基于探索性和聚類的《高等數(shù)學(xué)》成績分析

肖麗利

（四川文理學(xué)院 科技處,四川 達(dá)州635000）

0 引言

目前,數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到人們學(xué)習(xí)、工作和生活的方方面面,只有深入掌握數(shù)學(xué)知識(shí)才能滿足現(xiàn)代學(xué)習(xí)、工作和生活的需要.作為一名大學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的應(yīng)用是必須的,所以一般的普通高校都會(huì)為理工科及部分文學(xué)專業(yè)學(xué)生開設(shè)《高等數(shù)學(xué)》這門課程,它是大學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域方面的入門課程.近年來,《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)形式不斷更新,教學(xué)模式眾多,教育界對數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用研究也較多,但對不同學(xué)科和不同數(shù)學(xué)認(rèn)知的學(xué)生課堂教學(xué)的有效性研究甚少.因此,為了解高校不同學(xué)科和不同數(shù)學(xué)認(rèn)知的學(xué)生《高等數(shù)學(xué)》學(xué)習(xí)的狀況和培養(yǎng)方案的進(jìn)一步改進(jìn),本研究通過對W 高校理學(xué)、工學(xué)、文學(xué)類分別隨機(jī)平均選取100 名學(xué)生《高等數(shù)學(xué)》的卷面成績、平時(shí)成績和期末成績進(jìn)行探索性和聚類分析,旨在了解不同學(xué)科學(xué)生的成績分布情況,對教師進(jìn)行因材施教提供了一定的參考價(jià)值,對改進(jìn)教學(xué)方法及對《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)改革指明一定的方向,讓教學(xué)效率更加高效.［1］

1 數(shù)據(jù)描述

1.1 數(shù)據(jù)來源

樣本數(shù)據(jù)來源于W 高校,屬于非公開數(shù)據(jù).樣本數(shù)據(jù)包括300 條學(xué)生《高等數(shù)學(xué)》成績,每一條記錄包含的基本信息有學(xué)生姓名、學(xué)科、平時(shí)成績、卷面成績、期末成績和等級六個(gè)屬性,各屬性的具體含義如表1所示.

表1 數(shù)據(jù)屬性

學(xué)科平時(shí)成績卷面成績期末成績等級學(xué)生的學(xué)科大類別學(xué)生平時(shí)的成績,包括課堂表現(xiàn)、平時(shí)作業(yè)以及遲到早退等學(xué)生期末試卷所取得的考試成績由30%平時(shí)成績和70%的卷面成績組成學(xué)生成績的等級表現(xiàn)理學(xué)、工學(xué)和文學(xué)為0-100分的數(shù)字為0-100分的數(shù)字為0-100分的數(shù)字不及格、及格、中等、良好、優(yōu)秀字段 含義 取值

1.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

所獲得原始數(shù)據(jù)中本身無等級這一屬性字段,為了后續(xù)統(tǒng)計(jì)分析學(xué)生成績最終表現(xiàn)情況,所以將成績劃分了五個(gè)等級,具體如表2所示.

表2 等級劃分

在此,我們?nèi)サ袅司砻娉煽優(yōu)?的學(xué)生記錄.

1.3 數(shù)據(jù)探索性分析

首先,我們對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行探索性分析,觀察這300 條學(xué)生成績中各類成績的數(shù)據(jù)形態(tài)、成績的集中趨勢、成績的分散程度、成績分布的形狀等.通過R 語言中的summary（jsj_qmcj）可得,300 名學(xué)生中期末成績等級為不及格的有26人,等級為及格的有120 人,等級為中等的有88人,等級為良好的有60 人,等級為優(yōu)秀的有6 人.平時(shí)成績的眾數(shù)為80、均值為81.06333、中位數(shù)為80;卷面成績的眾數(shù)為64、均值為67.09333、中位數(shù)為67;期末成績的眾數(shù)為67.2、均值為71.28167、中位數(shù)為70.5、標(biāo)準(zhǔn)差為9.624153、變異系數(shù)為0.1350158.由此可見,各學(xué)科成績都無異常數(shù)據(jù),平時(shí)成績、卷面成績和期末成績的三維散點(diǎn)分布如下圖1 所示,期末成績分布情況如圖2所示.

