最富創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)家——黎曼

1826年9月17日，黎曼出生在德國(guó)北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一名鄉(xiāng)村牧師.黎曼6歲開(kāi)始上學(xué)，14歲進(jìn)入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)，19歲按照父親的意愿進(jìn)入哥廷根大學(xué)攻讀哲學(xué)和神學(xué)，為將來(lái)繼承父志成為一名牧師作準(zhǔn)備.

由于從小酷愛(ài)數(shù)學(xué)，黎曼在學(xué)習(xí)哲學(xué)和神學(xué)的同時(shí)，也旁聽(tīng)了一些數(shù)學(xué)課.當(dāng)時(shí)的哥廷根大學(xué)是全世界研究數(shù)學(xué)的“圣地”，一些著名的數(shù)學(xué)家，如高斯、韋伯等數(shù)學(xué)大師都在該校執(zhí)教過(guò).黎曼被這里的數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究的氛圍所感染，決定放棄神學(xué)，專攻數(shù)學(xué).

1847年，黎曼轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，成為雅可比、狄利克萊、施泰納和艾森斯坦的學(xué)生.1849年，他重回哥廷根大學(xué)攻讀博士學(xué)位，成為高斯晚年時(shí)期的學(xué)生.

l851年，黎曼獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位;l854年被聘為哥廷根大學(xué)的編外講師;1857年晉升為副教授;1859年接替去世的狄利克雷，被聘為教授.

1862年，因長(zhǎng)年的貧困和勞累，黎曼在婚后不到一個(gè)月就患上了胸膜炎和肺結(jié)核，在其后四年里，他大部分時(shí)間都在意大利治病療養(yǎng).1866年7月20日，黎曼病逝于意大利，終年39歲.

黎曼的著作不多但卻異常深刻.他對(duì)數(shù)學(xué)概念極富創(chuàng)造力與想象力.黎曼在其短暫的一生中，為數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域作出了許多奠基性、創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)，是世界數(shù)學(xué)史上最具獨(dú)創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)家之一.

一、復(fù)變函數(shù)論的奠基人

19世紀(jì)數(shù)學(xué)最獨(dú)特的創(chuàng)造是復(fù)變函數(shù)理論的創(chuàng)立.它是18世紀(jì)人們對(duì)復(fù)數(shù)及復(fù)函數(shù)理論研究的延續(xù).1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿貝爾以及維爾斯特拉斯已經(jīng)對(duì)單值解析函數(shù)的理論進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，而對(duì)于多值函數(shù)，僅有柯西和皮瑟有些孤立的結(jié)論.

1851年，黎曼在高斯的指導(dǎo)下完成題為《單復(fù)變函數(shù)的一般理論的基礎(chǔ)》的博士論文，后來(lái)又在《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了四篇重要文章，對(duì)其博士論文中的思想作了進(jìn)一步的闡述.黎曼一方面總結(jié)了前人關(guān)于單值解析函數(shù)的成果，并用新的工具予以處理，另一方面，他還創(chuàng)立了多值解析函數(shù)的基礎(chǔ)理論，并由此為幾個(gè)不同方向的發(fā)展鋪平了道路.

柯西、黎曼和維爾斯特拉斯是復(fù)變函數(shù)論公認(rèn)的主要奠基人，而且人們后來(lái)證明了在處理復(fù)函數(shù)理論的方法上，黎曼的方法是基礎(chǔ)性的方法，柯西的思想可以和黎曼的融合起來(lái)，維爾斯特拉斯的思想可以從柯西和黎曼的觀點(diǎn)中推導(dǎo)出來(lái).

在對(duì)多值函數(shù)的處理中，黎曼引入了被后人稱作“黎曼面”的概念.黎曼面給多值函數(shù)以幾何直觀，且證明了在黎曼面上表示的多值函數(shù)是單值的.他在黎曼面上引入支點(diǎn)、橫剖線，定義了連通性等，在對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究上獲得了一系列成果.

