追本溯源 不忘其根

仇玉海

分式方程有解與無解都與增根有著密切的聯系。有解是指整式方程有解且這個解不是增根。無解分兩種類型：（1）整式方程有解，且這個解是增根;（2）整式方程無解。鑒于此，下面老師以幾道中考試題為例與大家一起分析，構建解題思路。

一、由分式方程增根求字母的值

【評析】要理解分式方程增根產生的原因。增根是分式方程化為整式方程后產生的不適合分式方程的根。我們可以先確定增根的值，讓最簡公分母x-2=0，得到x=2，然后代入整式方程算出m的值。所以增根問題可按如下步驟進行：1讓最簡公分母為0，確定增根;2化分式方程為整式方程;3把增根代入整式方程，即可求得相關字母參數的值。

二、由分式方程“有解”求字母參數的取值范圍

【評析】“分式方程的解是正數”包含三層含義：1整式方程有解;2這個解不是增根;3這個解是正數。這種情形與增根還是密切關聯的。我們求出增根x=2，解出整式方程的解x=5-a，滿足5-a=?2且5-a>0，所以a<5且a=?3。

變式（2019·黑龍江齊齊哈爾）關于2x-a1x的分式方程x-1-1-x=3的解為非負數，則a的取值范圍為。解：方程兩邊同乘x-1，得2x-a+1=3·（x-1），解得x=4-a，

【評析】分式方程的解是非負數可以理

解為：1整式方程有解;2這個解不是增根;3這個解是非負數。只要涉及分式方程的解總繞不開增根。要保證整式方程的解，不能為增根，需要先把這種導致分式方程無解的情況排除，然后才能考慮這個解是非負數，從而確定字母參數的范圍。

三、由分式方程“無解”求字母參數的取值范圍

【評析】把分式方程轉化為整式方程，發現整式方程一定有解，但分式方程無解，說明整式方程的解是增根，所以k+4=2，故k=4。

【評析】關于x的整式方程ax=b（a、b為常數，b=?0），它的解可能存在兩種情況：1當a=0時，方程無解;2當a=?0時，方程一定有解。本題中的整式方程未知數的系數是1+a，所以需要對它進行分類討論，分為整式方程無解或整式方程有解且解為增根兩種情形。

數學家華羅庚說過：面對復雜的問題，善于退，足夠地退，退到最原始而又不失重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。有些同學對于分式方程的增根和無解似懂非懂，認為只是一個概念，這樣的想法是錯誤的。要想徹底弄明白這一類問題，我們需要回到最初增根產生的那一步，理解分式方程與整式方程的關系，無論是在解答有解問題還是無解問題時，都不能忘記考慮增根，要追本溯源，不忘其根。

（作者單位：江蘇省鹽城市初級中學）