漫話二次根式“一二三”

步紅艷

二次根式是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是中考中的熱門考點(diǎn)，是比較容易的得分題，但倘若你不夠細(xì)心，也會(huì)大意失荊州，讓錯(cuò)誤溜進(jìn)你的試卷。下面結(jié)合中考題分析解答，希望能讓同學(xué)們有所啟發(fā)。

一、概念莫忘記

例1（2019·江蘇徐州）使x+1有意義的x的取值范圍是。

【解析】二次根式的定義有兩個(gè)條件：1根指數(shù)為2;2被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)。由x+1≥0，得x≥-1。

【解析】x-3≥0且x-4=?0，得x≥3且x=?4。故選D。

例2（2017·江蘇淮安）下列式子為最簡(jiǎn)二次根式的是（）。

【解析】最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿足以下條件：1被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式;2被開方數(shù)中不含分母;3分母中不含有根號(hào)。故選A。

例3（2017·福建龍巖）與-5是同類二次根式的是（）。

A.10B.15C.20D.25

【解析】同類二次根式是指化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的根式。逐一化簡(jiǎn)后發(fā)現(xiàn)20=25，故選C。

【歸納】例1著重考查了二次根式的定義，需明確被開方數(shù)為非負(fù)數(shù);例2著重考查了最簡(jiǎn)二次根式的概念，解答時(shí)應(yīng)對(duì)每個(gè)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再做判斷;例3著重考查了同類二次根式的概念，應(yīng)化成最簡(jiǎn)二次根式后做出判斷。例1、例2、例3同屬于基礎(chǔ)題，同學(xué)們要認(rèn)真掌握它們哦。

二、性質(zhì)需理解

【解析】先根據(jù)絕對(duì)值和二次根式的非負(fù)性質(zhì)列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，再求出x、y的值即可。由題意得

變式1：（2010·四川成都）若x、y為實(shí)數(shù)，且|x+2|+y-3=0，則（x+y）2010的值為。（答案：1）

變式2：（2018·江蘇宿遷）若實(shí)數(shù)m、n滿足|m-2|+n-4=0，且m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長(zhǎng)，則△ABC的周長(zhǎng)是（）。

A.12B.10C.8D.6

【解析】根據(jù)非負(fù)性得m、n的值，再分情況討論：1若腰為2，底為4，由三角形兩邊之和應(yīng)大于第三邊，故舍去;2若腰為4，底為2，再由三角形周長(zhǎng)公式計(jì)算即可。故選B。

【歸納】解這類問(wèn)題主要利用非負(fù)數(shù)的和為0，推出每一個(gè)非負(fù)式為0，再構(gòu)造方程求未知數(shù)的解。我們通常利用的非負(fù)數(shù)有：（1）|x|≥0;（2）x2≥0;（3）x≥0。二次根式的非負(fù)性質(zhì)又可以和計(jì)算以及三角形的邊長(zhǎng)產(chǎn)生聯(lián)系，變化多樣，題意新穎，同學(xué)們要仔細(xì)思考。

例5（2018·廣東廣州）如圖1，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，化簡(jiǎn)：a+。a2-4a+4=

【解析】本題是二次根式的性質(zhì)a2=

【歸納】要利用二次根式的非負(fù)性進(jìn)行化簡(jiǎn)，我們通常先將其轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值的形式，只有明確絕對(duì)值內(nèi)數(shù)或式的正負(fù)性，才能正確化簡(jiǎn)二次根式。

三、運(yùn)算順序要清楚

【解析】根據(jù)二次根式的除法法則、絕對(duì)值的化簡(jiǎn)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即可。原式=3+2-3-2=0。

變式：（2018·山西）計(jì)算：（32+1）·（32-1）。

【解析】利用平方差公式可得：（32）2-12=18-1=17。

【歸納】當(dāng)遇到二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，我們一定要沉著冷靜，想到其計(jì)算順序和有理數(shù)的運(yùn)算類似：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的部分。大家依然可以使用平方差和完全平方公式先簡(jiǎn)化計(jì)算，再化簡(jiǎn)二次根式。學(xué)習(xí)中，要注意類比，靈活解題，往往能事半功倍。二次根式的運(yùn)算和分式的化簡(jiǎn)相結(jié)合，是歷年來(lái)各地中考的熱點(diǎn)，也是基礎(chǔ)得分題，不能出錯(cuò)。

（作者單位：江蘇省句容市春城實(shí)驗(yàn)學(xué)校）