經(jīng)黎曼處理的復(fù)函數(shù)中，單值函數(shù)是多值函數(shù)的特例.他把單值函數(shù)的一些已知結(jié)論推廣到多值函數(shù)中，其中按連通性對(duì)函數(shù)分類的方法，極大地推動(dòng)了拓?fù)鋵W(xué)的初期發(fā)展.他研究阿貝爾函數(shù)和阿貝爾積分及阿貝爾積分的反演，得到了著名的黎曼——羅赫定理.首創(chuàng)的雙有理變換構(gòu)成了19世紀(jì)后期發(fā)展起來(lái)的代數(shù)幾何的主要內(nèi)容.

黎曼在其博士論文結(jié)尾部分給出了函數(shù)論在保形映射中的幾個(gè)應(yīng)用，將高斯在1825年關(guān)于平面到平面的保形映射的結(jié)論推廣到任意黎曼面上，并給出了著名的黎曼映射定理.

二、幾何學(xué)的創(chuàng)始人

黎曼對(duì)數(shù)學(xué)最重要的貢獻(xiàn)還有幾何方面的.他開(kāi)創(chuàng)了對(duì)高維抽象幾何的研究，其中處理幾何問(wèn)題的方法和手段帶來(lái)了幾何史上的一場(chǎng)革命.他建立了一種全新的，后來(lái)以其名字命名的幾何體系，該幾何體系對(duì)現(xiàn)代幾何乃至數(shù)學(xué)及其各分支的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大的影響.

1854年，黎曼為了取得哥廷根大學(xué)編外講師的資格，向全體教員作了一次演講，該演講稿在其逝世兩年后以《關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》為題出版了.在演講中，他對(duì)所有已知的幾何，包括剛剛誕生的雙曲幾何作了縱貫古今的概要，并提出一種新的幾何體系，后人稱之為黎曼幾何.

為爭(zhēng)取巴黎科學(xué)院的獎(jiǎng)金，黎曼在1861年寫(xiě)了一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)的文章，這篇文章后來(lái)被稱為黎曼的“巴黎之作”.該文對(duì)他1854年的文章進(jìn)行了技術(shù)性的加工，并進(jìn)一步闡明了其幾何思想.該文在他去世后被收錄在黎曼的《文集》中.

黎曼主要研究幾何空間的局部性質(zhì)，他采用的是微分幾何的方法.這與在歐幾里得幾何中，或者在高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的非歐幾何中，把空間作為一個(gè)整體考慮是對(duì)立的.黎曼擺脫了高斯等前人把幾何對(duì)象局限在三維歐幾里得空間的曲線和曲面里的束縛，從維度出發(fā)，建立了更具有普遍性的抽象幾何空間.

黎曼引入流形和微分流形的概念，把維空間稱為一個(gè)流形.維流形中的一個(gè)點(diǎn)可以用可變參數(shù)的一組特定值來(lái)表示，而所有這樣的點(diǎn)構(gòu)成流形本身，這個(gè)可變參數(shù)稱為流形的坐標(biāo)，而且是可微分的.當(dāng)坐標(biāo)連續(xù)變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就分布在整個(gè)流形當(dāng)中.

黎曼仿照傳統(tǒng)的微分幾何定義了流形上兩點(diǎn)之間的距離、流形上的曲線、曲線之間的夾角，并以這些概念為基礎(chǔ)，展開(kāi)對(duì)維流形幾何性質(zhì)的研究.在維流形上，他還定義了類似于高斯在研究一般曲面時(shí)，刻劃曲面彎曲程度的曲率.他證明了在維流形上，維數(shù)等于3時(shí)，所得到的歐幾里得空間情形與高斯得到的結(jié)果是一致的，因而黎曼幾何是傳統(tǒng)微分幾何的推廣.

黎曼發(fā)展了高斯關(guān)于一張曲面本身就是一個(gè)空間的幾何思想，開(kāi)展了對(duì)維流形內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)的研究.黎曼的研究導(dǎo)致了另一種非歐幾何——橢圓幾何學(xué)的誕生.

