降低OFDM立方度量的最優限幅濾波算法及神經網絡實現*

袁 田，朱紅亮，周 娟，朱曉東

(1.中國電子科技集團公司第十研究所，四川 成都 610036;2.電子科技大學信息與通信工程學院，四川 成都 611731；3.成都信息工程大學通信工程學院，四川 成都 610225)

1 引言

正交頻分復用OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)作為一種多載波調制技術，以其高頻譜效率和對多徑效應的魯棒性而備受關注，并在4G等現代通信系統中得到了廣泛應用。然而，OFDM的一個主要缺點是信號包絡波動較大[1]。峰均功率比PAPR(Peak to Average Power Ratio)和立方度量CM(Cubic Metric)是衡量OFDM信號包絡波動的2個指標。雖然PAPR更為常用，但是近期的研究表明，它其實并不能準確反映功率放大器對OFDM信號的非線性影響，因為PAPR只考慮了OFDM信號的峰值功率。相比之下，利用CM描述多載波信號的波動大小以及功率放大器對信號的影響更加準確[2,3]。CM考慮了功率放大器的三階非線性互調干擾對信號的影響，而三階互調干擾是引起信號失真的主要因素，因此，第3代合作伙伴計劃3GPP(Third Generation Partnership Project)規范認為利用CM來確定功率放大器在多載波信號輸入情況下的回退量更加合適[4]。

降低信號波動通常是通過減小PAPR或CM來實現的。為降低多載波信號的PAPR，科研人員已提出不少技術，文獻[1]對這些技術進行了綜合性分析。一般來說，這些技術主要可以分為2類：對信號有失真的技術和無失真的技術。有失真技術主要包括限幅濾波[5]和壓擴技術[6,7]等。無失真技術的典型應用包括部分傳輸序列(Partial Transmit Sequence)[8,9]算法和選擇傳輸SLM(SeLected Mapping)[10,11]算法。而在另外一方面，對于降低CM技術的研究目前還處于起步階段。在文獻[12]中，作者提出了一種稱為下降限幅的方案。該方案考慮了PAPR和CM在定義上的差異，因此在降低CM時表現出了比傳統限幅更高的效率。在文獻[13]中，作者引入了凸優化技術，可以在CM抑制和信號失真之間達到很好的折衷。

在PAPR和CM的各種抑制技術中，限幅濾波是最簡單的方法。在該方法中，限幅操作能夠明顯降低信號波動，但它是一種非線性的操作，給信號引入了畸變，造成接收端誤比特率的上升，降低了系統的可靠性[5]。此外，限幅還導致了信號頻譜的擴展，因此需要借助濾波來消除頻譜擴展。在傳統的限幅濾波方案中，濾波操作采用了簡單的濾波器來實現，該濾波器僅僅將信號帶外頻譜濾除，而帶內部分保持不變。這種濾波器雖然易于實現，但存在峰值再生的情況，而且該濾波器也沒有考慮帶內信號失真的影響。本文研究降低OFDM信號CM時的限幅濾波方案，主要貢獻包括：

(1)提出了基于最優濾波器設計的降低CM的限幅濾波算法。與傳統濾波不同，本文提出的濾波設計充分考慮了濾波對CM、帶內失真、帶外頻譜的影響，并將這些影響建模為一個優化問題，優化變量是濾波器取值，優化目標是在滿足給定CM指標和帶外頻譜要求下使得信號失真達到最小。基于這種濾波設計的限幅濾波算法，我們稱為最優限幅濾波算法。由于所建立的濾波優化問題是非凸的，因此很難得到全局最優解。但分析表明，通過使用簡單的轉換，可以將原始的優化問題近似轉換為凸問題，然后通過內點法IPM(Interior Point Method)[14]或利用現有的軟件(如CVX)[15]來求解。

(2)提出了基于深度學習技術的最優限幅濾波實現方案。根據神經網絡能夠模擬函數輸入輸出關系的特性，構造出深度神經網絡，并利用最優限幅濾波算法對其進行訓練。訓練之后得到的神經網絡具有與最優限幅濾波算法相近的性能，而算法復雜度和算法執行時間卻得到了大幅降低，有希望滿足實際通信系統對實時性的要求。

