大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用的調(diào)查與研究

黃磊雪 莊荔婷 王毅 國(guó)歌 楊博

摘要：本文通過(guò)調(diào)查分析高等代數(shù)、數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，以及舉例說(shuō)明SEIR模型在預(yù)測(cè)新冠肺炎傳播情況的應(yīng)用，具體論述大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用的調(diào)查與研究。本論文提出的思想對(duì)于理解數(shù)學(xué)建模和大學(xué)數(shù)學(xué)課程之間的聯(lián)系起到一定的促進(jìn)作用。

一、引言

“大學(xué)數(shù)學(xué)”是絕大多數(shù)專(zhuān)業(yè)的必修課，是許多高等教育課程的基礎(chǔ);“大學(xué)數(shù)學(xué)”思想作為“數(shù)學(xué)”思想的高級(jí)層面，同時(shí)在金融、計(jì)算機(jī)、建筑等各行各業(yè)應(yīng)用廣泛。將抽象的思想落實(shí)到具體的技術(shù)中，我們需要一個(gè)“模型”，類(lèi)似于把無(wú)形的水注入有形的容器;制作這個(gè)“模型”的過(guò)程，稱(chēng)之為“數(shù)學(xué)建模”。

二、在數(shù)學(xué)建模應(yīng)用中的重要性與必要性

數(shù)學(xué)建模就是將我們生活中難以解決的復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，對(duì)其構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理、證明、求解、得出結(jié)論，并將解得的結(jié)果代入原問(wèn)題中進(jìn)行驗(yàn)證，使實(shí)際問(wèn)題得以合理解決。通過(guò)大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何等學(xué)科的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單行列式、函數(shù)連續(xù)性、可導(dǎo)性以及立體幾何的求法等相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，這為我們?cè)跀?shù)學(xué)建模中簡(jiǎn)化模型、處理數(shù)據(jù)打下了良好的基礎(chǔ)。

（一）數(shù)學(xué)建模與建模意識(shí)

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題能夠合理的抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題。首先通過(guò)觀察分析、提煉出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，然后再把數(shù)學(xué)模型納入某知識(shí)系統(tǒng)去處理，在這過(guò)程中，需要學(xué)生有敏銳的建模意識(shí)，并能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題合理忽略掉對(duì)實(shí)際問(wèn)題影響較小的因素，從紛繁復(fù)雜的具體問(wèn)題中抽象出我們熟悉的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而達(dá)到將實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，使數(shù)學(xué)建模意識(shí)成為學(xué)生思考問(wèn)題的方法和習(xí)慣。

（二）構(gòu)建數(shù)學(xué)建模意識(shí)的基本方法

1.教師的建模意識(shí)的提高，教師在講述數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)時(shí)可以有意無(wú)意將數(shù)學(xué)建模思想滲透到教學(xué)中。

2.數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)與教材相結(jié)合，可以將有關(guān)于數(shù)學(xué)建模的例題與大學(xué)學(xué)科知識(shí)相結(jié)合。

（三）通過(guò)構(gòu)建建模意識(shí)培養(yǎng)創(chuàng)新思維

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，構(gòu)建學(xué)生的建模意識(shí)本質(zhì)上就是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性邏輯思維能力，在建模活動(dòng)過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立尋求解決問(wèn)題的最佳方法和途徑，可以培養(yǎng)學(xué)生的想象能力，直覺(jué)思維、創(chuàng)新思維等能力。

綜上所述，數(shù)學(xué)建模意識(shí)的培養(yǎng)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的各種能力，并努力提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)手段來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力。只有這樣，才能使學(xué)生學(xué)到有用的數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)建模意識(shí)成為學(xué)生思考問(wèn)題的方法和習(xí)慣，才能把素質(zhì)教育提高到一個(gè)新的水平。

三、調(diào)查分析

（一）高等代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[1]

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的基礎(chǔ)課程，此課程所學(xué)習(xí)到的理論知識(shí)無(wú)論在大多數(shù)高等教育課程中，或是在解決實(shí)際問(wèn)題中都有著廣泛應(yīng)用;其中最顯著的就是特征值與特征向量。在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，往往影響一個(gè)事物的變化因素有很多，甚至一些因素對(duì)其造成的影響存在重疊的部分。而高等代數(shù)可以利用其本身的學(xué)科特點(diǎn)用較少的變量來(lái)代替較多的變量，進(jìn)而簡(jiǎn)便我們對(duì)于問(wèn)題的分析與計(jì)算。其中，最常用的是主成分分析法（PCA）、因子分析（FC）以及獨(dú)立成分分析（ICA）等統(tǒng)計(jì)方法。

主成分分析法（PCA）利用正交變換將眾多的變量化繁成簡(jiǎn)為幾個(gè)主成分變量。這幾個(gè)主成分變量之間既可以較完整的呈現(xiàn)原數(shù)據(jù)所要呈現(xiàn)出來(lái)的信息，也可以根據(jù)主成分及其相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算出每一個(gè)成分所對(duì)應(yīng)的權(quán)重比例，通過(guò)較少的變量來(lái)更優(yōu)的解決問(wèn)題。因子分析（FC）可以看作主成分分析的推廣，在大數(shù)據(jù)的觀測(cè)中將大量的觀測(cè)數(shù)據(jù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為某些不相關(guān)且能代表總體的相關(guān)變量。而獨(dú)立成分分析（ICA）是上述兩者的拓展，更多處理數(shù)據(jù)的分離與恢復(fù)，數(shù)據(jù)之間的相對(duì)獨(dú)立性。

