利用類似性識讀切割體三視圖

汪春平

摘要：讀懂三視圖是學習機械制圖的主要目的之一，而如何識讀切割體的三視圖更是讀圖中的重點與難點，但如果能夠用所學到的類似性的知識去識讀切割體的三視圖的話，會讓我們受益匪淺。

關鍵詞：類似性;切割體;投影面垂直面;一般位置面

0 ?引言

機械制圖中，正投影法有三種基本性質：真實性、積聚性和類似性。當直線或平面傾斜于投影面時，直線在投影面上的投影為縮短的直線段，平面在投影面上的投影為縮小的類似形，這種性質稱為類似性。

這個性質對于識讀切割體的三視圖幫助很大，如果應用得好，可以起到事半功倍的效果。切割體是由基本體經過切割而形成的，但不管怎么切割，截切平面只有三種類型：投影面平行面、投影面垂直面、一般位置面。投影面平行面這里不作討論，只討論后兩種類型：

①當基本體被投影面垂直面截切時，截切平面在與其垂直的投影面上的投影為直線，在與其傾斜的投影面的投影為類似形;

②當基本體被一般位置面截切時，該平面在三個投影面上的投影均為類似形。

1 ?類似性的應用

在讀切割體的三視圖時，要緊緊圍繞類似性做文章，這里分兩種情況討論，一種是基本體被投影面垂直面截切，另外一種是基本體被一般位置面截切。

1.1 基本體被投影面垂直面截切

【例1】 如圖1：已知主視圖和左視圖，請補出俯視圖。

分析：用類似性解這類題首先要找出視圖當中的傾斜的線，一般來講（不能絕對），如果主視圖上有幾條傾斜的線，那么該立體就被幾個正垂面切割;如果左視圖有幾條傾斜的線就被幾個側垂面切割;如果俯視圖上有幾條傾斜的線就被幾個鉛垂面切割。如圖1，根據主視圖有四條傾斜的線，左視圖有兩條傾斜的線，可以知道該長方體分別被四個正垂面切割和兩個側垂面切割;然后再根據“長對正、高平齊、寬相等”的投影規律，找出每條斜線在其它視圖中所對應的投影。如圖2，左視圖上的兩斜線q″，根據“高平齊”我們不難看出它在主視圖上的投影為q′（八邊形），根據類似性我們補出來的水平面投影q應該為八邊形，而且是q′的類似形;同理，主視圖上的p′對應左視圖的p″（上面的小四邊形），其作出來的水平面投影p應該為p″（上面的小四邊形）的類似形，主視圖上的r′對應左視圖的r″（最大的四邊形），其作出來的水平面投影r應該為r″（最大的四邊形）的類似形，主視圖上的m′和n′對應左視圖的m″和n″（下面帶虛線的四邊形，二者重合），其作出來的水平面投影m和n應該為m″和n″的類似形。

通過上面的分析，應該對這個切割體的幾個切割面的形狀和位置很清楚了，下面就是具體的作圖，其作圖步驟如下：

①補出兩側垂面Q的水平面投影q（為q′八邊形的類似形），在補的時候如果有困難不好下手可以先標出八邊形的八個點的正面投影和側面投影，然后再利用點的投影規律求出八個點的水平面投影，最后依次連接即可得八邊形的水平面投影，如圖3。

②補出左邊正垂面P和右邊正垂面R的水平面投影p和r（都為四邊形，但要特別注意：p″為上面的小四邊形，r″為左視圖上最大的四邊形），因為這兩個面比較簡單而且有邊與上面補的八邊形重合，所以我們可以直接補出來不用再去求點的投影了，如圖4。

③最后直接補出形成下面缺口的兩正垂面M和N的水平面投影m和n（為俯視圖虛線圍成的四邊形），如圖5。

1.2 基本體被一般位置面截切

這種情況要清楚地知道一般位置面和投影面垂直面的區別：一般位置面與三個投影面都傾斜，它的三面投影均為類似形，而投影面垂直面與某一個投影面垂直，與另兩個投影面傾斜，它的三面投影為一條直線和兩類似形。所以基本體被一般位置面截切的時候，該面在三個投影面的投影均為類似形，而被投影面垂直面切割的時候，在三個投影面的投影是兩類似形加一條傾斜的直線。也正因為如此，我們在判斷切割體被什么面切割的時候千萬不能根據圖中出現的兩類似形來草率地下出結論，因為出現兩類似形有可能是被投影面垂直面切割，也有可能是被一般位置面切割，只有當圖中出現了一類似形加一條傾斜的直線的時候，才能排除一般位置面，肯定基本體是被投影面垂直面切割;只有當圖中出現三類似形的時候才能排除投影面垂直面，肯定基本體是被一般位置面切割。

