例談生成性教學視野下分式方程的教學

任宏章

摘? ? 要：教學的核心不是目標的達成而是學生的發(fā)展，而學生的發(fā)展是在具體教學過程中實現(xiàn)的.生成性教學視野下的課堂教學，整體感悟，巧妙預設，自然生長，憑借經驗引發(fā)沖突，追根悟道靈動生成，拓展延伸創(chuàng)意不斷，思潮涌動智慧發(fā)展.

關鍵詞：生成性教學;追根悟道;靈動生成;智慧發(fā)展

教學的核心不是目標的達成而是學生的發(fā)展，而學生的發(fā)展是在具體教學過程中實現(xiàn)的[1].生成性教學視野下的課堂教學，整體感悟，巧妙預設，自然生長，憑借經驗引發(fā)沖突，追根悟道靈動生成，拓展延伸創(chuàng)意不斷，思潮涌動智慧發(fā)展.

一、憑借經驗? ?引發(fā)沖突

課堂教學在生成性教學的視野下組織，在整體感悟分式研究內容可以類比整式研究內容的前提下，自然從整式方程過渡到分式方程的問題，從回顧上一節(jié)的學習內容開始，聚焦解分式方程，學生提及解分式方程的三種方法：①利用分式的值為0的條件解分式方程;②利用分子、分母比較的方法解分式方程;③利用等式的基本性質兩邊同乘以最簡公分母化分式方程為整式方程的解分式方程.其中方法③需要檢驗，檢驗的方法為：把求得的未知數(shù)的值代入原方程，如果方程左右兩邊的值相等，未知數(shù)的值就是原方程的根，否則就不是.

在這樣的經驗引導下，筆者讓學生嘗試解方程：

（1）[3x+1-1x-1=0].

（2）[5x-4x-2=4x+103x-6-1].

生1解方程（1）的過程如下.

解：兩邊同乘以[（x+1）（x-1）]得：[3（x-1）-（x+1）=0].

解整式方程得：[x=2].

檢驗：把[x=2]代入原方程

左邊=[32+1-12-1]=0，右邊=0，

左邊=右邊.

∴[x=2]是原方程的根.

生2解方程（2）的過程如下.

解：兩邊同乘以[3（x-2）]得：[3（5x-4）=4x+10-3（x-2）].

解整式方程得：[x=2]

檢驗：把[x=2]代入原方程

左邊=[5×2-42-2]=0，右邊=[4×2+103×2-6]=0，

（分母無意義）? ?（分母無意義）

∴原方程無解.

生1的解方程過程沒有異議，但很快有學生發(fā)現(xiàn)生2的解方程過程中[5×2-42-2]=0的書寫是有問題的，分母無意義的說法值得肯定，但結果為0是錯誤的，分母為0無法計算.課堂的意外發(fā)生了，是計算錯誤嗎？學生都陷入沉思.

分母無意義情況的出現(xiàn)，引發(fā)了思維的沖突.課堂的生成在筆者的精心預設之下發(fā)生，筆者抓住這一契機，提出問題：

[x=2]是方程（2）的根嗎？難道計算錯誤了嗎？

二、追根悟道? ?靈動生成

經過檢查，學生一致認為：[x=2]不是方程（2）的根，計算沒有錯誤.那為什么會出現(xiàn)這種情況呢？

小組討論：在解分式方程的過程中，哪一步變形可能引起未知數(shù)的值不是方程的根？

課堂討論在進行，學生發(fā)現(xiàn)問題.

生3針對生2的解題過程說明：兩邊同乘以的最簡公分母[3（x-2）]是0，而事先不知道最簡公分母[3（x-2）]是0.這道題兩邊不能同乘以最簡公分母[3（x-2）].

師：生3說得很有道理，但兩邊不能同乘以最簡公分母[3（x-2）]的說法不能讓人信服，因為我們解分式方程開始時不知道最簡公分母是不是0，現(xiàn)在乘了，要想一想是否有后補的措施？

學生異口同聲說：檢驗.

