基本不等式教學需注意的問題及教學建議

唐瑞 趙思林

摘? ? 要：基本不等式是培養學生發現數學知識、邏輯推理能力和數學應用意識的好素材.在基本不等式教學的新課引入中，教師應根據學生實際和學生的最近發展區，可優先考慮生活情境、弦圖法、“問題串”法;對于基本不等式證明方法的選擇，除教材中提到的比較法、分析法和綜合法外，還有幾何法，而且可以利用“一題多證”培養學生的發散思維.

關鍵詞：基本不等式;教學問題;教學建議

一、基本不等式的數學文化價值

1.從趙爽的“弦圖”可發現基本不等式.中國數學家趙爽在《周髀算經》中寫道：“以圖考之，倍弦實，滿外大方，而多黃實.黃實之多，即勾股差實，以差實減之，開其余，得外大方.大方之面，即勾股并之.”[1]即：若直角三角形兩直角邊為[a，b，a>0，b>0]，斜邊為[c]，則

2.從歐幾里得的矩形之變可發現基本不等式.歐幾里得最早給出了兩條已知線段的比例中項的作圖法，現行教材采用這種方法來發現和證明基本不等式.

3.從芝諾多魯斯的等周問題的結論可發現基本不等式.芝諾多魯斯研究等周問題提出了命題，“在邊數相同、周長相等的所有多邊形中，等邊且等角的多邊形的面積最大”.若矩形長為b，寬為a，則與該矩形等周長的正方形的邊長為[a+b2]，由此利用“正方形的面積不小于該矩形面積”可推出：

二、基本不等式的教材分析

（一）教材的地位與作用

“基本不等式”是初中學過不等式的幾條簡單性質及一元一次不等式的解法、高中學過一元二次不等式的解法之后，人教A版教材從幾何背景（趙爽弦圖）中探究發現的結論.基本不等式的教學價值體現在以下幾方面：一是發現和證明其他一些不等式的重要工具，如利用基本不等式可發現和證明n元算術—幾何平均值不等式[2];二是求解最值問題的有力工具;三是解決其他數學問題的重要工具;四是高考數學的重點和熱點;五是學習高等數學的基礎.

（二）教學目標

將本節課的教學目標確定為：①能在具體的幾何問題情境中，通過思維（觀察、抽象、概括等）及演繹推理得到基本不等式;②在多角度探索基本不等式的過程中，體會數形結合的數學思想方法;③會運用基本不等式解決簡單最值問題，體會數學的應用價值.祝存建[3]強調“……感受數學形式化結論的一般形成過程——實驗、觀察、猜想、歸納、抽象、概括，形成結論，體會數學的理性思維價值，發展學生的數學思維能力.”這就把探究數學、發現（再創造）數學納入教學目標，其教學境界會大大提升.

（三）教學重點與難點

大部分教師都將“應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程”視為教學重點;將“從不同角度探索基本不等式的證明，能利用基本不等式的模型求解函數最值”作為教學難點.陶文晶[4]建議，應該將基本不等式成立時的三個限制條件（簡稱“一正、二定、三相等”）作為本節課的難點.

三、基本不等式教學需要注意的幾個問題

基本不等式教學存在教師自身的數學知識系統不夠完善，不夠重視數學知識本質的教學等問題.這說明，對教師而言基本不等式貌似簡單實則難.因此，教師自身提升數學素養是非常必要的.

（一）新課的引入：滲透數學文化或聯系生活實際

基本不等式的引入方式大致分為五種：一是從基本不等式的歷史背景引入，如人教A版利用趙爽的“弦圖”引入;二是從其他學科知識引入，如在蘇教版教材中，通過天平稱重，引導學生利用物理知識得出數學公式;三是從生活實際問題引入[5]，如利用“裝箱”問題引入;四是從代數問題引入，如通過賦值比較[ab]與[a+b2]的大小，由特殊到一般歸納出基本不等式;五是采用公理化思想的方法，即是直接把“[a2≥0]（[a∈R]）”作為不等式的一個公理，由此推導出基本不等式，這樣處理，突出了數學知識的內在聯系，可以回避花花草草的煩瑣情境，降低學生的認知負荷.曾萍等[6]對“弦圖”引入法提出質疑：（1）用“弦圖”表示重要不等式的等號成立的條件不易直接從“弦圖”看出;（2）分別以[a、b]替換[a、b]的思路不自然;（3）證明方法單一，不利于培養發散思維.對此，她利用AMA軟件，通過對原圖形的伸縮變化，減少視覺對圖形位置改變的處理，減少注意力的分散;用“問題串”引導學生對重要不等式進行變形，得到基本不等式;分別從幾何視角和函數視角解釋基本不等式，以增強對不等式的理解.但需注意，若用趙爽的“弦圖”引入，則會產生數學“育人”之效應，一是可激發學生的愛國主義情感，二是可滲透數學文化的教育.張忠旺[7]認為第一種引入方式中的“弦圖”的本質就是完全平方公式的變形，也即基本不等式的幾何意義;第二、三種引入方式過于復雜，耗時較長，沖淡了教學目標;第四種引入方式有虛假之感;第五種引入方式的困難在于學生對“公理”的理解并不容易.

每種引入方式都有利有弊，應根據學生實際情況選擇合適的引入方式.綜合來看，利用“天平稱重”引入基本不等式是較佳的方式，不僅聯系生活實際，而且涉及物理知識，最重要的是避免了人教A版中“替換”的不自然過程，通過分析真實重量，直接得到[ab]和[a+b2]，再通過猜測、驗證得出基本不等式.這個引入方式自然、簡潔，有利于學生體會數學建模思想，有利于學生經歷發現（再創造）數學的過程，但會增加學生的認知負荷.

（二）證明方法的選擇

人教A版教材僅給出三種證明方法：分析法、綜合法及幾何模型法.用人教A版中第一種證明方法即分析法有困難，難點在于學生不容易理解為什么可以這樣證明以及證明的書寫格式，其原因是學生還沒有接觸過分析法的邏輯依據，教師需對分析法證明的合理性做適當說明.用分析法證明不等式，在2003年前的教材中雖然安排了2學時，但仍有很多學生學得很艱難甚至痛苦;現行的人教A版教材只安排幾分鐘，可能教材編寫專家低估了分析法的教學難度，需要評估這種安排的實際效果.黃婭[8]對教師采用的證明方法調查發現，采用作差法、幾何模型法、分析法、函數單調性、弦圖法分別占59.3%，51.9%，48.1%，14.8%，11.1%.需要說明的是，不少教師同時選用了2～3種引入方法.基本不等式的證明的教學，應重視它和其他知識（平面幾何、三角、數列、向量等）的內在聯系，體現它“基本”的一面——證明的多樣性與變形的多樣性，從而幫助學生對基本不等式的本質的理解.