加權猶豫三角模糊距離度量及其在群決策中的應用*

馬 慧，魏立力

(寧夏大學數學統計學院，寧夏 銀川 750021)

1 引言

模糊集理論是處理不精確和不確定問題的重要工具，并在金融、醫療、生物和氣象等領域具有廣泛而又成功的應用。自Zadeh于1965年提出模糊集的概念后，有許多學者提出了直覺模糊集、區間值模糊集、Vague集、區間值直覺模糊集的概念及一些運算法則。然而，對于模糊集和拓展的模糊集，都很難確定其隸屬函數。在決策問題中，不同的決策者對一個元素屬于一個集合的隸屬度會給出不同的值，從而出現一個元素屬于一個集合的隸屬度有多個值的情況。對此，Torra和Narukawa[1,2]提出了猶豫模糊集的概念，允許一個元素屬于一個集合的隸屬度有多個可能的值。猶豫模糊集理論及其應用引起了許多學者的關注，徐澤水等[3]對猶豫模糊集理論及其應用做了全面闡述。Li等[4]引入猶豫模糊元的猶豫度的概念，基于猶豫度提出了新的猶豫模糊距離度量方法，該方法既考慮猶豫模糊元的值，又考慮值的個數，并通過一個數值例子闡明新的距離度量方法的有效性。徐俊艷等[5]通過定義猶豫模糊集的方差和協方差提出新的猶豫模糊集相關系數的計算方法，并將所提出的方法應用于多屬性決策。李江等[6]為了定量地刻畫隨機實驗中猶豫模糊事件發生的不確定性大小，定義了猶豫模糊事件的概率，同時提出了猶豫模糊事件的概率大小的比較準則和猶豫模糊概率的推理方法，并且通過數值例子說明猶豫模糊概率的推理方法具有合理性。Chen等[7]提出區間值猶豫模糊集的概念，并研究了區間值猶豫模糊集的運算法則、距離和相似性度量等。為了更加細膩地基于猶豫模糊集描述事物信息，Yu[8]在隸屬度的取值上繼續擴展，提出猶豫三角模糊集的概念。于倩等[9]在猶豫模糊集和三角模糊語言集的基礎上，提出了猶豫三角模糊語言集的概念，并給出猶豫三角模糊語言集的運算法則和2種集成算子，將提出的集成算子應用于多屬性決策。

猶豫模糊集中的每個猶豫模糊元是由多個可能的值組成的集合，它們都可作為元素關于集合的隸屬度，由于決策者是匿名給出決策值，所以他們提供的決策值只表示作為隸屬度的值，即它們作為隸屬度的重要性相同。但是，在實際決策問題中，由于決策者的知識背景、專業領域和個人偏好等存在差異，所以不同的決策值作為隸屬度的重要性不同。由此，曾文藝等[10]提出一種應用范圍更廣、更符合實際需要的猶豫模糊集——加權猶豫模糊集，同時研究了加權猶豫模糊元的加權算數平均算子和加權猶豫模糊元的加權幾何平均算子，并應用于群決策。隨后，Zeng等[11]將加權猶豫模糊元中的元素拓展到區間值的情形，提出加權區間值猶豫模糊集的定義，并提出加權區間值猶豫模糊集的4種集成算子，應用于群決策問題。本文將隸屬度值拓展到三角模糊數的情形，針對不同的三角模糊數作為隸屬度的重要性不同，提出加權猶豫三角模糊集的概念，對每個可能作為隸屬度的三角模糊數賦予相應的權重。已有文獻在計算各個方案基于加權猶豫模糊元和加權區間值猶豫模糊元的評估結果時，既沒有對加權猶豫模糊元和加權區間值猶豫模糊元添加元素，也沒有對元素進行排序，使得計算得到的加權猶豫模糊元和加權區間值猶豫模糊元的維數升高，計算量增大，增加了計算的復雜性。為了解決這個問題，本文提出一種對元素較少的加權猶豫三角模糊元添加元素的方法，該方法不會改變加權猶豫三角模糊元中元素作為隸屬度值的重要性。