仿真結果表明，本文提出的最優限幅濾波算法及其神經網絡實現方案與其它常用的方案相比，具有更好的CM抑制性能。

2 研究背景

在本節中，首先回顧度量OFDM信號包絡波動的2個指標，即PAPR和CM，然后介紹傳統的限幅濾波方案。

2.1 信號包絡波動的度量

(1)

其中,L為過采樣因子。

PAPR和CM是用來描述多載波信號包絡波動的2個指標。PAPR被定義為一幀OFDM信號功率峰值與平均功率之比，即：

(2)

從式(2)可以看出，PAPR實際上只考慮信號的峰值功率,因此當它被用于確定功率放大器輸出信號的畸變時，經常會出現偏差。具體來說，當一個具有較大PAPR的信號通過功率放大器時，其輸出信號其實并不一定表現出更嚴重的失真[2]。

后來，科研人員從功率放大器輸入輸出關系的角度進一步研究了信號波動度量的問題。功率放大器的輸入信號和輸出信號的關系可以近似表示為[1]:

y(n)≈G1·x(n)+G3·[x(n)]3

(3)

其中，G1和G3分別是放大器的線性增益和非線性增益，其取值大小取決于放大器的設計，與信號無關。當輸入信號x(n)是多載波信號時，[x(n)]3會產生多種頻率的組合，有的組合頻率會接近有用信號的頻率，從而對有用信號造成干擾，稱為三階非線性互調干擾，而信號失真主要是由功率放大器的三階非線性互調干擾引起的[2,3]。三階互調干擾會引起有用信號誤碼率性能的下降，也會落入相鄰信道的頻帶，引起大的相鄰信道泄漏比ACLR(Adjacent Channel Leakage Ratio)。

信號的立方項[x(n)]3直接影響了系統性能，基于這一結果，科研人員提出了一種被稱為CM的指標來度量信號波動的大小，其定義表達式為[2]:

(4)

其中，rms[x(n)]為當n∈[0,LN-1]時信號x(n)的均方根值，分子的第1項代表對x(n)進行歸一化后所得信號的立方項，稱為RCM(Raw Cubic Metric)，而RCMref代表的是參考信號立方項的值，分母Q是一個經驗因子。對于特定系統來說，RCMref和Q都是常數，所以在比較信號的包絡波動大小時，可以只考慮信號RCM的大小。為了簡單起見，本文將CM和RCM等同看待。實際上，經過簡單的轉換后，RCM可以等價地表示為：

(5)

信號波動的大小常用來確定信號輸入功率放大器時所需的功率回退量，使得信號動態范圍不會超出放大器的線性區域。PAPR和CM都可以用來描述信號幅度波動的大小，因此兩者都可以用于確定功率回退的多少，但研究表明，在確定功率回退時，CM的準確性要優于PAPR，因此CM被3GPP認為是更好的度量信號波動的指標[3,4]。

2.2 傳統的限幅濾波算法

限幅濾波算法是一種簡單有效的減少OFDM信號包絡波動的方法。在該算法中，包絡波動較大的OFDM信號首先被限幅到一個預先設定的閾值之內，這個過程可以表示為：

(6)

其中,λ>0表示預先設定的閾值，θ(n)表示信號x(n)的相位，即x(n)=|x(n)|ejθ(n)。

雖然限幅操作減少了包絡的波動，但它直接導致了信號的頻譜擴展，也就是說，限幅后的信號在k∈[N,LN-1]時的頻譜不再為零。頻譜擴展可能會干擾其他用戶的通信，所以在限幅之后需要進行濾波操作。在傳統的限幅濾波算法中，濾波器的設計非常簡單：只去除帶外頻率分量，同時保持帶內分量不變，即濾波器可表示為：

(7)

從式(7)可以看出，傳統算法中的濾波器實現起來非常方便，但是它存在如下2個缺點：

首先，傳統濾波器會導致峰值再生。具體來說，限幅操作使得信號的峰值不會超過閾值λ，但限幅后的信號在經過濾波之后，信號峰值會重新超過λ[16]，即濾波后信號比限幅后信號的包絡波動更大，這種現象被稱為峰值再生。峰值再生意味著傳統算法中的濾波使得信號的PAPR和CM出現惡化。

