用于壓電陶瓷軌跡跟蹤的非奇異終端滑模控制

蘇子業，余勝東

(1.美國國家儀器有限公司,上海 200000；2.南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016；3.溫州職業技術學院 浙江省溫州輕工機械技術創新服務平臺，浙江 溫州 325000)

0 引言

近年來，高精度的微納操作技術在現代工業體系中占有越來越重要的地位。壓電陶瓷(PZT)具有剛度系數大,分辨率高及響應頻率大的優點，其在微納操作領域有著無法替代的重要地位，被廣泛應用于實現精密多軸運動平臺[1]、掃描探針顯微鏡[2]、微機電系統(MEMS)[3]和微操作機器人[4-5]等領域。但是，PZT固有的遲滯、蠕變和高頻振動等不確定非線性因素給PZT的推廣應用帶來困難。因此，為了補償不確定非線性因素帶來的運動誤差，實現PZT的快速響應和高精度軌跡跟蹤，需要采用合適的控制策略對其進行運動控制。

現代控制理論的發展，為PZT的高精密魯棒運動控制帶來了曙光。控制方式包括前饋控制、反饋控制或復合控制。前饋控制或復合控制的品質取決于前饋補償器的數學模型，通過研究PZT的非線性滯回特性構建了Preisach模型、Maxwell模型、Duhem模型和Bouc-Wen模型等遲滯模型[6]。然而，PZT的遲滯模型難以全面、精準地刻畫PZT復雜的靜、動態特性，加之遲滯模型結構復雜，參數繁多，參數辨識費時費力，因此不利于工程應用。通過設計閉環魯棒控制器，將不確定非線性因素視為一個未知擾動，實現對未知擾動的準確估計和補償，并抑制不確定非線性因素對控制精度的影響，進而實現精確軌跡跟蹤，使PZT在微納操作領域具備更高的工程應用性。

滑模控制是解決非線性系統控制問題最有效的控制方法[7]。通過設計與被控對象和外部擾動都無關的滑動模態，使控制器能夠有效處理各種擾動影響，對模型的不確定性、參數變化和外部干擾都不敏感。為了提高滑模控制的收斂速度，提出了終端滑模(TSM)，其收斂速度超過傳統的基于線性超平面的滑模。TSM被廣泛應用于存在有不確定因素的線性或非線性系統中，但TSM法中存在奇異性問題，進而提出了非奇異終端滑模(NTSM)[8]，用于避免非奇異問題。因此，在動力學模型存在未知量的前提下，需要運用NTSM進行控制，這將是一個技術難題。

時延估計(TDE)技術[9]可用于實現無模型控制。TDE技術是利用時延信息來估計上一時刻的未知動力學和擾動，因此，可將TDE技術用于實現對未知項的在線估計和補償，且不需要未知量邊界的先驗知識。但在TDE技術的實現中由于需要采集上一時刻的加速度信號，實際工程中只設置位移傳感器，通過對位移信號的二次微分以獲得加速度信號，這易導致噪音信號的“微分爆炸”。因此，本文將通過魯棒精密微分器(RED)[10]以降低噪音的干擾，并獲得準確的加速度信號。

本文旨在探索一種計算機易實現、結構簡單、非奇異的滑模控制器。利用TDE技術可實現對未知量的估計和補償，利用NTSM可實現魯棒跟蹤控制，利用RED可實現加速度信號的實時狀態估計，將三者相結合，構成NTSM-TDE-RED控制器，以獲得無模型、高精度和強魯棒的控制效果。利用李雅普諾夫方法證明了所提控制器的閉環系統穩定性。最后，分別通過計算機仿真實驗和半物理仿真實驗驗證了所提控制器的魯棒性及有效性。

1 系統描述

1.1 問題描述

首先，通過PZT的開環實驗來觀察輸入電壓和輸出位移間的關系。將圖1(a)所示的變頻率變幅值的正弦電壓施加于PZT，獲得電壓-位移曲線圖(見圖1(b))。由圖1可知，電壓與位移為非線性關系，且存在強大的遲滯效應，即不同的電壓頻率和幅值對應不同的遲滯環。

圖1 PZT的非線性遲滯效應

1.2 動力學方程

根據Bouc-Wen模型[10]書寫堆疊式PZT的動力學方程：

(1)