圖1 各學(xué)科平時(shí)成績、卷面成績和期末成績的三維散點(diǎn)

圖2 期末成績分布情況

且各學(xué)科的期末成績分布圖及對比圖如圖3和圖4所示.

圖3 各學(xué)科期末成績分布情況

圖4 各學(xué)科期末成績對比情況

2 聚類分析

2.1 聚類分析原理

聚類分析是一組將研究對象分為相對同質(zhì)的群組統(tǒng)計(jì)分析技術(shù),它是目前一種流行的探索性分析方法.［2］在分類過程中,我們不必預(yù)先給出一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn),它便能從樣本數(shù)據(jù)出發(fā),自動(dòng)對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類處理.聚類分析所采用的具體算法不同,其所得到的結(jié)論常常也不同.因此,不同研究者對于同一組數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析,所得到的聚類結(jié)果未必是一樣的.

目前常用的聚類分析算法有層次法、劃分法、基于模型的方法、基于密度的方法等.其中,劃分法是聚類分析算法中最簡單、最基本的方法,并且k-means 算法是其中一種經(jīng)典的劃分法,［3］它的輸入為聚類個(gè)數(shù)k和包含n個(gè)數(shù)據(jù)對象的數(shù)據(jù)庫,輸出為滿足方差最小標(biāo)準(zhǔn)的k個(gè)聚類,并對學(xué)生的成績情況構(gòu)建一個(gè)檢測模型.［4］kmeans 首先接收輸入量k,然后將n 個(gè)數(shù)據(jù)對象劃分為k 個(gè)聚類以便使得所獲得的聚類滿足,最后聚類結(jié)果為同一聚類中的對象相似度較高,而不同聚類中的對象則相似度較低.

2.2 聚類分析流程

K-means 聚類算法以其簡單的特性當(dāng)前已得到了廣泛應(yīng)用,它的基本實(shí)施步驟如下:［5］

（1）從n 個(gè)數(shù)據(jù)對象中任意選擇k 個(gè)數(shù)據(jù)對象作為初始的聚類中心;

（2）根據(jù)每個(gè)聚類對象的均值（即中心對象）,計(jì)算出每個(gè)對象與這些中心對象之間的距離,并根據(jù)最小距離來重新對相應(yīng)的對象進(jìn)行劃分;

（3）重新計(jì)算每個(gè)聚類的均值（即中心對象）;

（4）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)測度函數(shù),當(dāng)滿足一定條件,如果函數(shù)收斂,則終止算法;如果條件不滿足則回到步驟（2）繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行.

其處理流程如圖5所示:［6］

圖5 k-means算法流程

3 分析結(jié)果

3.1 探索性數(shù)據(jù)分析結(jié)果

理學(xué)、工學(xué)和文學(xué)三類學(xué)生的平時(shí)成績、卷面成績和期末成績的平均值比較如圖6所示.

圖6 各學(xué)科成績平均值對比

3.2 聚類分析結(jié)果

使用k-means 算法對平時(shí)成績和卷面成績的聚類分析結(jié)果如圖7所示.

