基于自助抽樣法與少量試驗數據的邊坡可靠性分析

王棟

（陜西省鐵道及地下交通工程重點實驗室（中鐵一院），西安 710043）

邊坡穩定性分析的主要難點之一在于眾多參數的不確定性及其相應影響難以量化。為清晰量化各不確定性與邊坡穩定性的關系，自20 世紀90 年代以來，可靠度理論逐漸被引入巖土工程領域，并廣泛應用在邊坡可靠度分析上。文獻［1］利用隨機場理論分析了三維土質邊坡的可靠度。文獻［2］綜合模糊理論以及統計知識分析了邊坡的穩定性。文獻［3-6］利用有限元理論研究了邊坡的穩定性，并考慮了土體的空間變異。文獻［7-8］利用光滑粒子流體動力學方法、物質點法從概率角度分析了邊坡穩定性。由于基于有限元的邊坡可靠度分析計算較為緩慢，一些學者提出了代理模型加速這一分析過程［9-12］。

只有在巖土體參數統計特征估計準確的前提之下，才能正確地進行邊坡可靠度分析。這通常需要較多的巖土參數試驗。然而，鐵路工程在初測階段用于邊坡勘察的鉆孔較少，巖芯數量不多，巖土參數如摩擦角、有效黏聚力等試驗數據通常較為稀少［13］。此情形下，巖土參數的統計量（如均值、標準差等）與真實值一般相差較大［14］。這種不確定性會進一步傳遞并直接影響后續的邊坡可靠度分析結果。

自助抽樣法［15-16］是一種可以量化統計量不確定性的方法，可以避開眾多假設，如試驗數據的高斯假設等，且操作簡單。該方法由 Efron［17］于 1979 年正式提出，在 20 世紀 90 年得到快速發展，并于近 20～30 年在多個領域得到快速應用，如巖土參數均值、方差、相關系數等不確定性的量化［18］、巖土邊坡可靠度分析等［19］。唐小松等［19］探索了自助抽樣法在邊坡可靠度中的應用，其主要聚焦在巖土參數試驗數據對巖土參數概率分布形式以及邊坡可靠度的影響。本文主要聚焦在巖土參數試驗數據的數量對邊坡可靠度的影響，并通過大量計算給出自助抽樣法的適用范圍。

本文首先介紹了一個邊坡模型以及常用的可靠度計算方法，尤其是蒙特卡洛方法。其次，簡要介紹了自助抽樣法以及如何運用它進行巖土參數統計量如均值、方差統計不確定性的量化。之后，結合蒙特卡洛法以及巖土參數均值、方差的任一組合，計算某給定邊坡的可靠度與失穩概率，從而量化出邊坡可靠度指標、失穩概率的置信區間。最后，以一案例闡釋所提方法的有效性，并通過大量數值計算界定該方法的適用范圍。

1 邊坡模型與可靠度計算方法

選取一經典的邊坡模型為研究對象，相應幾何參數及滑動面如圖1所示。該模型來自于Baecher等［20］，其經常應用在可靠度分析研究中［21］。和文獻［21］保持一致，本文主要研究邊坡土體重度γ、黏聚力c′、土體有效摩擦角φ′或其正切函數tanφ′的變異性對邊坡穩定性的影響。所有巖土參數假定不相關。根據文獻［20］，該邊坡的安全裕度M計算式為

圖1 邊坡模型示意

式中：H為坡高；ψ為邊坡的坡角；θ為滑動面與水平面夾角。

當M＜0時，認為該邊坡失穩。

為了量化巖土參數的變異性，本文認定邊坡巖土參數如γ，c′，tanφ′均為正態隨機變量。γ的均值μ、標準差σ分別假定為 22.0，4.4 kN/m3；c′的μ，σ分別為5.0，2.0 kPa；tanφ′的μ，σ分別為0.58，0.14。隨機場模型亦可用來量化巖土參數的變異性，它可以清晰考慮巖土參數在空間的自相關性。然而，該模型數學上更加復雜，不利于工程師的理解，同時也不利于本文自助抽樣法的展開。

