二次根式中的“雙非負性”

顧世兵

在二次根式a中，存在兩個非負的性質。一是被開方式a≥0，這是因為負數沒有平方根的緣故。它是所有二次根式有意義的先決條件，具有很強的隱蔽性。我們在解題時，稍不留神就會掉入陷阱里。二是二次根式的值a≥0，這是因為a表示a的算術平方根的緣故。它是所有關于二次根式的等式成立必須要尊重的事實，是檢驗運算結果是否合理的重要依據。這兩條非負性質在“二次根式”這一章中既是重點又是難點，具有非常重要的地位，理解它是我們學好這一章節內容的前提。

下面讓我們一起走進二次根式的雙非負世界。

一、直接用雙非負性解決問題

1.利用a中的a≥0解決問題。

例1已知x、y滿足x-3+5y+2=0，求x-y的值。

【解析】通過觀察等式的結構我們可以發現：等式左邊是兩個二次根式的和，右邊剛好為0。我們知道，互為相反數的兩個數的和等于0，但根據a≥0可知x-3≥0，5y+2≥0，在它們都不為負的情況下，只有x-3=0且y+2=0時原等式才成立，則x-3=0，y+2=0，所以x=3，y=-2，則x-y=3-（-2）=5。

2.利用a中的a≥0解決問題。

例2已知x、y滿足x-3+53-x=y+2，求x+y的值。

【解析】觀察式子的結構，左邊仍是兩個二次根式的和，但右邊是y+2，不為0，故例1的思路不再適用。我們經過進一步細細觀察后發現：等式左邊的兩個根式的被開方式x-3和3-x剛好互為相反數。根據a中a≥0可得x-3≥0且3-x≥0，可知只有x=3（兩個不等式聯列成的不等式組的解集）時，這兩個不等式才同時成立。把x=3代入x-3+53-x=y+2便可得y=-2，所以x+y=3+（-2）=1。

【點評】例1和例2都是通過一個等式解出包含兩個未知數的特殊方程。它們的形式存在相似之處。我們首先要通過觀察等式的特征辨別出題目的類型，然后根據題型選擇具體的解法。

二、二次根式的雙非負性對與它相等的代數式的約束

所有與二次根式相等的代數式都必須要保持與這個二次根式符號的一致性，如公式“a2=|a|”和“（a）2=a（a≥0）”。為什么前一個公式的結果中的a有絕對值，而后一個卻沒有呢？這是由二次根式的雙非負性決定的。在公式“a2=|a|”中，由被開方式a2≥0得a取一切實數，但二次根式a2卻是非負的，故無法保證a與a2符號的一致性，因此a2不能與a相等，只能是a2=|a|;而在公式（a）2=a中，被開方式a非負，（a）2也非負，它們保持著符號的一致

【解析】觀察等式兩邊的特點，顯然等式的右邊是利用公式a2=|a|化簡出的，因等式的左邊“-（x-2）2”表示（x-2）2的負的平方根，故-（x-2）2≤0，根據等式兩邊符號的一致性可知：等式的右邊也必須滿足2-x≤0，所以x≥2。

【解析】從四個選項來看，它們的差別只在符號上，因此我們只要用二次根式的雙非負性篩選各選項即可。先看被開方式是否非負：由-a3≥0得a≤0，因此選項C、D的被開方式a不符合非負的條件，它們都無意義，應舍去;再看二次根式是否非負：由-a3≥0知化簡的結果應為非負，結合a≤0便可得選項A為負，與原式的符號不一致，也應舍去，因此只有選項B符合題意。

【點評】利用二次根式的雙非負性分析問題，有助于我們提高解題的準確率，有助于我們對二次根式的進一步理解。三、利用雙非負性反思計算結果的合理性二次根式的雙非負性較為隱蔽，我們在解有關二次根式的問題時，要養成用這兩條非負性檢驗答案合理性的習慣。

例5已知2x+5=x+1，則x=。

【解析】這是一道含有根式的方程，解它的障礙在于根號的存在，如何去掉根號是我們首先要考慮的問題。利用“開方”與“平方”是互為逆運算的關系，我們可以通過“平方法”去根號。把等式兩邊平方得（2x+5）2=（x+1）2，所以2x+5=x2+2x+1，解得x=-2或x=2。那么這兩個計算結果是否都合理呢？我們可以利用二次根式的雙非負性檢驗一下，當x=-2時，雖然被開方式2x+5≥0，有意義，但是等號的右邊x+1=-1<0，而等式左邊2x+5≥0，兩邊的符號不一致，故x=-2不能使等式成立;當x=2時，等式兩邊符號一致，且計算結果都等于3，故x=2能使等式成立。綜上，x=2。

可以說，有二次根式存在的地方，都有雙非負性的存在，這一性質是我們解決問題、理解等式、反思結果的重要依據，掌握并利用好它，我們定會學好這一章的內容。

（作者單位：江蘇省句容市行香中學）