在黎曼看來(lái)，有三種不同的幾何學(xué).它們的差別在于通過(guò)給定一點(diǎn)作關(guān)于定直線平行線的條數(shù).如果只能作一條平行線，即是熟知的歐幾里得幾何學(xué);如果一條平行線都不能作出來(lái)，則為橢圓幾何學(xué);如果存在一組平行線，就得到了第三種幾何學(xué)，即羅巴切夫斯基幾何學(xué).黎曼在繼羅巴切夫斯基以后發(fā)展了空間理論，使得一千多年來(lái)關(guān)于歐幾里得平行公理的討論宣告結(jié)束.他斷言，客觀空間是一種特殊的流形，并預(yù)見(jiàn)具有某種特定性質(zhì)流形的存在性.這些斷言逐漸被后人予以證實(shí).

由于黎曼考慮的對(duì)象是任意維數(shù)的幾何空間，對(duì)復(fù)雜的客觀空間有更深層的實(shí)用價(jià)值，所以在高維幾何中，多變量微分具有一定的復(fù)雜性.黎曼采取了一些異于前人的手段使其表述更為簡(jiǎn)潔，并最終促使張量、外微分等現(xiàn)代幾何工具的誕生.愛(ài)因斯坦就是以黎曼幾何為工具，成功地將廣義相對(duì)論幾何化.現(xiàn)在，黎曼幾何已成為現(xiàn)代理論物理必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

三、對(duì)微積分理論作出了創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)

黎曼除了對(duì)幾何和復(fù)變函數(shù)進(jìn)行了研究以外，還對(duì)l9世紀(jì)初興起的完善微積分理論作出了杰出貢獻(xiàn).

18世紀(jì)末到l9世紀(jì)初，數(shù)學(xué)界開(kāi)始關(guān)心數(shù)學(xué)的一個(gè)最龐大分支——微積分在概念和證明中表現(xiàn)出的不嚴(yán)密性.波爾查諾、柯西、阿貝爾、狄利克萊以及維爾斯特拉斯，全都投入到研究分析嚴(yán)密化的工作中.黎曼由于在柏林大學(xué)師從狄利克萊研究數(shù)學(xué)，且對(duì)柯西和阿貝爾的工作有深入的了解，因而對(duì)微積分理論有其獨(dú)到的見(jiàn)解.

1854年，黎曼在爭(zhēng)取哥廷根大學(xué)編外講師的資格時(shí)，還遞交了一篇反映他學(xué)術(shù)水平的論文《關(guān)于利用三角級(jí)數(shù)表示一個(gè)函數(shù)的可能性》.這是一篇內(nèi)容豐富、思想深刻的杰作，對(duì)完善分析理論產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.

柯西曾證明連續(xù)函數(shù)必定是可積的，而黎曼指出可積函數(shù)不一定是連續(xù)的.關(guān)于連續(xù)與可微性的這個(gè)關(guān)系，柯西和他那個(gè)時(shí)代幾乎所有的數(shù)學(xué)家都相信是正確的，許多教科書(shū)都“證明”連續(xù)函數(shù)一定是可微的.但黎曼給出了一個(gè)連續(xù)而不可微的著名反例，最終講清楚了連續(xù)與可微性的關(guān)系.黎曼建立了如現(xiàn)在微積分教科書(shū)所講的黎曼積分的概念，給出了這種積分存在的充分必要條件.

黎曼用自己獨(dú)特的方法研究傅立葉級(jí)數(shù)，推廣了保證傅立葉展開(kāi)式成立的狄利克萊條件，即關(guān)于三角級(jí)數(shù)收斂的黎曼條件，得出了關(guān)于三角級(jí)數(shù)收斂、可積的一系列定理.他還證明：可以把任一條件收斂的級(jí)數(shù)的項(xiàng)適當(dāng)重排，使新級(jí)數(shù)收斂于任何指定的和或者發(fā)散為無(wú)窮大或負(fù)無(wú)窮大.

