“對數單身狗，指數找基友，對指凹凸求”證明導數不等式

張騰飛

摘要：“對數單身狗”：如果一個待證明的不等式中只含有對數lnx這么一個超越函數，那么要把它轉化為lnx-f（x）>0（或者小于0）的形式，也即對數lnx的系數只能是1，故稱為單身狗。

“指數找基友”：如果一個待證明的不等式中只含有對數ex這么一個超越函數，那么要把它轉化為 的形式，也即對數ex必需和某個函數相乘或相除，不等式右邊變為一個常數，故稱為找基友;

“對指凹凸求”：如果一個待證明的不等式中既含有對數lnx，又含有ex兩個超越函數，那么要把它們各自放到不等式的兩邊，使得一邊是凹函數，另外一邊是凸函數，這樣就只要證明凹函數的最小值大于或等于凸函數的最大值。若果指數對數分離后兩邊的凹凸性相同，那么首先要意識到左右兩邊的函數極值點可能是相同的，這樣一來，凹凸反轉失效，兩邊相減后直接求導即可。

1、已知函數 ，若曲線 與曲線 的一個公共點是 ，且在點 處的切線互相垂直.

結束語：

對于“對數單身狗形式”：把它轉化為lnx-f（x）>0（或者小于0）的形式，對于“指數找基友”形式把它轉化為f（x）e2>1或則 （或者小于1）的形式對于“對指凹凸求”：那么要把它們各自放到不等式的兩邊，使得一邊是凹函數，另外一邊是凸函數，這樣就只要證明凹函數的最小值大于或等于凸函數的最大值。轉化以后大大簡化步驟，使難題簡單化，有利于學生對于此類題目的快速掌握。

指導老師：唐振偉。