矩陣是高等代數(shù)課程的重點(diǎn)內(nèi)容，通過(guò)矩陣的變換可將現(xiàn)實(shí)中觀測(cè)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化表示。通過(guò)矩陣的變換可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步的變換處理。將矩陣與線性方程組聯(lián)系起來(lái)可以對(duì)數(shù)據(jù)的最優(yōu)問(wèn)題進(jìn)行分析。通過(guò)矩陣的線性變換可以找到滿足相關(guān)限制條件的最優(yōu)解，借助運(yùn)籌學(xué)知識(shí)解決一系列最優(yōu)化問(wèn)題。

（二）數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

數(shù)據(jù)分析是建立數(shù)學(xué)模型過(guò)程中重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，建模初期面對(duì)大量的原數(shù)據(jù)，先對(duì)采集后的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，預(yù)處理后需要對(duì)已經(jīng)規(guī)范化的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，通過(guò)分析得到各屬性數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)性，相關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)屬性可以通過(guò)可視化進(jìn)一步得到層次清晰的多維圖形，做出清晰的可視化圖形使模型更加立體化，許多數(shù)學(xué)軟件都提供了強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理功能和繪圖功能，熟練掌握各類(lèi)數(shù)學(xué)軟件對(duì)于數(shù)學(xué)模型的建立非常有利。

MATLAB是一款在數(shù)學(xué)建模中很常用的軟件，它的程序設(shè)計(jì)和圖形處理功能可以幫助我們更直觀的建立數(shù)學(xué)模型，符號(hào)運(yùn)算和數(shù)值運(yùn)算的功能大大節(jié)省了計(jì)算時(shí)間。它提供了面向不同領(lǐng)域而擴(kuò)展的toolbox，不僅可以進(jìn)行數(shù)值和符號(hào)運(yùn)算，還可以處理數(shù)據(jù)分析、通訊工程、信號(hào)處理、圖形處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。諸如系統(tǒng)辨識(shí)常用輸入信號(hào)、最小二乘參數(shù)辨識(shí)方法、極大似然參數(shù)辨識(shí)方法等，均可以在MATLAB中實(shí)現(xiàn)。[2]

還有一些提供特定數(shù)據(jù)處理功能的數(shù)學(xué)軟件，它們雖然使用范圍不夠廣泛但具有相應(yīng)的特點(diǎn)。美國(guó)Lingo公司研究開(kāi)發(fā)的一款專(zhuān)門(mén)用于求解最優(yōu)化問(wèn)題的軟件—Lingo。Lingo軟件不僅可以求解線性規(guī)劃和二次規(guī)劃模型，還可以用來(lái)求解線性和非線性方程。Lingo可以與excel，數(shù)據(jù)庫(kù)等數(shù)據(jù)存儲(chǔ)軟件交換數(shù)據(jù)，使用方便，是求解最優(yōu)化模型的特定選擇。SPSS專(zhuān)門(mén)用于統(tǒng)計(jì)分析，可以從其他數(shù)據(jù)庫(kù)中讀入數(shù)據(jù)，導(dǎo)入數(shù)據(jù)方便快捷，不需要對(duì)原數(shù)據(jù)進(jìn)行太多處理。隨著數(shù)據(jù)挖掘的逐步發(fā)展，一些技術(shù)的使用也逐步完善，數(shù)學(xué)軟件使這些技術(shù)變得簡(jiǎn)單易操作。[3]

各類(lèi)數(shù)學(xué)軟件對(duì)于建立數(shù)學(xué)模型的作用是立竿見(jiàn)影的，使用相應(yīng)軟件可以在完成復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程中作為必要環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)軟件的熟練應(yīng)用可以為我們省去很多的中間求解步驟，進(jìn)而為我們問(wèn)題的求解省去了大量的時(shí)間。

四、分析

由于模型存在誤差，且預(yù)測(cè)的跨度越大，預(yù)測(cè)的誤差可能越大。故我們可以引入強(qiáng)化學(xué)習(xí)的思想方法，對(duì)模型做動(dòng)態(tài)訓(xùn)練，最小化每一小步的預(yù)測(cè)誤差，以最大化中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度。同時(shí)，還可以結(jié)合不確定理論，來(lái)縮小數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)的差距，增強(qiáng)模型的魯棒性。然后我們可以用短期預(yù)測(cè)看離當(dāng)前較近的重大衛(wèi)生事件發(fā)展趨勢(shì)，用長(zhǎng)期預(yù)測(cè)看離當(dāng)前較遠(yuǎn)的重大衛(wèi)生事件發(fā)展趨勢(shì)。采用計(jì)算仿真來(lái)做重大衛(wèi)生事件動(dòng)態(tài)變化模擬，研究更貼切重大衛(wèi)生事件發(fā)展實(shí)情的模型，考慮更多現(xiàn)實(shí)不確定性因素的影響。[4]

可以看出，大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)建模的結(jié)合解決了我們現(xiàn)實(shí)生活中很多困難抽象的問(wèn)題。同時(shí)，大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中一些基礎(chǔ)的算法概念在數(shù)學(xué)建模中有很大的實(shí)踐應(yīng)用，可以說(shuō)，大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)建模中是十分有用的。

參考文獻(xiàn)：

[1] 段淵，李小琴，胡幗一，毛奕岑.高等職業(yè)教育數(shù)學(xué)課程教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用研究——以廣東科技學(xué)院計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)為例.新課程研究，2007.5

[2]王軍鷹.數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，2019.10

[3]廖興.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用，2013.4

[4]蘇保霞.新冠肺炎傳播的基本模型，2020

作者簡(jiǎn)介：

黃磊雪（1999—），男，彝族，籍貫：貴州畢節(jié)，單位：沈陽(yáng)師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。

項(xiàng)目名稱(chēng)：大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用的調(diào)查與研究，項(xiàng)目編號(hào)L（B）2019286。