對稱式、交代式、齊次式、輪換式在初中數學中的應用

楊龍田

摘?要：掌握對稱式、交代式、齊次式、輪換式在七年級數學中的整式乘法、因式分解、分式中的應用技巧，使得解這類題更加簡便.給出若干用對稱式、交代式、齊次式、輪換式解不等式，意在鍛煉思維.

關鍵詞：對稱式;交代式;齊次式;輪換式;初一數學;解題技巧

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）17-0005-03

一、基礎概念說明

1.對稱式

一個n元代數式如果交換任意兩個字母的位置后，代數式不變，那么，就稱這個代數式為n元對稱式，簡稱對稱式.例如：

x+y，xy，x+yxy，x2+y2+z2，xy+yz+zx都是對稱式.

2.齊次式

一個n元多項式的各項的次數均等于同一個常數r，那么稱這個多項式為n元r次齊次多項式.例如，

含三個字母的三元一次齊對稱式為：A（x+y+z）;

含三個字母的三元二次齊對稱式為：A（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）;

含三個字母的三元三次齊對稱式為：

a（x3+y3+z3）+b（x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y）+cxyz.

3.交代式（多見于因式分解）

一個n元代數式如果交換任意兩個字母的位置后，代數式均改變符號，那么就稱這個代數式為n元交代式.例如，

x-y，（x-y）（y-z）（z-x），x-yx+y均是交代式.

4.輪換式

一個多項式含有x、y、z，如果用x替換y，y替換z，z替換x，得到的代數式與原來的代數式還相等，那么稱這個代數式為輪換對稱式，簡稱輪換式.顯然，對稱式一定是輪換式，但輪換式不一定是對稱式.例如，a（x2+y2+z2）是對稱式也是輪換式;b（x2y+y2z+z2x）是輪換式，但不是對稱式.

二、運用示例

對稱式、交代式、齊次式、輪換式在初中數學中的應用主要是涉及整式乘法、因式分解、分式這三個模塊.掌握對稱式、交代式、齊次式、輪換式在七年級數學中的整式乘法、因式分解、分式，使得解這類題更加簡便.在有關不等式中的應用屬于較高要求.

1.在整式乘法中的運用

例1計算：a+b+c3.

分析?a+b+c3是一個三次齊次的對稱式，則展開式是含字母a ，b ，c的三次齊次的對稱式，其同型式的系數相等，可用待定系數法.

解?設（a+b+c）3=m（a3+b3+c3）+n（a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b）+pabc（m、n、p是待定系數）.

令a=1，b=0，c=0.比較左右兩邊系數得m=1;

令a=1，b=1，c=0比較左右兩邊系數得2m+2n=8;

令a=1，b=1，c=1比較左右兩邊系數得3m+6n+p=27.

點評?這道題如果使用整式乘法法則計算，會比較復雜，但是在掌握了齊次式的概念，就能知道該式子展開是什么類型，不能確定的就是系數，因此利用待定系數法，就可快速求得結果.

例2?計算（xy+yz+zx）（1x+1y+1z）-xyz（1x2+1y2+1z2）.

分析?∵（xy+yz+zx）（1x+1y+1z）是關于x，y，z的輪換式，在乘法展開時，只要用xy分別乘以1x，1y，1z連同它的同型式一齊寫下.

解?原式=

（y+x+xyz）+

（z+x+xzy）+

（x+y+xyz）-（xyz+xzy+xyz）=2x+2y+2z.

點評?兩個對稱式（輪換式）的和，差，積，商（除式不為零），仍然是對稱式（輪換式）.

2.在因式分解中的運用

由前面的基本概念，類似于x-y，（x-y）（y-z）（z-x），

x-yx+y均是交代式.

基本規律：兩個對稱式（輪換式）的和，差，積，商（除式不為零），仍然是對稱式（輪換式）.故：輪換式的因式分解結果仍是輪換式，交代式的因式分解結果一般是交代式和輪換式的乘積.交代式一般僅在因式分解當中有所考察.

例3?分解因式：（b-c）3+（c-a）3+（a-b）3.

分析?原式多項式是輪換式，則因式分解的結果還是一個輪換式.利用因式定理可發現，當a=b時，多項式值為零，因此，分解過后的式子肯定含有a-b，則同時含有b-c和c-a，這時候只要確定系數即可.