圖7 K-means聚類分析結(jié)果

4 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析結(jié)果

通過對研究樣本數(shù)據(jù)的探索性分析得出,由圖2“期末成績分布情況”呈現(xiàn)出該校理學(xué)、工學(xué)和文類三類學(xué)科學(xué)生《高等數(shù)學(xué)》課程的期末成績及格人數(shù)占比遠(yuǎn)多于不及格人數(shù),說明該校的理學(xué)、工學(xué)和文類三類學(xué)科學(xué)生《高等數(shù)學(xué)》的學(xué)習(xí)整體情況良好.從圖3“各學(xué)科期末成績分布情況”和圖4“各學(xué)科期末成績對比情況”可知,理學(xué)學(xué)生的期末成績比工學(xué)和文學(xué)學(xué)生好,又從聚類分析圖6“各學(xué)科成績平均值對比”和圖7“ K-means 聚類分析結(jié)果”可知,雖然文學(xué)的卷面考試成績最不理想,但平時(shí)成績比工學(xué)類學(xué)生好,說明該校的文學(xué)學(xué)生在《高等數(shù)學(xué)》課堂教學(xué)中表現(xiàn)較好.且理學(xué)學(xué)生《高等數(shù)學(xué)》在平時(shí)成績、卷面成績和期末成績都表現(xiàn)最好,跟理學(xué)學(xué)生本身就具有已有扎實(shí)豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)是緊密相連的.最后,從聚類分析結(jié)果看,該校學(xué)生的《高等數(shù)學(xué)》課程的卷面考試成績在一定程度上將受到平時(shí)成績的影響,一般情況下平時(shí)成績表現(xiàn)好的學(xué)生,卷面成績一般較高.

結(jié) 語

學(xué)生《高等數(shù)學(xué)》成績分析的數(shù)據(jù),提取有價(jià)值的信息對指導(dǎo)高校數(shù)學(xué)教學(xué)方法地改進(jìn)及培養(yǎng)學(xué)生具有重要的價(jià)值.針對W 高校教學(xué)改革的需求,本研究對該高校學(xué)生高等數(shù)學(xué)成績進(jìn)行探索性和K-means 聚類分析,挖掘相關(guān)信息,獲取一些重要的結(jié)論,對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率,改進(jìn)教師的教學(xué)方式,也為課程教學(xué)改革指明一定的方向.第一,明確《高等數(shù)學(xué)》在大學(xué)各學(xué)科教育教學(xué)中的重要地位.教師需認(rèn)清《高等數(shù)學(xué)》這門課程在理工科、文科類教育教學(xué)中的重要地位.《高等數(shù)學(xué)》抽象的教學(xué)內(nèi)容,嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?大學(xué)生在某種程度上有種不適應(yīng),［7］在加強(qiáng)理論知識(shí)學(xué)習(xí)的同時(shí),在實(shí)際的教學(xué)過程更需要注重是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng),需要培養(yǎng)高技術(shù)的人才,因此應(yīng)該將數(shù)學(xué)知識(shí)與各學(xué)科專業(yè)對接,緊密相連,應(yīng)用于實(shí)踐,體現(xiàn)數(shù)學(xué)在生活中的重要地位.第二,改進(jìn)課堂教學(xué)的有效性策略.就目前的《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)過程中理論與實(shí)際生活嚴(yán)重脫節(jié),忽視了不同學(xué)科專業(yè)對數(shù)學(xué)知識(shí)的需求,扼殺了學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力.因此,教師要積極鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模,創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目,要對不同數(shù)學(xué)基礎(chǔ),不同學(xué)科學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)因材施教,學(xué)以致用.第三,明確學(xué)生主體地位.為提高學(xué)生的主動(dòng)性和積極性,學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)對學(xué)習(xí)成績的高低有著直接的關(guān)系,［8］教師應(yīng)該主導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與到課堂討論、交流.案例選取貼近不同類別專業(yè),貼近生活實(shí)際,多使用問題情境式教學(xué).第四,完善學(xué)習(xí)評價(jià)機(jī)制.對學(xué)生成績的科學(xué)評價(jià),摒棄唯分?jǐn)?shù)論,可以實(shí)行自主考核和評價(jià),更多的需注重平時(shí)課堂的表現(xiàn)與參與度,改變課程學(xué)習(xí)的評價(jià)機(jī)制,激勵(lì),喚醒學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情,體會(huì)成功的喜悅.