四、在解析數(shù)論方面取得跨世紀(jì)成果

19世紀(jì)數(shù)論中的一個(gè)重要發(fā)展是由狄利克萊開(kāi)創(chuàng)的解析方法和解析理論的導(dǎo)入，而黎曼開(kāi)創(chuàng)了用復(fù)數(shù)解析函數(shù)研究數(shù)論問(wèn)題的先例，并取得跨世紀(jì)的成果.

1859年，黎曼發(fā)表了一篇《在給定大小之下的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文.在這篇論文中，他將素?cái)?shù)的分布問(wèn)題歸結(jié)為函數(shù)的問(wèn)題，現(xiàn)在稱為黎曼函數(shù).黎曼證明了函數(shù)的一些重要性質(zhì)，并簡(jiǎn)要地?cái)嘌粤似渌男再|(zhì)，但未給予相應(yīng)的證明.

在黎曼去世后的一百多年中，世界上有許多非常優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家盡了最大的努力想證明他的這些斷言，并在作出這些努力的過(guò)程中為數(shù)學(xué)分析創(chuàng)立了新的內(nèi)容，增加了新的分支.如今，除了他的一個(gè)斷言——黎曼猜想外，其余都按黎曼所期望的那樣得到了解決.

那個(gè)未解決的問(wèn)題被稱為“黎曼猜想”，即方程[ζ（s）=0]的所有有意義的解都在一條直線上（希爾伯特23個(gè)問(wèn)題中的第8個(gè)問(wèn)題），迄今為止這個(gè)問(wèn)題還沒(méi)有被證明出來(lái).對(duì)于某些其它的域，布爾巴基學(xué)派的成員已證明相應(yīng)的黎曼猜想.數(shù)論中很多問(wèn)題的解決有賴于這個(gè)猜想的解決.黎曼的這一工作既是對(duì)解析數(shù)論理論的貢獻(xiàn)，也極大地豐富了復(fù)變函數(shù)論的內(nèi)容.

五、組合拓?fù)涞拈_(kāi)拓者

在黎曼博士論文發(fā)表以前，已有一些組合拓?fù)涞牧闵⒔Y(jié)論，其中包含著名的歐拉關(guān)于閉凸多面體頂點(diǎn)、棱、面數(shù)關(guān)系的歐拉定理.還有一些看起來(lái)簡(jiǎn)單又長(zhǎng)期得不到解決的問(wèn)題：如哥尼斯堡七橋問(wèn)題、四色問(wèn)題，這些促進(jìn)了人們對(duì)組合拓?fù)鋵W(xué)（當(dāng)時(shí)被人們稱為位置幾何學(xué)或位置分析學(xué)）的研究.但對(duì)拓?fù)鋵W(xué)研究的最大推動(dòng)力來(lái)自黎曼對(duì)復(fù)變函數(shù)論的研究.

黎曼在1851年的博士論文中，以及在他的關(guān)于阿貝爾函數(shù)的研究里都強(qiáng)調(diào)，要研究函數(shù)，就不可避免地需要位置分析學(xué)的一些定理.按現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，黎曼事實(shí)上已經(jīng)對(duì)閉曲面按虧格分類.值得一提的是，在他的學(xué)位論文中，黎曼提出了某些函數(shù)的全體組成（空間點(diǎn)）連通閉區(qū)域的思想，這是最早的泛函思想.

比薩大學(xué)的數(shù)學(xué)教授貝蒂曾在意大利與黎曼會(huì)面，黎曼當(dāng)時(shí)由于病魔纏身，已無(wú)力繼續(xù)研究發(fā)展其思想，于是就將在拓?fù)鋵W(xué)上的研究方法傳授給了貝蒂.貝蒂把黎曼的拓?fù)浞诸愅茝V到高維圖形的連通性上，并在拓?fù)鋵W(xué)的其它領(lǐng)域作出了杰出的貢獻(xiàn).而黎曼則是當(dāng)之無(wú)愧的組合拓?fù)涞南绕陂_(kāi)拓者.

