基于奇異值分解改進(jìn)觀測(cè)矩陣的FBG傳感信號(hào)處理

劉航 王波 郎代志

摘 要：針對(duì)地下管廊環(huán)境惡劣復(fù)雜、噪聲干擾較大的問(wèn)題，提出一種基于奇異值分解的改進(jìn)觀測(cè)矩陣方法，通過(guò)提高壓縮感知處理光纖布拉格光柵傳感信號(hào)精度，完成噪聲預(yù)處理。對(duì)觀測(cè)矩陣進(jìn)行分解重構(gòu)，提高信號(hào)重構(gòu)保真度。首先對(duì)隨機(jī)觀測(cè)矩陣進(jìn)行正交化處理，再對(duì)其進(jìn)行奇異值分解，將特征矩陣特征值改為恒定值，帶入新的特征值后將產(chǎn)生新的觀測(cè)矩陣。對(duì)信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)，并采用信噪比、重構(gòu)誤差等指標(biāo)確定稀疏度K。仿真結(jié)果表明，該方法重構(gòu)精度提高約72%。

關(guān)鍵詞：壓縮感知;奇異值分解;觀測(cè)矩陣;傳感信號(hào)

DOI：10. 11907/rjdk. 192419 開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

中圖分類號(hào)：TP393文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-7800（2020）008-0202-05

Abstract： Aiming at the problem of large noise interference in the harsh complex environment of underground pipe gallery， we propose an improved observation matrix method based on singular value decomposition（SVD） to improve the accuracy of the compression sensing （CS） processing fiber Bragg grating sensing signal and achieve the purpose of noise preprocessing. The signal reconstruction fidelity is improved by decomposing and reconstructing the observation matrix. Firstly， the orthogonal observation matrix is orthogonalized， and then the singular value decomposition is performed. The eigenvalue of the feature matrix is changed to a constant value， and a new eigenvalue is generated to generate a new observation matrix to observe the signal. The SNR and reconstruction error are used to simulate and evaluate. The results show that the reconstruction accuracy of the proposed algorithm is improved by about 72%.

Key Words： compressed sensing; singular value decomposition; observation matrix; sensing signals

0 引言

隨著我國(guó)城市化進(jìn)程的加快，地下管廊設(shè)施規(guī)模建設(shè)逐漸龐大、密集，結(jié)構(gòu)布局復(fù)雜，安全監(jiān)管訴求十分迫切[1-3]。地下管廊因處于封閉的高濕惡劣環(huán)境，傳感器穩(wěn)定性差、壽命短、運(yùn)維頻繁。光纖傳感器因其耐腐蝕、抗電磁干擾等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于煤礦礦井安全檢測(cè)[4-5]、地面沉降監(jiān)測(cè)[6]、地下管廊等方面。由于應(yīng)用環(huán)境惡劣，F(xiàn)BG傳感信號(hào)在采集和傳輸過(guò)程中容易引入噪聲，從而使信號(hào)后期分析更困難。因此，對(duì)被噪聲污染的信號(hào)進(jìn)行去噪預(yù)處理顯得尤為重要。

小波去噪因其多尺度、多分辨率特性在信號(hào)處理領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注，但小波去噪效果受小波基、分解尺度、閾值和閾值函數(shù)影響，處理效率有限，若影響參數(shù)選擇不合理將導(dǎo)致較大的重構(gòu)偏差[7]。江虹等[8]采用小波處理FBG傳感信號(hào)，得到的光譜圖仍有較多毛刺;經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）可根據(jù)信號(hào)頻率特性將其自適應(yīng)地分解，但耗時(shí)長(zhǎng)，且無(wú)法將分布于整個(gè)頻域的噪聲與信號(hào)有效分離[9-11]。壓縮感知（Compressed Sensing，CS）理論利用信號(hào)稀疏性和可壓縮性，以較少的采樣數(shù)據(jù)恢復(fù)原始信號(hào)，在采樣同時(shí)完成數(shù)據(jù)壓縮。通過(guò)非線性重構(gòu)算法對(duì)采集得到的信號(hào)離散樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，恢復(fù)原始信號(hào)。相比于傳統(tǒng)Nyquist采樣，CS采樣成本低、效率高，并在數(shù)據(jù)傳輸和存儲(chǔ)過(guò)程中大幅提高了資源利用率。該理論主要包括3方面：信號(hào)稀疏度估計(jì)、觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)及重構(gòu)算法。陳勇等[12]提出多指標(biāo)融合確定稀疏度，文獻(xiàn)[13]采用相關(guān)系數(shù)變化規(guī)律確定稀疏度。觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)方法主要有隨機(jī)觀測(cè)、確定性觀測(cè)和自適應(yīng)觀測(cè)3種[14-18]，王志文等[19]以高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣為基礎(chǔ)，利用信號(hào)稀疏域的先驗(yàn)信息設(shè)計(jì)自適應(yīng)觀測(cè)矩陣，減少觀測(cè)矩陣行數(shù)，降低了傳輸代價(jià);彭玉樓等[20]對(duì)觀測(cè)矩陣進(jìn)行奇異值分解，并通過(guò)均值算法修改特征值產(chǎn)生新的觀測(cè)矩陣，提高了信號(hào)重構(gòu)精度。除觀測(cè)矩陣外，重構(gòu)算法也是影響去噪效果的因素之一，常用重構(gòu)算法有凸優(yōu)化算法和貪婪迭代算法兩大類。凸優(yōu)化算法把l0范數(shù)放寬至l1范數(shù)，通過(guò)線性規(guī)劃求解，計(jì)算復(fù)雜度大，如梯度投影算法、基追蹤算法等;貪婪算法通過(guò)選擇合適的原子逐漸實(shí)現(xiàn)矢量逼近，算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，復(fù)雜度低，如正交匹配追蹤算法（OMP），該算法以稀疏度K已知為先驗(yàn)條件，K值選擇在很大程度上影響算法性能。因此，重構(gòu)算法與觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)是影響壓縮感知性能的兩個(gè)關(guān)鍵因素。