(2)

式中：M,C,ke和x分別為等效質量、阻尼系數、剛度系數和位移；d為壓電系數；ui為輸入電壓；fd為未建模項和外界干擾的總擾動；h為系統的遲滯效應；ξ1,ξ2,ξ3為描述遲滯環形狀的系數。由式(1)、(2)可見，ui及其導數對遲滯效應有直接影響。PZT的動力學模型和參數構成復雜，其參數辨識過程繁瑣、費時，同時由于外部干擾的存在，幾乎無法獲得足夠精度的動力學模型。因此，本文將構建無需模型的非線性魯棒控制器以實現PZT的精確軌跡跟蹤。

2 魯棒控制器設計

(3)

(4)

選擇非奇異終端滑模面[11]為

(5)

式中：K為待調整的參數；p、q為正參數，且1

控制律的輸入設計為

(6)

其中

(7)

式中Kswsgns為魯棒項，Ksw為魯棒項系數。

利用TDE技術實現對未知項N的估計。

(8)

式中：L為時延參數，通常取L為采樣周期的整數倍；N(t-L)為L時刻前未知項的值，其計算過程如下：

(9)

將式(7)、(9)代入式(6)可得控制律u的表示式為

(10)

式(10)中的sgns會帶來抖振，其振幅為Ksw。為了減少抖振，使u的輸出更平滑，用飽和函數sat(s,φ)代替sgns，即：

(11)

式中φ為邊界層厚度。

由式(9)可知，其滑模面是連續可微的NTSM，TDE技術簡化了動力學模型的復雜度，因此，所提控制器能夠實現無模型控制。

式(9)需依靠加速度信號的反饋來實現TDE的準確估計。微分運算對噪聲極度敏感，并且會放大噪聲的作用。由于位移信號中伴隨有大量噪聲信號，故難以通過微分方法獲得加速度信號。RED具有濾波和微分運算的雙重作用，通過RED技術實現對全狀態的在線估計，不僅實時性高，且能有效抑制噪聲的影響。二階RED的表達式為

(12)

式中：λ1=3λ1/3;λ2=1.5λ1/2;λ3=1.2λ,λ≥|x|。估計的狀態量如下：

仿真實驗需兼顧估計精度和抖振，故選擇λ=0.005。3個期望值分別是位移曲線x=10sin(πt)，速度曲線v=x′=10πcos(πt)，加速度曲線a=x″=-10π2cos(πt)。另外，為了更深入地考察RED對噪音的過濾能力，在期望位移曲線上添加了隨機干擾信號，其幅值為[0,1]，采樣頻率為10 kHz。RED能夠實現對位移信號和速度信號的準確估計(見圖2)，并且其誤差快速收斂至0。雖然RED也能基本實現對加速度的估計，但仍存在一定的誤差和延遲，這種誤差會降低TDE技術的精度。盡管TDE技術未能實現對未知量的精確補償，但這種微小的缺陷可通過NTSM控制器進行彌補，NTSM控制器和TDE技術的相互補充，實現了對運動軌跡的精確跟蹤。

圖2 RED實現對位移信號、速度信號和加速度信號的估計

綜上所述，NTSM-TDE-RED控制器的結構如圖3所示。

圖3 NTSM-TDE-RED控制器的結構框圖

如果將NTSM-TDE-RED控制器中的NTSM項用Proportion-Derivative(PD)項進行取代，則該控制器將演變為基于TDE技術的PD控制器。對于式(6)，取

(13)

式中：KP為比例系數；KD為微分系數。

則設計u為

(14)

由于該控制器包括了傳統的PD控制、TDE和RED技術，因此，該控制器又稱為PD-TDE-RED控制器。

3 控制器的穩定性分析

將式(5)～(10)代入式(4)中可得

(15)

定義李雅普諾夫函數：

(16)

對式(16)關于時間求導，得

(17)

取

Ksw≥|ε|

(18)

收斂性分析如下：根據LaSalle不變集定理，t→時，s→0，即

4 計算機仿真實驗

通過計算機仿真實驗可以探究控制器在理想環境下的性能表現,仿真環境為 MATLAB/Simulink, 仿真步長為 0.1 ms。同時，為了驗證所提控制器的有效性，將所提控制策略與PD-TDE-RED控制器進行對比。

