淺談邏輯推理及證明方法

杜先云 任秋道

摘 要：本文引入邏輯運(yùn)算、常見的推理定律及推理：歸納推理、演繹推理和類比推理.以此來闡述中學(xué)數(shù)學(xué)證明方法：直接法、間接法、反證法、窮舉法、構(gòu)造法、歸納法及其思維過程.

關(guān)鍵詞：邏輯聯(lián)結(jié)詞;推理;證明方法

一、引入

無論在自然學(xué)科還是社會(huì)學(xué)科中，以及社會(huì)生活中我們經(jīng)常遇到推理，推理的結(jié)論是否正確？推理需要遵守一定的邏輯規(guī)則.目前，數(shù)學(xué)教師都沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)過數(shù)理邏輯知識(shí)，而在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們又要用到很多邏輯知識(shí).比如：間接法與反證法的定義、區(qū)別與聯(lián)系;矛盾是與一個(gè)已知真命題不一致的判斷，矛盾律和排中律是矛盾的對(duì)立統(tǒng)一的表現(xiàn).為此本文利用《數(shù)理邏輯》的知識(shí)來闡述中學(xué)數(shù)學(xué)的證明方法.

二、命題邏輯及推理規(guī)律

首先我們來回顧《數(shù)理邏輯》的基本知識(shí).命題是判斷是真或假并且結(jié)果唯一的陳述句.簡單陳述句表示簡單命題，簡單命題通過邏輯聯(lián)結(jié)詞的聯(lián)結(jié)而成為復(fù)合命題.一般情況下用四種聯(lián)結(jié)詞：非（）、且（∧）、或（∨）及蘊(yùn)含（→）.用符號(hào)表示的簡單命題或復(fù)雜命題稱為命題公式，通常用大寫字母A，B，C等表示.命題公式A中所有簡單命題無論是真還是假，通過邏輯演算結(jié)果A都是真，稱命題公式A為重言式或永真式.

推理是由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷（前提），推導(dǎo)出另一個(gè)新的判斷（結(jié)論）的思維過程.有正確和錯(cuò)誤兩種推理.從條件A1，A2，…，An推出結(jié)論B的形式結(jié)構(gòu)一般記為：（A1∧A2∧…∧An）→B.

若該式為重言式，稱該推理是正確的或有效的.正確的推理記為：（A1∧A2∧…∧An）B.

按照推理過程的思維方向劃分，可分為歸納推理、演繹推理和類比推理.歸納推理又可分為：完全歸納推理、不完全推理、簡單枚舉法等.演繹推理分為：三段論、假言推理、選言推理等.我們在推理中得出的結(jié)論是否正確？在數(shù)學(xué)上對(duì)于一個(gè)正確推理可以給出嚴(yán)密的證明，要用到幾條常見的推理定律：

假言推理：（A→B）∧AB.若條件A成立，則結(jié)論B成立.現(xiàn)在條件A成立，則結(jié)論B一定成立.這是我們用得最多的推理定律.

假言三段論：（A→B）∧（B→C）A→C.若條件A成立，則結(jié)論B成立;把已證明的結(jié)論B作為后繼證明的條件，又能得到新的結(jié)論C;因此條件A能推出結(jié)論C.該定律說明了假言推理的傳遞性，也是我們用得較多的推理定律.

假言易位等值式：A→B的充要條件B→A.這就是我們通常所說的原命題與逆否題等價(jià).

正確推理的證明是指一個(gè)描述推理過程的命題公式序列，其中的每個(gè)命題公式是已知的條件，或者是由某些條件應(yīng)用推理規(guī)則得到的結(jié)論（中間結(jié)論或推理的結(jié)論）.

三、證明的方法

一般地，真命題都可以看作由條件A與結(jié)論B構(gòu)成，其推理形式為：若條件A為真，證明A→B為真.

1.直接證法

從條件A為真出發(fā)，以及一些定義、公理、定理或已經(jīng)證明過的真命題等，一步一步推導(dǎo)出結(jié)論B.當(dāng)已知條件A（或部分已知條件）與某一個(gè)定理或公理的條件相同，根據(jù)假言推理論或三段論，可推出該定理或公理的結(jié)論成立;我們再把該定理或公理的結(jié)論作為前提，又利用假言推理與其它的定理或公理推出新的結(jié)論，依次推下去，直到得出結(jié)論B.我們稱這樣的證明為直接證明.它利用發(fā)散思維，從條件這點(diǎn)發(fā)散出去，不斷尋找與結(jié)論相關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象.由“已知”得到“推知”，再由“推知”一步步得到“結(jié)論B”.條件A分為二種情況：A=A1∧A2∧…∧An和A=A1∨A2∨…∨Ak.前一種情況由n個(gè)條件A1，A2，…，An同時(shí)成立構(gòu)成已知，利用這n個(gè)條件共同逐步推出結(jié)論B.后一種情況的k個(gè)條件A1，A2，…，Ak在不同的情況下只有單獨(dú)一個(gè)條件Ai（i=1，2，…，k）成立，而其余條件均不成立，分成k種情形進(jìn)行討論，將每一種情形分別證明結(jié)論B，直到所有的k種情形均證明了結(jié)論B，這個(gè)方法叫窮舉法或分類討論法.一個(gè)復(fù)雜的問題往往要分成多種情形，分別將每一種情形進(jìn)行討論.