其次，限幅使得信號的帶內分量產生了失真，而傳統算法中的濾波器僅僅維持信號帶內分量不變，所以傳統濾波并不能有效抑制限幅操作帶來的信號失真。

3 降低CM的最優限幅濾波算法

本節主要介紹基于最優濾波器設計的降低CM的限幅濾波算法。

3.1 降低CM的最優濾波器設計

限幅操作可以有效減小包絡波動，從而達到降低CM的目標，然而付出的代價是信號失真和頻譜擴展。為了避免這些缺點，本文提出了一種最優濾波器的設計方法，其基本特性滿足：(1)完全去除帶外分量；(2)濾波后信號的CM值不能超過給定的閾值；(3)帶內失真應盡可能小。換言之，所提出的濾波器的最優性體現在帶外頻譜、CM滿足要求的條件下濾波器能夠實現帶內失真的最小化。

本文使用誤差向量幅度EVM(Error Vector Magnitude)來衡量帶內失真的程度，其表達式為[13]：

(8)

(9)

(10)

則問題(9)可改寫為如下的優化問題：

(11)

優化問題(11)是一個凸優化問題，可以通過使用內點法或通用的優化軟件(如CVX)來有效求解。在限幅濾波算法的每次迭代中，都可以依據優化問題(11)解出相應的最優濾波器，并用它來處理限幅后的信號，從而得到一個性能最優的信號。

3.2 最優限幅濾波算法

最優限幅濾波算法和傳統限幅濾波算法的主要區別在于濾波器的設計，傳統限幅濾波算法使用的濾波器只是簡單地處理帶外泄露的頻譜部分，并沒有考慮濾波之后，峰值再生以及帶內信號失真等問題。而最優限幅濾波算法對濾波器重新進行了設計，使得限幅濾波后的信號沒有帶外頻譜擴展、不會產生峰值再生，同時帶內失真實現了最小化，因而具有更優的性能。本文提出的最優限幅濾波算法的詳細過程如算法1所示。

算法1OFDM系統中利用最優濾波器降低CM的算法

步驟1給定RCM閾值和最大迭代次數M。

4 基于深度學習的最優限幅濾波算法

從上一節可以看出，最優限幅濾波算法在每一次迭代都需要求解優化問題(11)，無論是采用內點法還是采用CVX求解，都具有較高的計算復雜度，算法執行需要耗費大量時間，難以滿足實際通信系統對于實時性的要求。近年來，人工智能技術在通信中的應用受到了越來越多的關注[17,18]。眾所周知，神經網絡可以用作各種非線性函數關系的模擬器，并且具有很高的計算效率[19]，這提示我們可以利用神經網絡來對最優限幅濾波算法進行學習，以提升算法的效率。本節提出基于深度學習的最優限幅濾波方案，介紹利用最優限幅濾波算法對深度神經網絡進行訓練和測試的過程。

4.1 深度神經網絡

(1)基本架構。

圖1顯示的是基于深度神經網絡降低OFDM信號CM的系統框圖。一幀OFDM信號X首先進行LN點的IFFT變換得到相應的時域信號。然后，將時域信號的實部(用Re[]表示)和虛部(用Im[]表示)分離成2個數據集合，分別輸入到2個神經網絡DNNr和DNNi中進行處理，處理的目標是使得DNNr和DNNi的輸出能夠非常逼近利用優化問題(11)求解得到的OFDM信號的實部和虛部。由于神經網絡輸出的信號可能存在帶外頻譜擴展，因此要利用FFT將其(即實部與虛部相加得到的信號)變換到頻域，將帶外頻譜濾除，濾波之后的信號再通過IFFT變換、數模轉換、功率放大發射出去。

Figure 1 System diagram of reducing OFDM signal CM based on deep neural network圖1 基于深度神經網絡降低OFDM信號CM的系統框圖