解?設（b-c）3+（c-a）3+（a-b）3=k（a-b）（b-c）（c-a），令a=2，b=1，c=a得k=3.故：（b-c）3+（c-a）3+（a-b）3=3（a-b）（b-c）（c-a）.

點評?這道題關鍵點是運用因式定理，但是對稱式、交代式、齊次式、輪換式的知識會在當中起到輔助的作用.另外，要注意的是，這道題分解的結果并不是簡單的（a-b）（b-c）（c-a）相乘，前面還有系數.

變式?因式分解：a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）.

解?∵當a=b時，a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）=0，

∴有因式a-b及其同型式b-c，c-a.

∵原式是四次齊次輪換式，除以三次齊次輪換式（a-b）（b-c）（c-a），可得一次齊次的輪換式a+b+c.

用待定系數法：

得a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）=-（a+b+c）（a-b）（b-c）（c-a）.

例4?因式分解：x3-y3.

分析?x3-y3是一個三次齊次交代式，則因式分解的結果是奇數個交代式與若干個對稱式相乘.而利用因式定理可知，x3-y3因式分解的結果含有一個x-y，剩下的就是一個二次對稱式了，設該二次對稱式為m（x2+y2）=kxy，易知m=1，只要確定k即可.

解?設x3-y3=（x-y）（x2+kxy+y2），當x=1，y=-1時，解得k=1，故x3-y3=（x-y）（x2+xy+y2）.

點評?x3-y3是一個交代式，則x3-y3的分解結果會含有交代式和輪換式，當x=y時，原代數式為0，故x3-y3含有因式x-y，這個剛好是交代式，剩下一個次數是2的輪換式.

例5?因式分解：x3+y3+z3-3xyz.

分析?x3+y3+z3-3xyz

是一個對稱式，當x+y+z=0時，原式為0，故x3+y3+z3-3xyz因式分解含有x+y+z，而x3+y3+z3是一個三次齊次輪換式，則分解后剩下的部分是二次齊次輪換式，可設為：A（x2+y2+z2）+B（xy+yz+zx）.

解?x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）[A（x2+y2+z2）+B（xy+yz+zx）]，利用待定系數法求得A=1，B=-1.故x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）.

點評?一次齊次的輪換式形如：A（x+y+z），二次齊次的輪換式形如：A（x2+y2+z2）+B（xy+yz+zx）.

3.在分式中的運用

對稱式、交代式、齊次式、輪換式在此模塊中的核心解題技巧是：

（1）若含有x、y、z的代數式是對稱式，則在解題中可設x≤y≤z;

（2）若含有x、y、z的代數式是輪換式，且x，y滿足性質p，則x，z;y，z也滿足性質p;

例6?已知a、b、c是互不相等的正整數時，求證：1-a+b+cabc≥0.

分析?1-a+b+cabc=

12-1ab+13-1ac+16

-1bc.由于a+b+cabc是一個對稱式，故設1≤a<b<c，當a=1，b=2，c=3取極端情況.這時即可證明1-a+b+cabc≥0.

解?1-a+b+cabc=

12-1ab+13-1ac+16

-1bc.設1≤a<b<c，則12-1ab≥0，13-1ac≥0，16-1bc≥0，則1-a+b+cabc≥0.

點評?這題關鍵點是在于明白

a+b+cabc是一個對稱式，進而設1≤a<b<c，故對稱式的相關概念及運用在此類題目解題過程中起到關鍵作用.

例7?已知實數a、b、c滿足

abc=1，a+b+c=4，

aa2-3a-1+bb2-3b-1+cc2-3c-1=1，求a2+b2-c2的值.

分析?題目當中出現的所有式子都是對稱式，因此這道題解題過程中，必然對某種相似的部分做同種處理，例如若對aa2-3a-1

進行變形，必然要同時對bb2-3b-1、cc2-3c-1進行相同形式變形，三式綜合，可得到某種結果.一般情況下，具體如何變形沒有定論，還是要進行嘗試.當了解對稱式、交代式、齊次式、輪換式的基本概念和性質時，它能提供的方向就是某些相同部分使用同一種變形方式.