本文研究加權猶豫三角模糊集的距離度量及其在群決策中的應用。首先，回顧猶豫模糊集和猶豫三角模糊集的相關概念，介紹一種三角模糊數的排序方法；其次，提出加權猶豫三角模糊集的概念，并給出一種對加權猶豫三角模糊元添加元素的方法；然后，給出廣義加權猶豫三角模糊距離、廣義加權猶豫三角模糊標準距離和廣義加權猶豫三角模糊加權距離的計算公式，針對決策值為加權猶豫三角模糊元的群決策問題，提出基于加權猶豫三角模糊距離度量的群決策方法；最后，將提出的決策方法應用于加權猶豫三角模糊環境下的教師評估問題，數值例子說明參數λ的取值會影響候選教師的排序，但不影響評選最優教師，表明加權猶豫三角模糊距離度量在群決策中具有合理性和可行性。

2 基礎知識

2.1 猶豫三角模糊集

Torra和Narukawa把模糊集推廣為猶豫模糊集，允許一個元素屬于一個集合的隸屬度有多個可能的值。然而，在實際問題中，決策者往往很難用一個精確的數值表示一個元素對一個集合的隸屬程度，用合理的三角模糊數表示更恰當一些。對此，Yu[8]把猶豫模糊集推廣為猶豫三角模糊集，用[0,1]上的三角模糊數表示一個元素對一個集合的隸屬程度。

定義1[1]設論域X是一個非空集合，則稱E={〈x,hE(x)〉|x∈X}為猶豫模糊集，其中hE(x)是[0,1]上一些實數構成的集合，表示X中x對E的隸屬度的集合。hE(x)稱為猶豫模糊元，簡記為hE(x)=hE。記r=r(hE)為猶豫模糊元hE中元素的個數。

例如，論域X={x1,x2}上的猶豫模糊集為E={〈x1,0.2,0.35,0.1〉,〈x2,0.5,0.6〉}，于是猶豫模糊元為hE(x1)={0.2,0.35,0.1},hE(x2)={0.5,0.6}，且r(hE(x1))=3,r(hE(x2))=2。

定義2[8]設論域X是一個非空集合，則稱T={〈x,tT(x)〉|x∈X}為猶豫三角模糊集，其中tT(x)是[0,1]上一些三角模糊數構成的集合，表示X中x對T的隸屬度的集合。tT(x)稱為猶豫三角模糊元，簡記為tT(x)=tT。記r=r(tT)為猶豫三角模糊元tT中元素的個數。

例如，論域X={x1,x2}上的猶豫三角模糊集為T={〈x1,(0.13,0.2,0.5),(0.2,0.3,0.5)〉,〈x2,(0.1,0.21,0.4)〉}，則猶豫三角模糊元為tT(x1)={(0.13,0.2,0.5),(0.2,0.3,0.5)}和tT(x2)={(0.1,0.21,0.4)}，且r(tT(x1))=2,r(tT(x2))=1。

2.2 三角模糊數的排序方法

定義3[12]若實數域X上的模糊數a,其隸屬函數為：

則稱a為一個三角數，記作a=(al,am,au),其中x∈R,0≤al≤am≤au。al和au分別稱為下界和上界，(al,au)為支撐，支撐表示模糊程度，au-al越大，模糊程度就越強，三角模糊數a指“近似于am的實數”，當al=am=au時，a退化為一個實數。

近年來，三角模糊數的大小比較方法受到人們的廣泛關注，國內外有許多學者研究三角模糊數的排序方法，Liou等[13]利用三角模糊數的期望值來比較三角模糊的大小，鞏在武等[14]提出了基于最小二乘的三角模糊數互補判斷矩陣的排序方法，徐澤水[15]通過可能度的大小來比較2個三角模糊數。本文將利用可能度的大小對三角模糊數排序，下面給出可能度的定義。

定義4[15]設論域X上的2個三角模糊數a=(al,am,au)和b=(bl,bm,bu)，則稱

P(a≥b)=

(1)

為a≥b的可能度，其中0≤ρ≤1。

類似地，稱

P(b≥a)=

(2)

為b≥a的可能度，其中0≤ρ≤1。

ρ值表示決策者對風險的態度。ρ>0.5表示決策者追求風險，ρ=0.5表示決策者對風險的態度是中立的，ρ<0.5表示決策者厭惡風險。特別地，當ρ=1時，稱P(a≥b)是a≥b的悲觀可能度；當ρ=0時，稱P(a≥b)是a≥b的樂觀可能度。

3 加權猶豫三角模糊集

3.1 加權猶豫三角模糊集的概念

猶豫三角模糊集允許一個元素屬于一個集合的隸屬度有多個可能的三角模糊數，而且出現的可能性相同。然而，在實際應用中不同的三角模糊數作為隸屬度的可能性不同。由此，對每個可能作為隸屬度的三角模糊數賦予相應的權重，強調每個三角模糊數作為隸屬度的重要性。