【例2】如圖6，已知形體的兩面投影，請補出第三面投影。

分析：如圖7，主視圖中q′（為五邊形）對應左視圖中的斜線q″，因為是一平面加一斜線所以可以確定出Q面是側垂面，其在水平面的投影q也應該是五邊形。但圖中出現了三對類似形：p′和p″（四邊形），m′（主視圖左邊有虛線圍成的四邊形）和m″，n′（主視圖中左下四實線圍成的四邊形）和n″，那么P、M、N面各是什么位置面呢？這里先不要草率地下結論，因為面是由點和線組成的，所以先觀察P、M、N面點和線的投影，從圖7中可以很清楚地看出P面有兩條鉛垂線（組成四邊形p′和p″的兩豎直線），因為鉛垂線的水平面投影為點，所以P面的水平投影應該為直線，即P面為鉛垂面，而組成M面和N面的點和線無這種特殊情況，所以M面和N面應為一般位置面，其水平面投影為類似形即四邊形。

通過上面的分析，我們將其俯視圖補出來，步驟如下：

①根據q′和q″補出側垂面Q面的水平面投影q（為五邊形），同時也補出了鉛垂面P的水平面投影p（為五邊形最右邊的一條邊），如圖8。

②補出一般位置面M和N的水平面投影m和n（為帶虛線的四邊形），如圖9。

③補出其它的投影面平行面（一水平面和一正平面）的投影，然后整理即得，如圖10。

通過補出來的俯視圖不難看出：因為M面的三面投影m′、m″和m，N面的三面投影n′、n″和n都是類似形（四邊形），所以它們為一般位置面;Q面只有正面投影q′和水平面投影q為類似形（五邊形），而側面投影q″為直線，所以它為側垂面;P面的水平面投影p為傾斜的直線，而正面投影p′和側面投影p″為類似的四邊形，所以它為鉛垂面，這也進一步說明剛才的分析是正確的。當然在補的時候也不要忘記補投影面平行面的投影。

另外，在機械制圖切割體當中還經常有補畫漏線這一類題，對于這一類題，如果不能從已知的圖線當中獲得正確的信息，要想把所有的漏線補完整還是有一定的難度，特別是三個視圖都有漏線要補，但是如果在補的過程當中利用好類似性，完全可以把缺漏的線補齊全。

【例3】如圖11，請把下面視圖當中的漏線補出來。

分析：此題當中三個視圖都不完整，補之前一定要判斷出該基本體是被哪些面切割，而且還要注意先后順序。根據三視圖可以看出該基本體先后被一正垂面（主視圖當中的一條斜線）、兩鉛垂面（俯視圖當中的兩條斜線）、兩正平面和一水平面切割（左視圖當中的槽）。從圖中還可以看出：俯視圖當中的兩條斜線在主視圖當中能夠找出它的正面投影（四邊形），所以只須補其側面投影即可，但對于主視圖當中的一條斜線，在左視圖和俯視圖當中不能找出其完整的側面投影和水平面投影，所以剛開始不能去補它所對應的其它兩面投影，而要等它的側面投影或水平面投影當中有一個補完整后再去補。正因為如此，所以在此題當中，要先補出左視圖當中的槽的正面和水平面投影，然后再去補主、俯視圖斜線所對應的其它面的投影。

作圖步驟如下：

①左視圖中用兩正平面和一水平面切了一個槽，補出其正面和水平面投影（只有這樣俯視圖才能補完整，正垂面的水平面投影才能找出來）。如圖12。

②俯視圖中有兩斜線p（判斷P面為鉛垂面）對應主視圖的p′（為四邊形），補出其側面的兩類似形p″，如圖13。

③主視圖上的斜線q′（判斷Q面為正垂面）所對應的水平面投影q（為八邊形），補出其側平面的類似形q″（加一條線即可）。如圖14。

2 ?結論

通過上面的論述可以看出：類似性在識讀切割型組合體的三視圖當中確實能夠給我們提供很大的幫助，并且在比較復雜的圖形當中，它的作用是不可替代的，所以在學習機械制圖當中一定要掌握好這個武器，從而提高我們的識讀圖能力。

參考文獻：

[1]錢可強主編.機械制圖[M].五版.北京：中國勞動社會保障出版社，2007全國中等職業技術學校機械類通用教材.

[2]果連成主編.機械制圖（第六版）習題冊[M].北京：中國勞動社會保障出版社，2011全國中等職業技術學校機械類通用教材.

[3]胡建生主編.機械制圖[M].北京：人民郵電出版社，2014（2017.1重印）高等職業院校機電類“十二五”規劃教材.工業和信息化高職高專“十二五”規劃教材立項項目.