本文在文獻(xiàn)[21]的觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)方法基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，以隨機(jī)觀測(cè)矩陣為基礎(chǔ)，首先對(duì)觀測(cè)矩陣進(jìn)行正交處理，再通過(guò)奇異值分解將奇異值設(shè)定為恒定值，得到新的觀測(cè)矩陣。通過(guò)考慮多指標(biāo)的綜合性能確定稀疏度K并采用OMP算法重構(gòu)信號(hào)。仿真結(jié)果表明，本文算法重構(gòu)信號(hào)性能更優(yōu)。

1 CS理論基礎(chǔ)

CS理論指出，若給定信號(hào)在某個(gè)變換域下是稀疏的，可通過(guò)一個(gè)與其不相干的觀測(cè)矩陣將信號(hào)投影到低維空間上，再通過(guò)求解優(yōu)化問(wèn)題從低維信號(hào)中高概率地恢復(fù)原始信號(hào)[22-23]。

實(shí)常數(shù)[ω]始終為1的倍數(shù)，將奇異值置為實(shí)常數(shù)。由正交矩陣奇異值分解特性可知，該操作保證空間幾何度量不變的同時(shí)，避免了所選原子信息特征冗余，使其構(gòu)成的支撐集更加準(zhǔn)確，從而提高信號(hào)重構(gòu)精度。

3 OMP重構(gòu)算法

貪婪迭代算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，是求解式（2）得到原始信號(hào)最優(yōu)逼近的恰當(dāng)選擇。OMP算法是貪婪迭代算法的典型代表，其核心思想是每次迭代選擇與殘差信號(hào)相關(guān)性最大的一個(gè)原子，通過(guò)多次迭代求解最優(yōu)逼近，從而達(dá)到消除干擾噪聲的目的。算法迭代次數(shù)K的選擇是關(guān)鍵，即從庫(kù)中選擇K個(gè)與原始信號(hào)相關(guān)性最大的原子重構(gòu)信號(hào)。

算法步驟為：

（1）輸入：M×N維觀測(cè)矩陣Φ，稀疏度K，觀測(cè)向量y。

（2）輸出：x的K稀疏逼近x。

（3）初始化：殘差res=y，索引集[J0= ]，支撐集[Λ0= ]，t=1。

（4）循環(huán)執(zhí)行：①計(jì)算第t次迭代[ut|ut=]，選擇其中相關(guān)性最大的一個(gè)原子，角標(biāo)構(gòu)成的集合j，更新支撐集[Jk=Jk-1∪j];②求最小二乘解，計(jì)算[x=（ΛTJtΛJt）-1ΛTJty];③更新殘差[res=y-ΛJtx][r=y-ΦJkf];④[k=k+1]，如果[k

從以上步驟中可知，OMP算法需先確定迭代次數(shù)，即K值。然而，F(xiàn)BG傳感信號(hào)稀疏度K是未知的。

4 仿真驗(yàn)證

4.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)

為驗(yàn)證本文方法，分別對(duì)一維信號(hào)和二維信號(hào)進(jìn)行去噪處理。在MATLAB軟件環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，仿真重構(gòu)算法選取經(jīng)典匹配追蹤算法（OMP），分別采用4種不同的觀測(cè)信號(hào)：隨機(jī)觀測(cè)矩陣、正交處理的觀測(cè)矩陣、文獻(xiàn)[9]方法及本文提出的觀測(cè)矩陣。

