想不到的斜邊中線 看不見的中位線

鄒興平

在幾何圖形中，經(jīng)常會出現(xiàn)多個中點(diǎn).有的中點(diǎn)與另一個中點(diǎn)相連，就成了中位線;有的中點(diǎn)與直角頂點(diǎn)相連，就成了斜邊的中線. 當(dāng)圖形復(fù)雜或圖形不完整時，都會出現(xiàn)你想不到的斜邊中線、看不見的中位線.

例1 如圖1，在[△ABC]中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高.（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形;（2）求證：∠DHF = ∠DEF.

解析：（1）由DE，EF是[△ABC]的中位線，可得DE[?]AC，EF[?]AB，

則四邊形ADEF是平行四邊形.

（2）[∵]AH是邊BC上的高，D，F(xiàn)分別是AB，CA的中點(diǎn)，

[∴]在[Rt△ABH]中，DH = AD，在[Rt△ACH]中，F(xiàn)H = AF，

[∴]∠AHD = ∠BAH，∠AHF = ∠CAH，[∴]∠DHF = ∠BAC，

[∵]四邊形ADEF是平行四邊形，[∴]∠DEF = ∠BAC，[∴]∠DHF = ∠DEF.

例2 如圖2，CD平分∠ACB，AD[⊥]CD，E是AB的中點(diǎn)，AC = 15，BC = 27，求DE.

解析：已知點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，由CD平分∠ACB，AD[⊥]CD，聯(lián)想構(gòu)造等腰三角形，利用“三線合一”使點(diǎn)D成為圖2中另一個中點(diǎn)，從而ED變成“看得見”的中位線.

延長AD交BC于F，[∵]CD平分∠ACB，AD[⊥]CD，

[∴]∠ACD = ∠FCD，∠ADC = ∠FDC，[∴]∠CAD = ∠CFD，[∴]AC = FC，AD = FD.

∵AE = EB，∴DE是[△ABF]的中位線.

[∴]DE = [12]BF = [12]（BC - CF） = [12]（BC - AC） = 6.

例3 如圖3①，在[△ABC]中，∠ABC，∠ACB的平分線BE，CF相交于O，AG[⊥]BE于G，AH[⊥]CF于H.（1）求證：GH[?]BC;（2）若AB = 9，AC = 14，BC = 18，求GH.（3）若將條件“∠ABC，∠ACB的平分線”改為“∠ABC的平分線及∠ACB的外角平分線”（如圖3②），或改為“∠ABC，∠ACB的外角平分線”（如圖3③），其余條件不變，求證：結(jié)論GH[?]BC仍成立.

解析：與例2類似，有角平分線、垂直，延長后構(gòu)造等腰三角形，可利用“三線合一”進(jìn)行證明.

（1）分別延長AG，AH交BC于M，N，如圖4所示，

∵BG平分∠ABM，BG[⊥]AM，

∴∠ABG = ∠MBG，∠BGA = ∠BGM.

∴∠BAM = ∠BMA. ∴BA = BM.

同理CA = CN，∴G，H分別是AM，AN的中點(diǎn)，

∴GH是[△AMN]的中位線，

∴HG[?]MN，∴HG[?]BC.

（2）由（1）知，BM = AB = 9，CN = AC = 14.

∴MN = BM+CN-BC = AB+AC-BC = 9+14-18 = 5.

（3）無字證明如圖5、圖6，相信同學(xué)們都能看懂，請自己寫出證明過程.

[圖4][圖5] [A][B][C][M][N][H][F][E][G][圖6] [A][B][C][E][F][O][G][H][M][N] [A][B][C][M][N][H][F][G][E]

例4 如圖7，[AB<CD]，E，F(xiàn)為對角線BD和AC的中點(diǎn).求證：[12CD-AB<EF<12CD+AB].

解析：要證明的結(jié)論與三角形的三邊關(guān)系有關(guān)，只要構(gòu)造一個以CD長的一半、AB長的一半、EF長為三邊的三角形即可，由此聯(lián)想到中位線，取BC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.

[∵]E是BD的中點(diǎn)，G是BC的中點(diǎn)，[∴]EG是[△BCD]的中位線，

[∴]EG = [12]CD. 同理FG = [12]AB.

在[△EFG]中，[∵][EG-FG<EF<EG+FG]，

[∴][12CD-AB<EF<12CD+AB].

例5 在四邊形ABCD中，AC = BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，DC的中點(diǎn)，EF交AC，BD于點(diǎn)N，M. 求證：OM = ON.

解析：要證OM = ON，可從等角對等邊入手，證明∠OMN = ∠ONM，考慮到對角線AC = BD，能否再來一次等邊對等角呢？構(gòu)造AC，BD的一半則需要構(gòu)造三角形的中位線，自然而然地想到BC的中點(diǎn).

如圖8，取BC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，

[∵]G是BC的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，[∴][EG?AC]，[EG=12AC].

[∵]G是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，[FG?BD]，[FG=12BD].

[∵]AC = BD，[∴]EG = FG，[∴]∠GEF = ∠GFE.

[∵][EG?AC]，[∴]∠GEF = ∠ONM.

[∵][FG?BD]，[∴]∠GFE = ∠OMN，

[∴]∠OMN = ∠ONM，[∴]OM = ON.