加權猶豫三角模糊元是由多個有權重的三角模糊數組成的集合，三角模糊數表示決策值，三角模糊數的權重表示給出該決策值的決策者數占總決策者數的比值。例如，某學院要從3位學生A,B,C中選擇一位優秀畢業生，為此學院組織5位教授根據3位候選學生的德育表現進行決策，假設5位教授給學生A打分時有1位給出(0.6,0.7,0.8)，有1位給出(0.5,0.6,0.7)，有3位給出(0.5,0.7,0.8)；5位教授給學生B打分時有3位給出(0.5,0.6,0.8)，有2位給出(0.5,0.7,0.8)；5位教授給學生C打分時有1位給出(0.4,0.6,0.7)，有4位給出(0.6,0.7,0.8)。設X={x}，評價結果用加權猶豫三角模糊集表示如下所示：

Aω={〈x,((0.6,0.7,0.8),0.2),((0.5,0.6,0.7),0.2),((0.5,0.7,0.8),0.6)〉}；

Bω={〈x,((0.5,0.6,0.8),0.6),((0.5,0.7,0.8),0.4)〉}；

Cω={〈x,((0.4,0.6,0.7),0.2),((0.6,0.7,0.8),0.8)〉}。

且r(tAω(x))=3,r(tBω(x))=2,r(tCω(x))=2。

加權猶豫三角模糊元中的元素是無序的，不同的加權猶豫三角模糊元中元素的個數可能不同，使得在計算加權猶豫三角模糊集之間的距離時，計算量過大，增加了計算的復雜性。為了解決這個問題，本文對元素較少的加權猶豫三角模糊元添加元素直至某一屬性下所有加權猶豫三角模糊元中元素的個數相等，并對元素按升序或降序排列。對于猶豫三角模糊元，當r(tA(x))≠r(tB(x))時，取r=max{r(tA(x)),r(tB(x))}，對元素較少的猶豫三角模糊元添加元素直到元素個數為r。在不同的文獻中，研究者添加元素的方法不同，樂觀主義者對元素較少的猶豫三角模糊元重復添加最大的元素，直到元素個數為r；悲觀主義者對元素較少的猶豫三角模糊元重復添加最小的元素，直到元素個數為r；另外，還可以添加[0,1]上的任意三角模糊數直到元素個數為r。但是，對于加權猶豫三角模糊元，在添加元素時需要考慮元素的權重影響，對此，本文提出一種添加元素的方法，不改變加權猶豫三角模糊元中元素作為隸屬度的重要性。作如下假設：

假設1對于加權猶豫三角模糊元tAω(x)和tBω(x)，當r(tAω(x))≠r(tBω(x))時，取r=max{r(tAω(x)),r(tBω(x))}，把元素較少的加權猶豫三角模糊元中權重較大的元素拆分成幾個，直到元素個數為r，并將其權重平均分配。

例1對于上述3個加權猶豫三角模糊元有：

tAω={((0.6,0.7,0.8),0.2),((0.5,0.6,0.7),0.2),((0.5,0.7,0.8),0.6)}，

tBω={((0.5,0.6,0.8),0.6),((0.5,0.7,0.8),0.4)}，

tCω={((0.4,0.6,0.7),0.2),((0.6,0.7,0.8),0.8)}。

由于r(tAω)=3,r(tBω)=2,r(tCω)=2，所以r=max{r(tAω),r(tBω),r(tCω)}=3，根據假設1對加權猶豫三角模糊元tBω和tCω添加元素，使得元素個數為3，再根據假設2和定義3(采取中立態度，令ρ=0.5)對tAω、tBω和tCω中的元素進行排序。因此，

