克服思維定式走向深度學習

潘敬貞 駱妃景

摘? ? 要：開展“一題多解”教學是克服學生思維定式，培養學生思維靈活性的有效途徑之一.師生可從多角度、多途徑尋求解決問題的方法，開拓學生解題思路，總結解題規律，使學生分析問題、解決問題的能力得到提高，思維的發散性和創造性得到增強，最終達到發展學生核心素養的目的.

關鍵詞：核心素養;高考復習;一題多解;思維定式

“一題多解”是高考二輪復習解題教學或試卷講評中常用的手段，開展“一題多解”教學是克服學生思維定式，培養學生思維靈活性的有效途徑之一.用“一題多解”引領的高三數學復習教學，主要是師生一起從多角度、多途徑尋求解決問題的方法，開拓學生解題思路，并引導學生從多種解法的對比中選最佳解法，總結解題規律，使學生分析問題、解決問題的能力得到提高，思維的發散性和創造性得到增強，最終達到高效復習、發展學生核心素養的目的.本文結合實例談用“一題多解”引領高三數學高效復習.

一、教學案例

（一） 用“一題多解”梳理整合知識，構建知識體系

評注? ?這是解三角形問題中比較基礎的邊角互化問題，學生能夠輕松解決，原本可一筆帶過，但本題用兩種方法解決可以讓學生進一步熟悉邊角互化問題中的角化邊或者邊化角兩個通法，同時可以引導學生回顧有關知識，構建知識體系.解法1主要通過用正弦定理邊化角帶領學生回顧復習正弦定理、三角恒等變換等知識;解法2通過余弦定理角化邊帶領學生回顧復習余弦定理以及訓練恒等變形等運算能力.

評注? ?第（2）問是高考中常考不衰的問題.該問的解法1是利用余弦定理邊化角建立二元變量的關系，進而用重要不等式求二元最值問題，也可以用消元得到關于一元函數再用求導的知識來解決.解法2是利用正弦定理邊化角建立一元角的目標函數并結合三角函數的圖象性質進行解決問題.這兩種方法都是學生熟知的解決此類問題的通法，進一步幫助學生梳理了解三角形中二元最值問題中代數化的方法.通過用兩種解法從不同角度、聯系不同知識對問題進行求解，有效地引導學生以問題為中心，將不同知識點連成線、織成面，促進知識的梳理與整合，幫助學生構建知識體系，逐步提升數學綜合能力.

（二）用“一題多解”發散思維，培養創新意識

解法3（運動軌跡+數形結合）：

一邊及其對角問題其本質是點的軌跡問題，條件中[C=π3，c=7]，由正弦定理可知，點[C]在半徑為[213]的圓的優弧[AB]上運動，如圖1所示，利用[△ABC]外接圓直觀分析，動點[C]運動到優弧[AB]的中點[M]時（[△ABC]為等邊三角形），[△ABC]的面積最大（底不變，高最大），即[ab]最大，又因為[（a+b）2=3ab+7]，當[ab]取得最大值時，[b+c]也取得最大值為[27]，所以[△ABC]周長的最大值為[37].

評注? ?解法3是利用外接圓直觀分析解決三角形中已知一邊及其對角問題情境求范圍，快速高效，多在選擇、填空題中使用，讓學生體會數形結合的思想，培養學生直觀想象、數學抽象的核心素養.解法4是利用余弦定理+方程思想，適用性比較強，能夠解決大部分關于二元齊二次變量關系，求二元一次和差最值問題，比如本題若求[ma+nb]（其中m、n為常數）的最值，該法也適用，且易于操作和理解，幫助學生多題歸一，形成解決此類問題的能力.解法5是利用平面向量基本定理尋找三角形的邊角關系，凸顯利用平面向量工具解決平面幾何的重要地位，引導學生重視平面向量工具在平面幾何中的應用.這三種解法在某種程度上都拓寬了學生的解題思路，發散了學生的思維，培育了學生的創新意識.

感悟? ?“一題多解”教學需要注意方法的比較和個性化選擇.本題第（1）問用了兩種解法，第（2）問用了五種解法，其中解法1、2比較容易想到，重在幫助學生梳理知識，建構知識系，解法3～5幫助學生將知識融會貫通，有助于培養思維的變通性、靈活性和多樣性，有利于培養良好的思維品質.因此一題多解可以開闊學生眼界，讓學生以后遇到類似的問題，可以選擇自己熟悉的易于掌握的方法解決問題.但在五種方法連續出現后也要注意引導學生比較各種解法的條件限制性、適用性、思維量及優缺點后找到適合自己的方法，并將該方法領悟透徹、落實到位！

（三）用“一題多解”提升變形能力，培育邏輯推理核心素養

評注? ?由簡單的遞推關系式或[an]與[Sn]的基本關系求數列通項公式是數列中常見的問題.本題是已知[an]與[Sn]的基本關系求數列通項公式，解答該題首先利用[an]與[Sn]的基本關系去掉[Sn]，然后得到數列遞推關系式.解法1是通過變形將數列遞推關系式轉化為常數列，解法2是變形后轉化等差數列，解法3是變形后再利用迭代法，解法4是問題進行求解變形后再利用累乘法.這四種解法都是求數列通項公式常用的方法，試題雖然不難但對變形能力和推理有著較高的要求，這四種不同的變形方式對提升學生的變形能力和培育學生的邏輯推理核心素養大有裨益.

