣，所以Q是正交矩陣，R=A(n-1)則A=QR是矩陣A的QR分解。

(三)Householder變換法QR分解

定義3 設(shè)單位列向量ω∈Cn，稱(chēng)矩陣：H=I-2ωωH為Householder矩陣，稱(chēng)由Householder矩陣確定的線(xiàn)性變換為Householder變換。

定理3 Householder變換可使任意非零向量ξ變成與給定單位向量γ同方向的向量η

二、基于QR分解的Ax=b最小二乘解[6]

QR分解可用于解線(xiàn)性方程組Ax=b的最小二乘解，設(shè)A=QR，則原方程組化為QRx=b，由于Q是正交矩陣，則求上述方程組最小二乘解就是求Rx=QTb的最小二乘解。