解?由題得：1a=-bc，a=4-b-c，對于aa2-3a-1=1

a-3-1a=1bc-b-c+1=1（b-1）（c-1）.

類似的：bb2-3b-1=1（c-1）（a-1），cc2-3c-1=1（a-1）（b-1）.

三式相加得：aa2-3a-1+bb2-3b-1+cc2-3c-1=1（b-1）（c-1）+1（c-1）（a-1）+1（a-1）（b-1）=a+b+c-3（a-1）（b-1）（c-1）=1（a-1）（b-1）（c-1）=1.

所以：（a-1）（b-1）（c-1）=abc-（ab+bc+ca）+（a+b+c）-1=1，得：ab+bc+ca=1，所以：a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=14.

點評?這道題難度大，對稱式、交代式、齊次式、輪換式的存在提供了一個解題方向：對三個式子進行相同的處理.這就是對稱式、交代式、齊次式、輪換式存在的意義.

例8?已知：1x+1y+z=12，1y+1z+x=13，1z+1x+y=14，求2x+3y+4z的值.

分析?這道題條件中的代數式是三個輪換式，而且條件是三個等式，這里處理的方式即是對三個等式進行相同的變化.

解?1x+1y+z=x+y+zx（y+z）=122x=y+zx+y+z.

類似的：3y=z+xx+y+z，4z=x+yx+y+z，三式相加得：2x+3y+4z=2.

點評?該題在解題過程中，條件中三個等式都進行了同種變化，變化時是在考慮如何湊出2x+3y+4z

，最后再將三個式子進行相加，即可得出最終結果.分式這塊很多題都有這類特點.

例9?已知aba+b=115，bcb+c=117，cac+a=116，求abcab+bc+ac的值.

分析?典型的輪換式，對條件的三個式子同時取倒數即可.

解?由aba+b=115可得：a+bab=1a+1b=15，同理：1b+1c=17，1a

+1c=16.三式相加得：1a+1b+1c=24，故abcab+bc+ac=124.

點評?此題對于條件的變化方式還是相同：取倒數.變化后的式子依然是相加得到所需結果.

例10?設x、y、z是三個互不相等的數，且x+1y=y+1z=z+1x，則xyz=.

分析?條件是一個連等輪換式，一般這種式子的處理方式是：轉化成x+1y=y+1z、x+1y=z+1x、y+1z=z+1x，對這三個式子進行同種變化，再把得到三個式子相乘或者相加.

解?由x+1y=y+1z得：zy=y-zx-y.類似的：zx=z-xy-z，xy=x-yz-x.

三式相乘得：x2y2z2=1，故xyz=±1.

點評&nbsp;此題條件是連等式，解決方式則是將連等式轉化成三個等式.前提條件是準備認識到題目條件給出的是輪換式.難點在于三個等式的變化方式.因此，在理解“輪換式”的基礎上，還是要進行一些嘗試，才能得到最終的解題方式.

4.在有關不等式中的應用

例11?（2019高考數學全國1卷第23題[選修4-5：不等式選講]）已知a、b、c為正數，且滿足abc=1.證明：（1）1a+1b+1c≤a2+b2+c2;

（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24.

分析?第（1）問是一個明顯的對稱式，第二問是一個明顯的輪換式.第一問只要將分子1換成abc，然后移項配方就可以做出來;第2問要用到均值不等式.

解?（1）abca+abcb+abcc≤a2+b2+c2

a2+b2+c2-ab-ac-bc≥0

12[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]≥0，則原不等式成立.

（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）（b+c）（c+a）≥3·2ab·2bc·2ac=24.

點評?對稱式、交代式、齊次式、輪換式給出了一些解題方向，第1問處理方式，第二問部分處理方式.但是重要的還是課內的基礎知識，對稱式、交代式、齊次式、輪換式能算得上“錦上添花”.第2問要用到均值不等式的延伸：a3+b3+c3≥3abc.

以上例題還存在片面性，對稱式、交代式、齊次式、輪換式一般出現在競賽相關的知識當中，學習這個可以鍛煉思維，能夠學會從不同角度解決問題，提升思維能力、解題能力.

參考文獻：

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[責任編輯：李?璟]