幾何變換的旋轉、平移和翻折

吳遠梅 鄒興平

幾何變換就是根據確定的法則，對給定的圖形（或其一部分）施行某種位置變換，然后在新的圖形中分析有關圖形之間的關系. 幾何變換的相關知識是中考的重要組成部分，而旋轉、平移和翻折是幾何變換中的三種基本變換.

一、旋轉

1. 旋轉變換前后圖形的性質：對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線所成的角等于旋轉角，對應線段相等，對應線段的夾角等于旋轉角，對應線段的垂直平分線都經過旋轉中心.

2. 旋轉模型：等腰三角形中的旋轉，如圖1;等邊三角形中的旋轉，如圖2;四邊形中的旋轉，如圖3;正方形中的旋轉，如圖4、圖5;二分之一角的旋轉，如圖6. （同學們能找出這6個圖形中的旋轉變換嗎？）

3.旋轉類型題目

（1）等邊三角形類型：在等邊三角形ABC中，P為△ABC內一點，將△ABP繞點A按逆時針方向旋轉60°，使得AB與AC重合. 經過這樣的旋轉變化，將圖7①中的PA，PB，PC三條線段集中于圖7②中的△P'CP，此時△P'AP也為等邊三角形.

（2）正方形類型：在正方形ABCD中，P為正方形ABCD內一點，將[△ABP]繞B點按順時針方向旋轉90°，使得BA與BC重合. 經過這樣的旋轉變化，將圖8①中的PA，PB，PC三條線段集中于圖8②中的△CPP'中，此時△BPP'為等腰直角三角形.

（3）等腰直角三角形類型：如圖9①在等腰直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，P為△ABC內一點，將△APC繞點C按逆時針方向旋轉90°，使得AC與BC重合. 經過這樣的旋轉變化，在圖9②中的△P'CP為等腰直角三角形.

二、平移

1.平移前后圖形的性質：圖形上的每一點都沿著同一個方向移動了相同的距離，對應線段平行（或在同一條直線上）且相等，對應點連線平行（或在同一條直線上）且相等，圖形的形狀與大小都不變（全等），圖形的頂點字母的排列順序的方向不變.

2.判別平移圖形有三種方法.

方法①：根據平移的定義判別.

方法②：根據平移的特征，只要具備三點，即兩個圖形必須是全等形，兩個全等形的對應線段必須互相平行（或在同一條直線上），兩個全等形的對應點連線必須互相平行（或在同一條直線上）.

方法③：兩個圖形必須是全等形;這兩個全等形的對應頂點字母的排列順序在圖中的方向必須相同（同為順時針或同為逆時針）;這兩個全等形的對應點連線必須互相平行（或在同一條直線上）.

三、翻折

1. 翻折變換前后圖形的性質：翻折和折疊的實質就是軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化;翻折后重合的兩個圖形全等，對應邊相等，對應角相等;對應點連線被折痕所在直線（對稱軸）垂直平分;對應線段或延長線相交的交點在折痕所在直線上.

2. 解答翻折類型題目時，常常運用翻折的性質. 若遇到難度較大的問題，還需要綜合運用題中條件，多種情況討論，準確畫圖，才能正確解答.

例（2019·河南）在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，點E在邊BC上，且BE=[35]a. 連接AE，將△ABE沿AE折疊，若點B的對應點B′落在矩形ABCD的邊上，則a的值為 .

解析：①當點B′落在AD邊上，如圖10，

∵∠BAD=∠B=90°，∠BAE=[12]∠BAD=45°，∴∠BAE = ∠BEA，∴BE=AB，∴ [35]a=1解得a=[53];

②當點B′落在CD邊上時，如圖11，由矩形ABCD得∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=a.

由折疊知∠AB′E=∠B=90°，AB′=CD=AB=1，EB′=EB=[35]a，

由勾股定理得DB′=[B'A2-AD2] =[1-a2]，

∴CB′=DC? -? DB′=1 - [1-a2]，EC=BC - BE=a - [35]a=[25]a.

在Rt△B′CE中，CB′2 + CE2 = EB′2，即（1 - [1-a2]）2 + [25a]2 = [35a]2，解得a =[ 53].

故應填[ 53]，[ 53].