師：那檢驗哪些方面呢？

生4：一要檢驗計算的正確性，二要檢驗得到的未知數(shù)的值是否適合原方程.

師：這就對了.現(xiàn)在比較乘以最簡公分母[3（x-2）]前后的兩個方程，從解的存在的角度出發(fā)，有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：乘以最簡公分母后的方程的解的范圍擴大了，未知數(shù)的取值允許原來分母為0了.

師：這就是說，乘以最簡公分母前后的兩個方程不一定是同解方程，乘以最簡公分母后得到的整式方程加上最簡公分母不為0才會與原方程同解.

學生在教師的追問下對問題的理解不斷加深，至此，學生明白了增根產生的原因，也知道了解分式方程要檢驗的道理.

于是，筆者引導學生閱讀課本，回答問題：不是原方程的根叫什么根？

像這樣使分式方程的分母為0的根叫作原分式方程的增根.

解分式方程的過程在悟道的基礎上自然生長.

因為解分式方程可能產生增根，所以解分式方程必須要檢驗.但能用比較簡明的方法檢驗解分式方程產生的增根嗎？

新的問題再次引起學生的思考.

生6：增根的檢驗不需要代入原方程，只要代入最簡公分母.

師：具體怎么代呢？

生6：如果代入最簡公分母的值是0，就是增根;如果代入最簡公分母的值不是0，就是根.

師：請你改進方程（2）的檢驗過程.

生6到講臺前板書：檢驗：把[x=2]代入最簡公分母[3（x-2）]，得[3（x-2）=0].

∴ [x=2]是原方程的增根.

∴原方程無解.

師：今后熟練了，我們也可以直接寫：

經檢驗x=2是原方程的增根.∴原方程無解.

解分式方程的規(guī)范過程在悟道的基礎上自然生成.

在已經規(guī)范解分式方程過程的基礎上，讓學生解下列方程：

（3）[1x-2=1-x2-x-3].

（4）[x-2x+2-x+2x-2=16x2-4].

生7板書解方程（3）過程如下.

解：[1x-2=-1-x-x-2-3（x-2）].

兩邊同乘以（x-2）得：1= -1+[x]-3（[x]-2）.

解整式方程得：[x]=2.

檢驗：把[x]=2代入[x]-2=0.

∴[x]=2是原方程的增根.

∴原方程無解.

當生7板書完成解方程（3）后，筆者沒有評判，而是讓全班學生觀察，發(fā)現(xiàn)錯誤或書寫不妥之處可以直接走上講臺前修改.

生8把[1x-2=-1-x-x-2-3（x-2）]改為[1x-2=-1-x-x-2-3];

接著生9把[1x-2=-1-x-x-2-3]改為[1x-2=-（1-x）-（x-2）-3]，再變形為[1x-2=x-1x-2-3].

修改的過程在無聲的交替過程中進行，學生觀察著、思考著，把利用等式的性質與利用分式的性質進行比較、區(qū)別，解分式方程的過程在認知漸進的生成過程中不斷被修改、被規(guī)范、被糾正.

真正意義的課堂學習在不斷發(fā)生，課堂生長的力量在持續(xù).

生8板書解方程（4）過程正確（略）.

規(guī)范解分式方程過程在練習實踐中進一步充實、完善.

三、拓展延伸? ?創(chuàng)意不斷

隨著課堂的進展，筆者正準備出示含有字母參數(shù)的方程，但被學生修改完善解方式方程的過程深深感染.

于是靈機一動，說：分式方程[1x-2=1-x2-x-3] 等號左邊的分子被污染了，用一個未知的字母[a]表示，變成[ax-2=1-x2-x-3]（筆者隨即在投影上做了修改），請問這個關于[x]的分式方程一定有解嗎？

筆者的提問引起學生的思考，馬上生9站起來說：[a]=1時，該方程無解;[a]≠1時，該方程有解.