tAω={((0.5,0.6,0.7),0.2),((0.5,0.7,0.8),0.6),((0.6,0.7,0.8),0.2)}，

tBω={((0.5,0.6,0.8),0.3),((0.5,0.6,0.8),0.3)，((0.5,0.7,0.8),0.4)}，

tCω={((0.4,0.6,0.7),0.2),((0.6,0.7,0.8),0.4),((0.6,0.7,0.8),0.4)}。

3.2 加權猶豫三角模糊集的距離度量

根據童裕孫[16]編著的泛函分析教程中距離度量的公理化定義，本文給出加權猶豫三角模糊集的距離度量的公理化定義。

定義6設Aω和Bω是論域X上的2個加權猶豫三角模糊集，則稱d(Aω,Bω)是Aω和Bω之間的加權猶豫三角模糊距離度量，并滿足以下條件：

(1) 0≤d(Aω,Bω)≤1；

(2)d(Aω,Bω)=0當且僅當Aω=Bω；

(3)d(Aω,Bω)=d(Bω,Aω)；

(4)d(Aω,Bω)≤d(Aω,Cω)+d(Cω,Bω)。

下面給出加權猶豫三角模糊集之間的距離度量。

定義7設Aω和Bω是論域X={x1,x2,…,xn}上的2個加權猶豫三角模糊集,tAω(x)和tBω(x)分別是Aω和Bω的加權猶豫三角模糊元，則Aω和Bω之間的廣義加權猶豫三角模糊距離為:

d1(Aω,Bω)=

(3)

定理1若λ=1，則式(3)為加權猶豫三角模糊漢明距離:

d1-H(Aω,Bω)=

(4)

若λ=2，則式(3)為加權猶豫三角模糊歐氏距離:

d1-E(Aω,Bω)=

(5)

定義8設Aω和Bω是論域X={x1,x2,…,xn}上的2個加權猶豫三角模糊集，tAω(x)和tBω(x)分別是Aω和Bω的加權猶豫三角模糊元，則Aω和Bω之間的廣義加權猶豫三角模糊標準距離為:

d2(Aω,Bω)=

(6)

定理2若λ=1，則式(6)為加權猶豫三角模糊標準漢明距離:

d2-H(Aω,Bω)=

(7)

若λ=2，則式(6)為加權猶豫三角模糊標準歐氏距離:

d2-E(Aω,Bω)=

(8)

在計算加權猶豫三角模糊集之間的距離時，考慮到屬性的權重對距離的影響，將廣義加權猶豫三角模糊距離度量拓展到廣義加權猶豫三角模糊加權距離度量，下面給出廣義加權猶豫三角模糊加權距離的定義。

定義9設Aω和Bω是論域X={x1,x2,…,xn}上的2個加權猶豫三角模糊集，tAω(x)和tBω(x)分別是Aω和Bω的加權猶豫三角模糊元，則Aω和Bω之間的廣義加權猶豫三角模糊加權距離為:

d3(Aω,Bω)=

(9)

定理3若λ=1，則式(9)為加權猶豫三角模糊加權漢明距離：

d3-H(Aω,Bω)=

(10)

若λ=2，則式(9)為加權猶豫三角模糊加權歐氏距離：

d3-E(Aω,Bω)=

(11)

4 基于加權猶豫三角模糊距離度量的群決策方法

在群決策問題中，設X={x1,x2,…,xn}為屬性集，xi(i=1,2,…,n)表示第i個屬性；A={A1,A2,…,Am}為備選方案集，Al(l=1,2,…,m)表示第l個備選方案；E={e1,e2,…,es}為專家集，ek(k=1,2,…,s)表示第k位專家，tilk(i=1,2,…,n;l=1,2,…,m;k=1,2,…,s)表示各位專家給各個備選方案在各個屬性下的決策值，構成猶豫三角模糊決策矩陣T=(tilk)n×m×s。

(12)

加權猶豫三角模糊元之間的漢明距離公式如下所示:

dhtH(tAω(x),tBω(x))=

(13)

針對決策值為加權猶豫三角模糊元的群決策問題，基于加權猶豫三角模糊集的定義和加權猶豫三角模糊距離公式，本文提出基于加權猶豫三角模糊距離度量的群決策方法。以下為具體步驟：

步驟1將原始三角模糊決策矩陣表示為加權猶豫三角模糊決策矩陣Tω。

步驟3計算屬性的權重。

步驟4計算每個備選方案與理想方案之間的距離。假設理想方案A0在各個屬性下的決策值為{((0.9,1,1),1)}。

步驟5根據步驟4中的距離大小對備選方案排序，距離越小表示備選方案越優。

5 實例分析

5.1 基于加權猶豫三角模糊距離度量的群決策分析

以文獻[17]中的教師評價為例，采用基于加權猶豫三角模糊距離度量的群決策方法進行決策分析。作者通過5個評價指標考評候選教師，由于學生對候選教師的評價為極好、非常好和絕對好，所以該實例分析中取消學生評價指標，采用其余的4個評價指標。設X={x1,x2,x3,x4}表示考評候選教師的4個指標(x1表示基本素質，x2表示職業道德，x3表示教學能力，x4表示科研能力)，A={A1,A2,A3,A4,A5}表示5位候選教師，E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}表示6位專家，6位專家利用給定的評價語言根據4個評價指標對5位教師進行評價，將評價語言轉化為三角模糊數(如表1所示)。6位專家給出的三角模糊評價值如表2所示。