本文采用的是全連接神經網絡模型。DNNr和DNNi的輸入層和輸出層均包含LN個神經元，輸入分別是OFDM信號的實部數據和虛部數據，輸出層也都包含LN個神經元，輸出是處理后的LN點OFDM信號的實部數據和虛部數據。輸入層和輸出層之間是多個隱含層。在本文的模型設計中，隱含層和輸出層均采用了雙曲正切函數(tanh)作為激活函數，該函數使得標準化輸出得到的遠大于或遠小于0的數值變成和信號輸入同樣量級的值。tanh函數表示為：

(12)

基于深度學習的CM抑制方案通過訓練不斷調整神經網絡模型中的權重參數和偏置參數，使得模型的輸入、輸出關系能夠模擬優化問題(11)確定的OFDM信號在最優限幅濾波前后的關系。

(2)樣本產生。

(3)訓練過程。

令DNNr輸入為{Re[x(n)]，n=0,1,…,LN-1}時對應的輸出為{Re[x*(n)],n=0,1,…,LN-1}，令DNNi輸入為{Im[x(n)]，n=0,1,…,LN-1}時對應的輸出為{lm[x*(n)],n=0,1,…,LN-1}。本文的目標是讓神經網絡能夠模擬最優限幅濾波算法輸入輸出之間的關系。為了達到這個目標，采用誤差函數來作為損失函數，即DNNr和DNNi的損失函數分別由以下2式給出：

(13)

(14)

若要讓神經網絡盡可能地近似最優濾波算法的處理效果，需要將損失函數最小化，采取的方式是利用TensorFlow中的Adadelta優化函數不斷訓練來優化神經網絡參數，從而降低損失函數的值。

(4)測試階段。

神經網絡模型的訓練過程可以在線下進行，訓練完成后可得到深度學習神經網絡模型的全部參數。然后，就可以利用學習得到的神經網絡對新輸入的信號進行在線處理，即進行測試。

4.2 實現方案

本文提出的利用深度神經網絡學習最優限幅濾波來降低OFDM系統CM的主要步驟歸納如下：

(1)構造模型：設定深度神經網絡的層數、每層神經元的數目，建立深度神經網絡模型。

(2)產生樣本：通過最優限幅濾波算法得到大量的訓練樣本。

(3)訓練：利用樣本以及TensorFlow中的優化函數對深度神經網絡模型進行訓練。

(4)測試：根據訓練得到的模型，對新輸入的OFDM信號進行CM抑制。

5 性能分析

5.1 復雜度分析

最優限幅濾波算法需要求解優化問題(11)，該問題是一個凸優化問題，可以由標準的內點法解決。使用內點法解決凸優化問題的時候，其復雜度在最壞的情況下是O(N3)[20]。本文提出的最優限幅濾波算法在第1次迭代中計算復雜度為O(N3+2LNlog2(LN))，在余下的迭代中，因為OFDM時域信號可以直接由式(11)的最后1項計算出來，所以復雜度可以減小到O(N3+LNlog2(LN))。當總共迭代次數為M時，本文提出的最優限幅濾波的算法復雜度最終為O(MN3+(M+1)LNlog2(LN))，而且在每次迭代求解時都要進行LN點的傅里葉變換以及矩陣梯度的計算，因此具有較高的計算復雜度。

基于深度學習的最優限幅濾波算法在神經網絡訓練完成后，對新輸入的OFDM信號進行處理僅涉及矩陣乘法、加法運算以及激活函數計算。神經網絡的輸入層、輸出層有LN個神經元，此外還有3個隱含層，假設每層具有的神經元數目分別為Q1、Q2和Q3，那么神經網絡的計算過程包括了4次矩陣乘法和加法計算。進行乘法計算的矩陣維度分別是Q1×LN,LN×1,Q2×Q1,Q3×Q2和LN×Q3，而加法計算僅涉及矢量相加。因此，與基于凸優化的最優限幅濾波算法相比，基于深度學習的方案具有低得多的計算復雜度。