一旦邊坡巖土參數的統計量（如均值、標準差）確定，即可根據眾多方法進行邊坡的可靠度分析，如FORM，SORM 以及蒙特卡洛方法［20，22］。由于操作的便易性，本文采用蒙特卡洛法進行說明。具體步驟如下：①從給定概率分布生成大量（如107個）γ，c′以及tanφ′的隨機樣本；②將生成的樣本分別代入式（1）中；③計算M的均值（μM）及標準差（σM），進而計算邊坡可靠度指標β=μM/σM。④統計nMC=107次計算中M＜0 的次數nf，計算該邊坡失穩概率為pf=nf/nMC。利用各巖土參數統計量真值，按照上述蒙特卡洛法可以計算出該邊坡真正可靠度指標βT=2.47 以及真正失穩概率=0.004 98。

實際工程中，巖土參數如γ，c′以及tanφ′的均值以及標準差皆是未知，均由相應試驗數據估計而來。為了說明并量化數據稀少對最終邊坡可靠度分析的影響，本文以γ，c′以及tanφ′的統計量真值為基礎，模擬產生γ，c′以及tanφ′的“試驗”數據（見表1），以此作為實際中的測量數據并進行邊坡的可靠度分析并探討樣本量n對結果的影響。

以表 1 中前n=7 個γ，c′以及 tanφ′試驗數據為例。根據這n=7 個“試驗”數據可以分別估計出γ，c′以及tanφ′的均值及標準差，見表2。可知，各巖土參數均值估計相對準確。然而，各巖土參數標準差估計存在較大誤差，最大可達近30%。這種不準確性是由于巖土“試驗”數據相對稀少造成，又稱“統計不確定性”，其進而會傳遞給基于表2 統計量的邊坡可靠度分析結果。例如，基于表2 中各巖土參數的估計均值、標準差，可以產生nMC=107個γ，c′以及tanφ′的樣本。進而利用蒙特卡洛法計算得到nMC個該邊坡的安全裕度M值并構建起其對應的概率密度函數（圖2）。圖2 同時涵蓋了基于n=7 個小樣本“試驗”數據所得到估計的邊坡可靠度指標βe=2.07 與估算的失穩概率0.016 1。估計的可靠度指標、失穩概率與真值相比，存在16.19%以及223.29%的相對誤差。由于邊坡失穩帶來的危害巨大，準確估計其失穩風險至關重要。

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表1 模擬的巖土參數“試驗數據”

表2 利用n=7個試驗數據估計的參數均值及標準差

2 自助抽樣法與統計量的不確定性

自助抽樣法屬于重新抽樣方法的一種，旨在簡單、有效得解決統計推斷中數據稀少所帶來的不確定性問題。下文以量化巖土試樣參數x（x=γ，c′，tanφ′）的均值、標準差的統計不確定性來具體闡述自助抽樣法的具體步驟。

圖2 基于n=7個試驗數據的M的概率密度函數

2.1 問題簡述

現已獲得了n個巖土試樣參數x（x=γ，c′，tanφ′）值，記為x1，x2，…，xn。基于這n個x試驗測量值，可以直接計算其均值以及標準差，即

盡管可以根據式（2）以及n個x試驗數據直接獲得其均值與標準差，然而所得結果是否準確仍有待解答。這是典型的統計推斷問題。該問題可以從經典的統計理論獲得一定答案。通常需要較多的數學假設以及公式推導，因此對工程師提出較高的統計基礎要求。本文利用自助抽樣法，借助計算機，繞過諸多數據假設簡單有效地實現這一目的。

2.2 具體步驟

步驟1從現有n個巖土參數試驗數據xi（i=1，2，…，n）中隨機抽出1 個數據，記為′，該數據可能是xi中的任何一個。

步驟2將步驟1 重復n次即可得到n個新的數據，記為

步驟4將步驟1 到步驟3 重復多次，如N次即可獲得N個x的均值及標準差，即N的取值對結果稍有影響，但隨著N增大，結果趨于穩定。為了避免N的影響，本文將N取為1 000，此時所得結果已經基本穩定。

步驟 5利用所得可以分別構建其相應的直方圖與置信區間（如90%置信區間）。如基于上述步驟，以及n=7個tanφ′試驗值（即表1前7組數據），構建了tanφ′均值的直方圖，見圖3。利用圖3 可得tanφ′均值90%置信區間為［0.50，0.71］。圖3 及上述90%置信區間反應出利用n=7 個tanφ′試驗數據估計其均值的可靠性。同理，可以利用步驟1—步驟5定量評價估計tanφ′標準差以及γ，c′的均值與標準差的統計不確定性。

