a÷0=?

游詠松

問(wèn)題：現(xiàn)在有一個(gè)剛剛清零的計(jì)算器，你最少要用幾步可使計(jì)算器的“E（ER?ROR，此指標(biāo)指超出計(jì)數(shù)范圍）”亮起來(lái)？

如果你打算摁出一個(gè)很大的數(shù)，或是用乘法，那就不是最少步數(shù)了。答案是依次摁“÷”“=”。這樣就構(gòu)造出一個(gè)0÷0的式子。很明顯，這是個(gè)錯(cuò)誤式（ERROR原義為錯(cuò)誤），因?yàn)?不能作為除數(shù)。我們很早就知道，n÷0（n為實(shí)數(shù)）這樣的式子是無(wú)意義的。

那么，0為什么不能作為除數(shù)呢？n÷0（n為實(shí)數(shù)）這樣的式子為何無(wú)意義呢？要想解決這個(gè)問(wèn)題，我們首先要明白除法的意義與實(shí)質(zhì)。

在四則運(yùn)算中，乘法運(yùn)算的一般形式為ab（a、b為實(shí)數(shù)），其含義為a個(gè)b的和。除法運(yùn)算的一般形式為b（a、b為實(shí)數(shù)且b=?0），其含義就是a當(dāng)中包含的b的個(gè)數(shù)。基于此原理，a不變時(shí)，b的值越小（b=?0），ab的值越大。現(xiàn)在，大家試想一下，假定b的值為10-1000，即b=101000，a的值為1，那么a的值就是101000。這是一個(gè)很大的數(shù)字，但作為除數(shù)（分母）的b（10-1000）是一個(gè)很小的數(shù)字，卻依然大于0。假如a的值不變（a=1），b真的等于0，那ab的值是多大？即1里包含了多少個(gè)0呢？應(yīng)該是大到無(wú)法表示吧？這也就足以解釋數(shù)字“0”作為除數(shù)時(shí)，計(jì)算器顯示“E”的現(xiàn)象——這個(gè)數(shù)很大，以至于無(wú)法表示。

這個(gè)道理也可以用函數(shù)來(lái)說(shuō)明。我a們假定y=b，這就是一個(gè)反比例函數(shù)。我們來(lái)看它的圖像，如圖1。

觀察一下這個(gè)反比例函數(shù)圖像，我們不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)雙曲線永遠(yuǎn)不會(huì)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)軸。也就是說(shuō)，當(dāng)|b（|x）無(wú)限接近0時(shí)，|y|便會(huì)因太大或太小以至于無(wú)法表示而失去意義。

0本身的意義就是“虛無(wú)”。但作為一個(gè)存在的數(shù)字，0的存在即表示存在的無(wú)。《道德經(jīng)》說(shuō)：“故有無(wú)相生”“無(wú)名天地之始”，又說(shuō)“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物”“萬(wàn)物負(fù)陰而抱陽(yáng)，沖氣以為和”。簡(jiǎn)單講，世間萬(wàn)物，皆從無(wú)演化而來(lái)。而萬(wàn)物都必須有一個(gè)對(duì)立面來(lái)與之相對(duì)，否則這個(gè)事物就沒(méi)有存在的意義。舉例而言，如果地球上只有白天沒(méi)有黑夜，就沒(méi)有晝夜的差別，如此一來(lái)，人們就不必將一天劃分為白天和黑夜，白天的概念也就沒(méi)有存在的意義。正是這兩個(gè)對(duì)立面相輔相成，互相排斥又互相包容，萬(wàn)物才有了存在的意義。而如果有一個(gè)絕對(duì)存在的數(shù)a，除以一個(gè)虛無(wú)的0，那a÷0的結(jié)果還有存在的意義嗎？

總之，0是不能作為除數(shù)的，這點(diǎn)大家都知道。不過(guò)在學(xué)習(xí)中，面對(duì)問(wèn)題，切莫知其然而不知其所以然。

教師點(diǎn)評(píng)

小游同學(xué)另辟蹊徑，對(duì)0作為除數(shù)的問(wèn)題提出了自己的看法和主張，特別是從冪的運(yùn)算和函數(shù)的角度，闡述了自己的認(rèn)識(shí)，具有難能可貴的創(chuàng)新精神，值得同學(xué)們學(xué)習(xí)！

（指導(dǎo)教師：江蘇省特級(jí)教師、正高級(jí)教師 張衛(wèi)明）