控制系統通過對期望位移的精確跟蹤，實現輸入、輸出的線性化。為了能夠量化比較不同控制器的性能，采用傳統均方根誤差(RMSE)和最大誤差(ME)作為評價指標，即：

(19)

ME=max(|xdi-xi|)

(20)

式中：NI為總的采樣點數量；xdi,xi分別為第i個采樣點的期望位移和實際位移。

利用試錯法對控制器的參數依照從小到大的順序進行調整，并綜合考慮抖振程度、RMSE和ME，所選參數如表1所示。

表1 控制器的參數選擇

為了使仿真結果更具代表性，選擇變頻率和變幅值的正弦信號作為期望軌跡，其表達式為

y=[4-4cos(4πte-0.12t)]×e-0.2t

(21)

NTSM-TDE-RED和PD-TDE-RED控制器都能實現對變頻率和變幅值的正弦信號的軌跡跟蹤。由圖4(a)、(b)可知，兩個控制器產生的位移誤差隨軌跡信號做同步波動，但NTSM-TDE-RED控制器產生的誤差波動遠小于PD-TDE-RED控制器的誤差。通過誤差分析可看出，NTSM-TDE-RED控制器的RMSE比PD-TDE-RED控制器降低了約95.5%，最大誤差也降低了約89.5%。由圖4(c)可知，兩個控制器的u實現了光滑輸出，基本無抖振。因此，在跟蹤連續且可微的波動信號時，NTSM-TDE-RED控制器控制精度更高，具有穩定的性能表現。

圖4 控制器在跟蹤波動信號時的性能曲線

5 半物理仿真實驗

基于XPC半物理仿真環境構建PZT的實驗系統。PZT的型號是Pst120/7/20VS12，電壓放大器的型號是E00.6。PZT的位移信號由LK-H020激光位移傳感器采集，其測量精度為0.02 μm。

信號傳遞流程如圖5所示。控制算法運行于宿主機上，經過編譯后下載到目標機中。目標機輸出的數字信號經數模轉變后，由電壓放大器進行放大，然后驅動PZT發生運動。激光位移傳感器采集的位移信號經模數轉變后，再經過低通濾波輸入到目標機中。半物理仿真實驗的實驗環境如圖6所示。

圖5 半物理仿真實驗的信號流程圖

圖6 半物理仿真實驗的實驗環境

為了建立與計算機仿真實驗的可比性，在半物理仿真實驗中，仍選擇第4節中所用的變頻率和變幅值的正弦信號作為期望軌跡。如圖7所示，從半物理仿真實驗中發現，由于環境擾動、測量噪音的影響和激光位移傳感器采集精度的限制，軌跡跟蹤精度比計算機仿真實驗有所降低，但兩個控制器仍能夠成功實現軌跡跟蹤過程。NTSM-TDE-RED和PD-TDE-RED控制器的RMSE=0.06 μm，0.16 μm；ME=0.20 μm，0.47 μm。NTSM-TDE-RED具有更高的控制精度，與計算機仿真結果一致。半物理仿真實驗中，為了克服擾動的影響，并保持控制精度，u的抖振變得更激烈。在NTSM-TDE-RED控制器中，雖然可以通過調節飽和函數的φ以降低抖振，但φ過大會降低控制精度。與NTSM-TDE-RED控制器相比，PD-TDE-RED控制器無調節抖振的功能。

圖7 控制器在跟蹤波動信號時的性能曲線

6 結束語

為克服PZT在軌跡跟蹤中普遍存在的遲滯、蠕變和高頻振動等不確定非線性因素，提出了一種結合NTSM、TDE和RED技術的高精密魯棒控制器。利用NTSM項使控制器具有強大的魯棒性，利用TDE技術實現無模型控制，利用RED技術實現對全狀態的準確估計。此外，通過李雅普諾夫法完成控制器的閉環穩定性分析。通過計算機仿真和半物理仿真對比實驗證明，所提控制器能夠有效克服擾動的影響，精確控制PZT實現準確的軌跡跟蹤，RMSE和ME分別達到0.16 μm，0.47 μm。因此，所提的NTSM-TDE-RED控制器的工程應用性強，能夠廣泛應用于PZT的精密運動控制中。