Table 1 Comparison between evaluation language and triangular fuzzy number表1 評價語言與三角模糊數對照表

Table 2 Triangular fuzzy language evaluation values given by six experts表2 6位專家給出的三角模糊語言評價值

Table 3 Weighted hesitant triangular fuzzy decision matrix 表3 加權猶豫三角模糊決策矩陣

Table 4 Ranking results of generalized weighted hesitant triangular fuzzy standard distance表4 廣義加權猶豫三角模糊標準距離的排序結果

從表4的排序結果可以看出，廣義加權猶豫三角模糊標準距離公式中的參數λ取不同的值，候選教師的排序不同，但最優教師均為A4。

類似地，可以計算每位候選教師與理想教師之間的廣義加權猶豫三角模糊加權距離，其中參數取值為λ=1,2,5,10,20,100。在計算候選教師與理想教師的加權距離之前，利用最大偏差法計算評價指標xi的權重，w=(0.2872,0.3268,0.1927,0.1933)為評價指標的權重向量。根據廣義加權猶豫三角模糊加權距離的大小對候選教師進行排序，結果如表5所示。

從表5的排序結果可以發現，廣義加權猶豫三角模糊加權距離公式中參數λ的取值也會影響候選教師的排序。當參數λ=1,2,20,100時，候選教師A4被評為優秀教師；當參數λ=5,10時，候選教師A2被評為優秀教師。

Table 5 Ranking results of generalized weighted hesitant triangular fuzzy weighted distance表5 廣義加權猶豫三角模糊加權距離的排序結果

5.2 對比分析

為了驗證基于加權猶豫三角模糊距離度量的群決策方法具有合理性與可行性，將該方法與文獻[17]的方法進行對比分析，結果如表6所示。由表6可以看出，利用廣義加權猶豫三角模糊標準距離與廣義加權猶豫三角模糊加權距離得到的候選教師排序與文獻[17]給出的排序順序略有不同，當參數λ=2時，候選教師的排序文獻[17]給出的排序相同，但最優教師均為A4和A2，說明基于加權猶豫三角模糊距離度量的群決策方法是正確的。在廣義加權猶豫三角模糊標準距離和廣義加權猶豫三角模糊加權距離的計算公式中，參數λ的取值會影響候選教師的排序，但是最優教師均為A4和A2。

Table 6 Ranking results of candidate teachers based on different methods表6 基于不同方法的候選教師排序結果

參數λ的取值越大，計算越復雜，所以在實際決策問題中，通常取參數λ=1，2，既能反映備選方案之間的相互關聯，又能使計算簡單。

6 結束語

針對實際決策問題中數據的復雜性以及決策者的知識背景、專業領域和個人偏好的差異性，本文提出加權猶豫三角模糊集的概念，對作為隸屬度的三角模糊數賦予相應的權重，強調每個三角模糊數作為隸屬度的重要性。基于加權猶豫三角模糊集的概念和加權猶豫三角模糊信息下距離度量的公理化定義，提出加權猶豫三角模糊距離公式，給出了廣義加權猶豫三角模糊距離和廣義加權猶豫三角模糊標準距離的計算公式，考慮到屬性權重的影響，提出了廣義加權猶豫三角模糊加權距離的計算公式。基于計算方便且不改變加權猶豫三角模糊元中元素作為隸屬度的可能性大小，提出了一種添加元素的方法。最后提出基于加權猶豫三角模糊距離度量的群決策方法，并將廣義加權猶豫三角模糊標準距離和廣義加權猶豫三角模糊加權距離應用于加權猶豫三角模糊環境下的群決策。評選優秀教師的數值例子表明，參數λ的取值影響候選教師的排序結果，但不影響評選最優教師，說明加權猶豫三角模糊距離度量在群決策中具有合理性和可行性。為深入全面地研究加權猶豫三角模糊集的理論與應用，本文將繼續研究關于加權猶豫三角模糊集的集成算子和相關性度量等。