利用綜合分析法培養(yǎng)中學(xué)生的推理能力

林偉杰

【摘要】在日常生活、工作中，我們經(jīng)常使用推理。推理能力也是中學(xué)生必須要進(jìn)一步強(qiáng)化的一種能力。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)，做到言之有理，落筆有據(jù)。”在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力問題上，往年的初中升高中考試題是非常好的材料，多練習(xí)和評(píng)講它們，研究幾何題目論證推理的方法，對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)和提升，大有好處。

【關(guān)鍵詞】推理能力;合情推理;演繹推理;綜合法;分析法;綜合分析法

數(shù)學(xué)除了數(shù)字的加減乘除運(yùn)算以外，還包括嚴(yán)密的邏輯推理。在日常生活、工作中，我們經(jīng)常使用推理。我們?cè)缟峡吹焦仿访娉睗裣氲阶蛲硐逻^一場(chǎng)大雨;室內(nèi)財(cái)物被盜，門窗完好無損，警方想到熟人作案，或是盜賊技術(shù)開鎖的可能性，這些都是推理能力的運(yùn)用。推理能力也是中學(xué)生必須要進(jìn)一步強(qiáng)化的能力，它對(duì)于以后工作、生活非常重要。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)推理能力作了如下闡述：“推理能力主要表現(xiàn)在：能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例;能清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過程，做到言之有理，落筆有據(jù);在與他人交流的過程中，能運(yùn)用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地進(jìn)行討論與質(zhì)疑。”

推理是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程。它分為合情推理和演繹推理。合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、猜想、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理。演繹推理是指從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論。

在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力問題上，筆者發(fā)現(xiàn)，往年的初中升高中考試的試題是非常好的材料，多練習(xí)和評(píng)講它們，對(duì)學(xué)生的推理能力的培養(yǎng)和提升，大有好處。在幾何題證明過程中，證明思路的講解是重中之重。從哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，能夠得出什么結(jié)論？對(duì)證明的結(jié)果有什么幫助？這些都是經(jīng)常要考慮的問題。

通常情況下，運(yùn)用推理來證明，有三種方法：一種方法是從已知條件入手，思考從已知條件可以推導(dǎo)出什么結(jié)論？這樣順推直至結(jié)論成立，這就是“由因?qū)Ч? 另一種方法是從結(jié)論著手，思考要使結(jié)論成立，需要具備哪些條件？這樣逆推直到需要的條件已經(jīng)具備，這種逆推的過程中，要不斷地向已知條件靠攏，這就是“執(zhí)果索因”。也可以順推與逆推相結(jié)合，從問題和已知條件這兩端向中間靠攏，從而發(fā)現(xiàn)問題的突破口，這也叫“兩頭湊”。

“由因?qū)Ч币簿褪亲C明方法中的“綜合法”，“執(zhí)果索因”也就是證明方法中的“分析法”。“兩頭湊”也就是證明方法中的“綜合分析法”。標(biāo)題中的“綜合分析法”泛指以上三種方法。

一、在證明過程中，如何運(yùn)用分析法、綜合法、綜合分析法來推理？

下面用實(shí)例來說明。

1.綜合法（由因?qū)Ч?/p>

2.分析法（執(zhí)果索因）

此題也可以通過證△ADE≌△CFE，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明DE=EF.有興趣的朋友可以自己去證明。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等腰三角形“三線合一”的內(nèi)容。讓學(xué)生對(duì)圖形作深入細(xì)致的觀察，再對(duì)其進(jìn)行深入細(xì)致的聯(lián)想思考，以尋求它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。其次，重視一題多解，一題多變，使學(xué)生的思維充分發(fā)散開、活躍開。

點(diǎn)評(píng)：證明線段的乘積相等關(guān)系往往是證明線段所在的兩個(gè)三角形相似。找相似條件是解題的關(guān)鍵。此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)。靈活運(yùn)用這些性質(zhì)，用正確的思路，就能順利解決這兩個(gè)問題。

3.綜合分析法（從已知條件和問題的兩端向中間靠攏，也叫“兩頭湊”。）

點(diǎn)評(píng)：此題是探究型證明題，掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的前題，證兩條線段相等，往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線段所在的三角形全等，關(guān)鍵是找兩個(gè)三角形全等的條件。在第二問中也考查了通過全等找出和GE相等的線段，從而證出關(guān)系是不是成立。

在證明過程中，當(dāng)一種思路不能順利解題時(shí)，需要及時(shí)轉(zhuǎn)變思路。

分析：因?yàn)锳E與CE不在同一個(gè)三角形內(nèi)，所以考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，通過證明兩個(gè)三角形全等進(jìn)而得到AE=CE。如何構(gòu)造才能順利解題？下圖是容易想到的輔助線添加情形，但筆者發(fā)現(xiàn)，都難于證明出結(jié)論。

若通過點(diǎn)B作BF⊥CE，證明兩個(gè)三角形全等，就能得到AE=CE。

二、在日常教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

筆者認(rèn)為：應(yīng)該從如下幾方面著手：

1.幫助學(xué)生掌握好基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能。數(shù)學(xué)推理需要從基本定理定義出發(fā)，頭腦中要有相關(guān)的基本知識(shí)儲(chǔ)備，才談得上靈活運(yùn)用，發(fā)展能力。

2.創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)活動(dòng)的情景，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。盡量創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的、感興趣的問題情境，激發(fā)學(xué)生的好奇心和興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

3.有目的、有計(jì)劃、有步驟地進(jìn)行推理論證的訓(xùn)練，提高學(xué)生推理論證的能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)摹⒂嗅槍?duì)性的、有步驟地安排學(xué)生練習(xí)相關(guān)題目，學(xué)生獨(dú)立思考與小組合作討論、探究、辯論相結(jié)合，提高書寫和口頭表達(dá)能力，做到“言之有理，落筆有據(jù)”。這是提高學(xué)生推理論證的能力的主要方法。

4.重視論證推理過程的教學(xué)。老師通過證明思路的講解，使學(xué)生掌握分析法、綜合法、綜合分析法的正確應(yīng)用，解題就有了思路。老師講解題過程時(shí)應(yīng)側(cè)重于講解條件與結(jié)論之間是如何建立聯(lián)系的？“授人以魚，不如授人以漁”說的就是這個(gè)道理。

5.批改學(xué)生作業(yè)和課堂提問時(shí)，注重學(xué)生推理論證的正確性評(píng)價(jià)。批改作業(yè)時(shí)，應(yīng)該精批細(xì)改，這樣一方面可以從中發(fā)現(xiàn)一些差錯(cuò)，幫學(xué)生改正表達(dá)方法和論證方法，另一方面可能從中發(fā)現(xiàn)一些好的論證思路。教師把這些好的論證思路再次講給學(xué)生聽，既表揚(yáng)了思路新穎的同學(xué)，又讓其它同學(xué)得到啟發(fā)，是一個(gè)很好的開拓思維的方式。切忌只顧對(duì)照參考答案，把本身是正確的過程改錯(cuò)了。

參考文獻(xiàn)：

[1]詹長青，李樹臣.深入研究《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生推理能力的訓(xùn)練[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2010（3）.

[2]陳蕊.對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育中推理能力及其階段性培養(yǎng)的研究[D].首都師范大學(xué)，2004.

[3]張紅林.淺談如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力[J].讀寫算（教師版）：素質(zhì)教育論壇，2012.