一維信號(hào)去噪的評(píng)價(jià)指標(biāo)為信噪比（SNR）和均方根誤差（RMSE）。SNR值越大且MSE值越小，說(shuō)明去噪效果越好。SNR與RMSE如式（12）、（13）所示。

從圖1可知，隨著橫坐標(biāo)K值跨度從10到100，以步長(zhǎng)為10不斷增大，SNR總體呈上升趨勢(shì)，而RMSE總體呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，并在K=80時(shí)分別達(dá)到最大和最小。原因在于隨著K過(guò)小時(shí)選擇的原子數(shù)太少而無(wú)法較好地恢復(fù)信號(hào)，從而丟失了細(xì)節(jié)信息;而K值過(guò)大容易導(dǎo)致數(shù)據(jù)冗余，恢復(fù)部分噪聲。因此，K值過(guò)小或過(guò)大均會(huì)導(dǎo)致SNR較小而RMSE較大，只有恰當(dāng)?shù)腒值才有助于信號(hào)恢復(fù)。

4.3 信號(hào)仿真及對(duì)比

采用Matlab軟件仿真平臺(tái)對(duì)本文算法進(jìn)行一維信號(hào)仿真驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)信號(hào)為FBG傳感信號(hào)，中心波長(zhǎng)[λ=1 544.70]，信號(hào)長(zhǎng)度[N=1 000]，壓縮比[MN=0.4]，稀疏度[K=80]。圖2（a）、（b）分別為原始FBG信號(hào)與加入了15dB高斯白噪聲的含噪信號(hào)。采用隨機(jī)觀測(cè)矩陣、正交化觀測(cè)矩陣、文獻(xiàn)[9]中提出的矩陣與本文觀測(cè)矩陣，分別處理加入15dB高斯白噪聲的測(cè)試信號(hào)，并通過(guò)OMP重構(gòu)算法得到重構(gòu)信號(hào)，如圖3（a）-（d）所示。

主觀圖分析如圖3所示，重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)相比，前3種觀測(cè)矩陣處理含噪信號(hào)時(shí)可去除大部分噪聲，但重構(gòu)信號(hào)仍有較多毛刺而不夠平滑，并且峰頂有畸變。

由于觀測(cè)矩陣是隨機(jī)生成的，觀測(cè)采樣后得到的觀測(cè)值也不一樣，因而每次重構(gòu)信號(hào)的精度均存在細(xì)小波動(dòng)，需多次實(shí)驗(yàn)取其平均結(jié)果。圖4為設(shè)置的奇異值常量與信號(hào)重構(gòu)誤差關(guān)系，隨著常量值的增大，重構(gòu)誤差逐漸縮小，且當(dāng)常量值為60時(shí)，重構(gòu)誤差趨于穩(wěn)定。因此，設(shè)置奇異值常量為60處理含噪信號(hào)。從圖5的處理結(jié)果可知，選擇本文設(shè)計(jì)的觀測(cè)矩陣得到的信噪比最大。其中，橫坐標(biāo)為噪聲含量，縱坐標(biāo)為去噪后的噪聲含量（SNR），SNR越大說(shuō)明噪聲含量越少。利用4種觀測(cè)矩陣對(duì)圖1（b）的含噪信號(hào)處理后得到的數(shù)據(jù)結(jié)果如表1所示，通過(guò)對(duì)比分析可知，本文觀測(cè)矩陣處理信號(hào)得到的重構(gòu)精度最高，得到的SNR最大且RMSE最小，分別為52.175 9dB和0.046 3。

對(duì)于二維圖像信號(hào)，采用Lena圖像作為實(shí)驗(yàn)信號(hào)，圖6（a）、（b）分別為原始圖像和加入密度為0.02的椒鹽噪聲含噪圖像。采用4種不同觀測(cè)矩陣處理含噪圖像得到的結(jié)果如圖5（c）-（f）所示。從表2分析可知，本文方法處理圖像得到的峰值信噪比最大，為26.092 8，說(shuō)明去噪效果最好。

5 結(jié)語(yǔ)

FBG傳感信號(hào)采集和傳輸過(guò)程中不可避免地會(huì)引入噪聲，采用壓縮感知的方法進(jìn)行去噪預(yù)處理。對(duì)隨機(jī)生成的觀測(cè)矩陣首先進(jìn)行正交處理，再采用奇異值分解修改正交化的觀測(cè)矩陣。仿真結(jié)果表明，與其它觀測(cè)矩陣相比，本文觀測(cè)矩陣基于改進(jìn)壓縮感知理論使信號(hào)在觀測(cè)中保留更細(xì)節(jié)的特征，與其它算法相比，得到的重構(gòu)信號(hào)SNR更大，去噪效果更好，但在算法時(shí)效性上還有提升空間。

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（責(zé)任編輯：江 艷）