對(duì)于直接證明法，根據(jù)證明過程的表述不同又分為兩種方法：綜合法和分析法.

2.構(gòu)造法

有些問題分析時(shí)常常使用分析法，求解時(shí)用綜合法.這就是另一種證明方法—構(gòu)造性證明法.它是指要證明的結(jié)論B具有某些性質(zhì)的特殊數(shù)學(xué)對(duì)象，利用已知條件和結(jié)論構(gòu)造一個(gè)中間結(jié)論B′，通過B′來說明B為真，從而說明該命題為真.利用轉(zhuǎn)換型逆向思維法：轉(zhuǎn)換思考角度觀察分析問題，從新的角度，用新的觀點(diǎn)觀察、分析及解釋對(duì)象，抓住它們的內(nèi)在聯(lián)系;再通過聯(lián)想和創(chuàng)新性思維，使原問題中隱晦不清的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)對(duì)象B′中清楚地表現(xiàn)出來.它的本質(zhì)是轉(zhuǎn)化條件或結(jié)論的證明方法.它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問題的特殊性作為基礎(chǔ)，針對(duì)具體問題的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決方法.在幾何中，經(jīng)常要添加輔助線，借助輔助圖形得到結(jié)論.

3.間接證法

有些命題的條件少或者較難從條件入手，直接證明比較困難.我們就利用反轉(zhuǎn)型逆向思維從結(jié)論的相反方向進(jìn)行思考，否定結(jié)論B會(huì)對(duì)已知條件產(chǎn)生什么影響，采用簡接的方法證明.它要用到兩個(gè)重要的邏輯規(guī)律“矛盾律”和“排中律”： 矛盾律用公式A∧A為假來表示，即命題A和它的否定命題A不能同時(shí)成立，二者至少一個(gè)為假.排中律用公式A∨A為真來表示，即命題A或它的否定命題A為真，二者至少一個(gè)為真.矛盾律和排中律說明了在同一思維過程中，命題及其否定命題這對(duì)矛盾必有一個(gè)是真的，另一個(gè)就是假的.當(dāng)直接證明某一判斷的正確性有困難時(shí)，只要證明這一判斷的否定判斷為假就可以了.

根據(jù)假言易位等值式：A→B的充要條件B→A.若證明了逆否命題B→A為真，也即證明了原命題A→B為真.我們稱由B→A為真來證明A→B為真的方法為間接法.對(duì)于沒有明顯前提的特殊命題，要求直接證明某命題B為真.由它的反面B出發(fā)，利用假言推理和假言三段論等推理定律推出矛盾，則得到B為真，我們稱這種方法為歸謬法或反證法.由此可得：從命題角度來看，使用反證法的命題是一類沒有前件的特殊命題，反證法是一種間接證明法.而在間接法證明過程中，我們得到B→A，而A∧A就是一個(gè)特殊的矛盾.因此，從證明的過程來看，間接法又是一種反證法.反證法的步驟：反設(shè)：分清楚要證命題的條件與結(jié)論，假設(shè)命題的結(jié)論不成立.歸謬：從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得到矛盾的結(jié)果.存真：由矛盾的結(jié)果得到反設(shè)不真，從而肯定原命題成立.

現(xiàn)在反證法已經(jīng)是常用的一種證明方法.數(shù)學(xué)中，一些起始性命題、否定性命題、唯一性命題、必然性命題、無限性命題和結(jié)論以“至多……”或“至少……”的形式出現(xiàn)的命題等用反證法來證明可收到比較好的效果.

4.數(shù)學(xué)歸納法

對(duì)于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用數(shù)學(xué)歸納法來證明它的正確性，用于證明某個(gè)給定命題在整個(gè)（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立.數(shù)學(xué)歸納法有多種形式：第一數(shù)學(xué)歸納法、第二數(shù)學(xué)歸納法、倒退歸納法（反向歸納法）、遞降歸納法和螺旋式歸納法等.

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