感悟? ?“一題多解”教學需要在課堂上給學生留足“悟”的時間.本題解法1和解法4學生比較熟悉，能夠輕松解決，可以一筆帶過，但解法2是通過對[n]增加一步，利用等差中項得出[an]為等差數列，這個變形對學生能力要求比較高，解法3利用數列中兩個相鄰項的商等于一個含有[n]的式子，利用迭代法求通項，該變形學生不太熟悉，但這兩個方法是求數列通項的重要方法，因此這些變形要留給學生整理和體會甚至再做一遍的時間，否則眾多的解法變形也只是過眼云煙，低效教學.再者課堂上留足時間讓學生領悟甚至再做一遍，也是學生思維向縱深發展，培養學生邏輯推理、數學運算素養與滲透數學思想方法的重要途徑.

（四）用“一題多解”優化解題過程，提高運算求解能力

評析? ?解法1是聯立直線與橢圓方程，進而用韋達定理和弦長公式等，是本題的通法，但運算量較大，很少有學生能解到最后一步.解法2是聯立直線與曲線方程并求出交點坐標，巧妙地回避了分類討論，運算量和解題長度都有所減小，是一種不錯的解法.圍繞著同一個問題用兩種不同的解題思路，從不同角度讓學生親歷解題實踐，提高了學生的運算求解能力，優化解題過程，培育數學運算素養等.

感悟? ?一題多解能有效優化運算，培養學生的數學運算素養，但也不能一味追求解法的多樣化，需要適當地在學生困惑處精雕細琢、濃墨重彩地下足功夫，解決學生熟悉解法中的“卡殼”.例如本題中的解法2含有轉化變形技巧，有一定的靈活性;解法1才是本題的通法，也是大部分學生容易想到的思路，學生有時對于解題方法選擇時帶有很強的慣性，就算他有了解法2的經驗，但他依然會選擇解法1，但眾多學生在求弦長[MN]時出現“卡殼”，因此教師在講評解法1時重點引導學生如何消元，代數整理突破計算難點，培養學生的數學運算素養.

二、教學思考

（一）“一題多解”教學要兼顧差異

“一題多解”教學如何調動學生的積極性，如何兼顧好優秀生、中等生及學困生，并在各層次學生之間尋求平衡？這是開展“一題多解”教學要直面的問題，比如在例1中第（2）問的解法1、解法2大多數學生的思維都能得到激活，優秀學生也能夠很好地掌握解法3～5，但如果學生在課堂上不能夠很好地參與進來，那么在后四種解法的教學中，不少中等生、學困生就變成陪襯.實際上，“一題多解”更要重視分層教學，沒必要要求人人都能理解所有的解法，在例1中大多數學生能夠將2～3種方法好好領悟到位就足矣.另外，對于“一題多解”教學中的每一個解法除了講清思路外，還需要將計算進行到底，如果課堂上時間不允許，可以將一些解法留到課后，學生互相交流解決，這樣既能有利于優秀學生的發展，又能兼顧差異.

（二）“一題多解”教學要重視學生在課堂中的再體驗及課后跟進的鞏固練習

“一題多解”不是教師的表演秀，天花亂墜地向學生展示多種解法，也不純粹是學霸們的展現平臺.“一題多解”教學中教師不但要引導學生“怎樣想到這樣解、為什么這么想、遇到哪些問題可以這樣想”等，還要讓學生親歷體驗解題活動，同時教師還要選編課后練習，引導學生及時跟進鞏固練習，內化課堂解題方法，提高“一題多解”的效益.這樣一來學生更容易記住和遷移解題經驗，形成解決此類問題的能力，發展核心素養.

（三）“一題多解”要把握一個“度”

“一題多解”的教學有其兩面性，并不是方法越多越好，要有一個“度”，如果超出一個“度”，“一題多解”就將浪費學生的時間和精力，導致備考效益低下.所以要牢記“一題多解”要充分了解學生的情況，根據學生的學情選擇多解中“多”的角度;在學生的“熟悉”和“陌生”之間尋求突破口，確定講解的詳略點.

用“一題多解”引領的高三數學教學對教師提出更高的要求，只有多學習、多思考、多研究，平時要勤于實踐和反思，方可達到高效備考的目的.