圖3 基于自助抽樣法tanφ′均值的直方圖

為進一步闡述、量化巖土參數統計量估計不確定性對邊坡可靠度、概率分析的影響，結合蒙特卡洛法以及自助抽樣法，按照圖4評估邊坡可靠度分析的可靠性。

圖4 基于自助抽樣法邊坡可靠度分析流程

3 案例說明

為了說明基于自助抽樣法評估邊坡可靠度分析結果，探討利用n=7 試驗數據時邊坡的可靠度分析結果，即圖2。具體如下：①獲得n=7 組γ，c′，tanφ′的試驗數據；②根據自助抽樣法步驟1—步驟3 及試驗數據，獲得各參數的均值及標準差；③利用所得各巖土參數均值及標準差，分別產生nMC=107個樣本并利用蒙特卡洛法計算邊坡失穩概率為以及可靠度指標β，記為④重復①到③直到j=N。本文N=1 000。⑤得到N=1 000 個該邊坡的值，進而構建其相應的直方圖并獲得相應的置信區間，如90%置信區間。

如利用表1中前n=7組γ，c′，tanφ′的試驗數據，可以得到邊坡（圖1）的可靠度指標估計值βe的直方圖（圖5）以及其90%的置信區間為［1.58，3.62］。顯然，該區間包含了該邊坡可靠度指標的真值，即βT=2.47。同理，可得該邊坡的失穩概率90%置信區間為［5.0×10-4，5.4×10-2］。同樣的，該置信區間包含了該邊坡失穩概率的真值，即

圖5 基于自助抽樣法邊坡可靠度的直方圖

根據n=7 組γ，c′，tanφ′的試驗數據所得邊坡可靠度分析結果不太準確，根據自助抽樣法結合蒙特卡洛法卻可以有效推理出邊坡可靠度以及失穩概率真值的變化范圍。這為評估邊坡可靠度分析結果的可靠性提供了定量科學依據。

4 討論及驗證

4.1 試驗數據數量n的影響

為探討n對結果的具體影響，本小節探討了在4 種（n=7，15，30，50）不同情形下邊坡（圖1）可靠度指標估計值βe與估計失穩概率的變化范圍。n=7，15，30，50分別對應表1中前n組數據。對于每一種n的情形，均可按照第3 章所述流程得到N=1 000 個βe與值，并構建其90%置信區間，所得結果見圖6。可知，隨著n逐漸增大，所得βe的90%置信區間逐漸縮窄，并趨向于可靠度指標真值βT；該觀測結果同樣適用于邊坡失穩概率。這說明隨著巖土參數試驗數據n增大，巖土參數統計量估計時的統計不確定性逐漸降低，而相應所計算的邊坡可靠度結果的可靠性與準確性逐漸提升。

圖6 試驗數據數量n的影響

4.2 適用范圍探究

給定n個γ，c′，tanφ′的試驗數據，根據本文所提方法，可以得到邊坡可靠度系數、失穩概率90%置信區間。這意味著邊坡可靠度系數、失穩概率真值90%的概率會落在該置信區間。因此，可以從能否達到這一目標來判斷所提方法的適用范圍。

針對n=3，5，7，10，15，30，50 個“試驗”數據情形中每一種情形，分別進行了100次計算，并統計可靠度系數、失穩概率真值落在所量化90%置信區間的次數，具體結果見表3。即便當只有n=5組試驗數據時，根據文中所提方法計算的90%置信區間有超過70%的概率包含邊坡可靠度系數、失穩概率真值。當n≤3時，本文所提方法應謹慎使用。

表3 100次計算中β與pf真值落在90%置信區間的次數

5 結語

1）本文的方法可以量化巖土參數均值、標準差估計時的統計不確定性；可以量化這種不確定性對邊坡可靠度分析帶來的影響。相比傳統的可靠度分析，該方法可以量化邊坡可靠度指標、失穩概率的置信區間。

2）通過大量計算文中確定了所提方法的適用范圍。當試驗數據n≥5 時，所提方法可以較好地確定邊坡可靠度分析結果的準確性；當試驗數據n≤3 時，文中所提方法應謹慎使用。