5.2 仿真結果分析

5.2.1 仿真參數

仿真采用的軟件為Python 3.6.5以及TensorFlow 1.8.0。仿真考慮的是一個包含N=128子載波的OFDM系統，假定信號采用的是QPSK(Quadrature Phase Shift Keying)調制，過采樣因子選擇為L=4，限幅操作中的限幅率設置為γ=2.5 dB。DDNr和DDNi神經網絡模型均采用了3個隱含層，其中第1層采用了512個神經元，第2層采用了4 096個神經元，第3層采用了512個神經元。隱含層和輸出層的激活函數為tanh函數，訓練使用的損失函數分別由式(13)和式(14)給出，優化器為Adadelta，參數Batchsize大小設置為10，epoch次數為20。訓練樣本根據隨機產生的104幀OFDM信號生成。

5.2.2 仿真結果

本節提供仿真結果來評估所提出的2種CM抑制方案的性能，這2種方案分別是基于優化問題求解的最優限幅濾波算法和基于深度神經網絡的實現方案，其中最優限幅濾波算法中的優化問題采用CVX軟件進行求解。為了能對所提方案的性能做出全面的評估，還提供了2種已有的限幅濾波類方案的仿真結果作為對比，這2種方案分別是文獻[5]的迭代限幅濾波ICF(Iterative Clipping and Filtering)方案和文獻[21]的簡化最優迭代限幅濾波SOICF(Simplified Optimized Iterative Clipping and Filtering)方案。

眾所周知，限幅濾波算法可以有效減少OFDM信號的包絡波動，但代價是誤比特率會增加，所以將從這2個方面來評估算法的性能。圖2給出了本文提出的最優限幅濾波算法及其基于神經網絡的實現方案的誤比特率BER(Bit Error Rate)對比，可以看出兩者的誤比特率BER性能非常接近。同時，圖2也給出了文獻[5,21]所提方案的仿真結果，在仿真時，對2種方案的限幅率進行調整，使得它們的BER性能與本文所提的最優限幅濾波算法及其神經網絡實現方案的性能相近，由此可以對這4種方案的CM抑制性能進行公平的比較。

Figure 2 Bit error rate performance of different schemes圖2 各方案的誤比特率性能

圖3顯示的是在BER性能相近的情況下各種方案降低OFDM信號CM的能力。圖3中使用了互補累積分布函數CCDF(Complementary Cumulative Distribution Function)來描述RCM降低的性能，CCDF表示的是RCM超過某個閾值的概率。如圖3所示，最優限幅濾波算法具有最好的CM抑制性能，在CCDF=10-4時，與原始信號相比，RCM的大小減少了3.6 dB，基于神經網絡的方案性能與之相比約有0.2 dB的降級。而文獻[5]和文獻[21]的方案性能要劣于本文提出的2種方案，其原因在于這2種方案在進行濾波時并未采用最優的濾波器設計。

Figure 3 Performance comparison of CM reduction schemes圖3 各方案降低CM性能比較

從圖2和圖3可以看出，最優限幅濾波算法與其基于深度學習的實現方案具有相近的性能。但是，最優限幅濾波算法涉及優化問題的求解，具有較高的計算復雜度。而基于深度學習的實現方案可以在線下對神經網絡進行學習訓練，訓練之后的網絡僅涉及簡單的代數運算，計算復雜度大大降低。

表1比較了最優限幅濾波算法及其神經網絡實現方案在上述仿真條件下處理不同數量OFDM信號的時間。用于仿真的計算機CPU為AMD RYZEN7 1700,內存為16 GB 2 400 MHz。可以看出，神經網絡方案的處理時間明顯小于最優限幅濾波算法的執行時間，神經網絡方案更有希望適用于實際通信系統。

Table 1 Execution time comparison of two proposed algorithms in case of different number of signal frames表1 2種算法處理不同幀數量信號的執行時間對比 s

6 結束語

為了降低OFDM信號包絡的波動程度，本文提出了利用限幅濾波技術降低CM的方案。通過設計最優的濾波器，本文首先提出了一種最優限幅濾波算法，隨后又提出了利用神經網絡模擬該算法的基于深度學習的實現方案。仿真結果表明，最優限幅濾波算法及其神經網絡實現方案性能接近，但后者的計算復雜度及其執行時間遠遠低于前者。與其它已有的限幅濾波方案相比，本文提出的算法及其神經網絡的實現方案都具有明顯的性能優勢。