教師問：你是怎么想的呢？

生9：憑感覺嘛！

師：憑感覺？怎么能憑感覺呢？應該有道理吧，可以怎樣寫出過程？

生10：不妨先把含字母[a]的分式方程化成整式方程，再把可能的增根[x]=2代入得到的整式方程，就可以求出[a]了，看看是否有[a]=1.

根據學生的表述，筆者板書：

兩邊同乘以（[x]-2）得：[a]= [x]-1+3（[x]-2）.

當[x]=2時，[a]= 1.

∴[a]= 1時，原方程有增根x=2，即原方程無解.

師：看來生9的直覺是正確的，數(shù)學需要直覺，但僅靠直覺并不可靠，需要想明白其中的道理，需要用數(shù)學的方式表達出來.

筆者的教學機智顯然被激活了，再次靈機一動要求學生繼續(xù)改編問題.

仿照教師的做法，把分式方程[1x-2=1-x2-x-3] 改編為含字母[a]的分式方程，討論該方程解的存在情況.先在白板上書寫編好的題目，再寫出解題過程.（磁性白板，學生書寫的小白板可以粘貼展示）

班中七個小組的學生迅速進入合作學習狀態(tài)，6分鐘后，四個小組學生完成編題解題，兩個小組學生完成編題，解題沒有寫全，一個小組學生編題后寫解題過程遇到困難.

學生編題主要有三種.

編題1：[a]為何值時，分式方程[1x-2=a-x2-x-3]有增根？

編題2：[a]為何值時，分式方程[1x-2=1-ax2-x-3]無解？

編題3：[a]為何值時，分式方程[1x-2=1-x2-x-a]有增根？

筆者分別請編題小組學生當小老師，講解編題的想法，說明解題過程.編題1、2的學生講解順利，編題3的學生講解如下.

解：兩邊同乘以（[x]-2）得：1=[x]-1-[a]（[x]-2）.

當[x]=2時，1=2-1;

當[x]≠2時，（[x]-2）（1-[a]）=0，[a]=1.

（此時，負責講解的學生無法說清楚是什么情況）

學生自己編的題自己說不明白.這一意外生成顯然也是筆者事先沒有預料的，課堂在此卡殼，師生都陷入沉思.

筆者此時讓學生冷靜地觀察、比較、思考，a=1時原方程可以變形為什么？a≠1時原方程又可以變形為什么？

馬上有生11說：[a]=1時原方程變?yōu)閇1x-2=1x-2]，這是一個恒等式.

師：未知數(shù)[x]可以取哪些值呢？

生11：除了2以外的所有數(shù).

師：此時方程的解有多少個？

生11：無數(shù)個.

師：怎樣描述此時方程解的情況？

生12：當[a]=1時，分式方程有除了2以外的無數(shù)個解.

師：另外一種情況怎么說呢？

生13：[a]≠1時，原方程變形為（[x]-2）（1-[a]）=0，一定有[x]=2，而[x]=2是增根，所以方程無解.

至此，在師生的對話過程中，思想的匣子被打開，智慧的思考發(fā)生了，編題3有了完美的解答，這一解答超越了常規(guī)，一般情況字母[a]取一個確定的值時，分式方程有增根，而本題中字母[a]取確定的值時，分式方程有除了2以外的無數(shù)個解，字母[a]除了1以外不確定時，分式方程無解，這是特殊的案例.

意料之外的生成促成深刻的思想的產生，現(xiàn)有的資料中沒有，過去教師也沒有講過，課堂生成開出美麗的花朵，鮮艷奪目.

在此基礎上，筆者進一步要求學生完成練習：

（5）若方程[2x+ax-2=-1]的解是正數(shù)，求[a]的取值范圍.

（6）關于[x]的方程[2xx+1-][ mx2+x= ][2x-1x]，

當[m]為何值時，會產生增根？