解答古典概型問題的方法

陳燕華

解答數學問題需要選擇合理的方法，方法得當，就能達到事半功倍的效果;方法不得當，容易陷入解題困境，或出現半途而廢的情況.那么，解答古典概型問題有哪些方法呢？

一、列舉法

有些古典概型問題較為簡單，我們可將事件中可能出現的情況一一列舉出來，得出所有可能出現的基本事件的個數以及基本事件的總數，從而求出古典概型的概率.

例1.（1）將一枚質地均勻的骰子投兩次，得到的點數依次記為[a]和[b]，則方程[ax2+bx+1=0]有實數解的概率是_____.

（2）標有數字1，2，3，4的四張卡片，隨機從4張卡片中抽取2張，確保其數字之和是偶數的概率為_____.

解析：（1）若方程[ax2+bx+1=0]有實根，則必有[Δ=b2-4a≥0].

若[a=1]，則[b=2，3，4，5，6];若[a=2]，則[b=3，4，5，6];若[a=3]，則[b=4，5，6];若[a=4]，則[b=4，5，6]若[a=5]，則[b=5，6];若[a=6]，則[b=5，6].

那么事件“方程[ax2+bx+1=0]有實根”包含基本事件共[5+4+3+3+2+2=19]，

所以該事件的概率為[1936].

（2） 因為從4張卡片中任取出2張一共有6種情況，分別為 （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.其數字之和為偶數的情況一共有2種，分別為 （1，3），（2，4），所以抽取2張卡片數字之和為偶數的概率為[13].

列舉法是求古典概型問題最常用的方法.在列舉基本事件時，我們有時要用到分類討論思想，應做到對分類情況不重、不漏，完整得出結果.

二 、樹狀圖法

對一些特殊的古典概型問題，直接利用列舉法求解容易出錯，可通過畫樹狀圖來分析問題.從樹狀圖中，我們可以直接看出列舉的結果，從而有效地避免運用列舉法常犯的重復與遺漏錯誤.

例2.用3種不同的顏色給如圖1所示的3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂1種顏色.（1）求3個矩形顏色都相同的概率;（2）求3個矩形顏色都不相同的概率.

解析：設3個矩形從左到右依次為矩形1、矩形2、矩形3.用3種不同的顏色給題目中所示的3個矩形隨機涂色，可能出現的結果如圖2所示.由圖2知基本事件共有27個.

（1）記“3個矩形顏色都相同”為事件A，由圖2知事件A的基本事件有3個，故[P（A）=327=19].

（2）記“3個矩形顏色都不相同”為事件B，由圖2知事件B的基本事件有6個，故[P（B）=627=29].

畫樹狀圖求古典概型的概率，可以使問題的求解過程變得形象直觀且快捷有效，體現了數形結合思想的應用.

三、利用逆向思維

對于較為復雜的古典概型問題，我們若直接求解比較困難，可運用逆向思維，先求其對立事件的概率，再用對立事件的性質求解.正可謂正難則反.

例3.（1）某單位要在4名員工（含甲、乙兩人）中隨機選2名到某地出差，則甲、乙兩人中，至少有1人被選中的概率是? ? ? ? ?.

（2）盒中有3張分別標有1，2，3的卡片，從盒中隨機抽取一張記下號碼后放回，再隨機抽取一張記下號碼，則兩次抽取的卡片號碼中至少有一個為偶數的概率為____.

解析：（1）在4名員工（含甲、乙兩人）中隨機選2名，共有6種可能，其中甲乙兩人都未被選中只有1種可能，

所以甲、乙兩人中，至少有一人被選中的概率是[1-16]=[56].

（2）其對立事件為：兩次抽的卡片號碼都為奇數，共有2×2=4種抽法.而有放回的兩次抽取卡片共有3×3=9種基本事件，因此所求事件的概率為[1-49=59].

對于一些含有“至多”“至少”等關鍵詞的概率問題，正向求解繁瑣、容易出錯，我們若反其道而行，先求其對立事件，然后根據對立事件的性質[P（A）=1-P（A）]，可使問題得以突破.

解答古典概型問題有很多技巧，以上三種是常用的、基本的方法.每一種方法有其優點和缺點，同學們在解題中要靈活地利用其優點，回避其缺點，從而使問題得以簡化，提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省海門實驗學校 ）