六、在代數(shù)幾何方面作出貢獻(xiàn)

19世紀(jì)后半葉，人們對(duì)黎曼研究阿貝爾積分和阿貝爾函數(shù)所創(chuàng)造的雙有理變換的方法產(chǎn)生了極大的興趣.當(dāng)時(shí)他們把代數(shù)不變量和雙有理變換的研究稱為代數(shù)幾何.

黎曼在1857年的論文中指出，所有能彼此雙有理變換的方程（或曲面）屬于同一類，它們有相同的虧格.黎曼把常量的個(gè)數(shù)叫做“類模數(shù)”，常量在雙有理變換下是不變量.“類模數(shù)”的概念是現(xiàn)在“參模”的特殊情況，參模上的結(jié)構(gòu)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究最熱門的領(lǐng)域之一.

著名的代數(shù)幾何學(xué)家克萊布什后來(lái)到哥廷根大學(xué)擔(dān)任數(shù)學(xué)教授，他在進(jìn)一步熟悉了黎曼的工作后，將黎曼的工作推向了一個(gè)新的高度.雖然黎曼英年早逝，但世人公認(rèn)，研究曲線雙有理變換的第一個(gè)大步驟是由黎曼的工作引發(fā)的.

七、在數(shù)學(xué)物理、微分方程等其它領(lǐng)域取得成果

黎曼不但在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域作出了劃時(shí)代的貢獻(xiàn)，他也十分關(guān)心物理以及數(shù)學(xué)與物理世界的關(guān)系.他寫(xiě)了一些關(guān)于熱、光、磁、氣體理論、流體力學(xué)及聲學(xué)方面的論文.黎曼是對(duì)沖擊波作數(shù)學(xué)處理的第一個(gè)人，他試圖將引力與光統(tǒng)一起來(lái).他將物理問(wèn)題中抽象出的常微分方程、偏微分方程進(jìn)行定論研究，得到了一系列豐碩的成果.

黎曼在1857年發(fā)表的論文《對(duì)可用高斯級(jí)數(shù)表示的函數(shù)的理論的補(bǔ)充》，及同年寫(xiě)的一個(gè)沒(méi)有發(fā)表而后收集在其全集中的片斷中，提出了處理超幾何微分方程和討論代數(shù)系數(shù)的階線性微分方程的方法.這是關(guān)于微分方程奇點(diǎn)理論的重要文獻(xiàn).

黎曼在常微分方程理論中自守函數(shù)的研究上也有所建樹(shù).在他關(guān)于超幾何級(jí)數(shù)的講義和1867年發(fā)表的關(guān)于極小正曲面的一篇著作中，他建立了為研究二階線性微分方程而引進(jìn)的自守函數(shù)理論，即現(xiàn)在通稱的黎曼—許瓦茲定理.

在對(duì)偏微分方程的理論和應(yīng)用研究上，黎曼在論文中提出解波動(dòng)方程初值問(wèn)題的新方法，降低了許多物理問(wèn)題的難度;他還推廣了格林定理，并對(duì)狄里克萊原理——關(guān)于微分方程解的存在性作了杰出的貢獻(xiàn)……

黎曼在物理學(xué)中使用偏微分方程的講義，后來(lái)由韋伯以《數(shù)學(xué)物理的微分方程》編輯出版，這是一本關(guān)于數(shù)學(xué)物理的重要著作.

黎曼在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都取得了不小的成就，他的工作直接影響了19世紀(jì)后半期的數(shù)學(xué)發(fā)展.許多杰出的數(shù)學(xué)家重新論證了黎曼斷言過(guò)的定理，在黎曼思想的影響下，許多數(shù)學(xué)分支得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，并收獲了巨大的成果.