一個被猜成無理數的有理數

蔣迅

歷史上曾有許多特殊的數字，之前被人們認定是有理數，但最后被發現是無理數.但似乎還沒有哪個特殊的數字之前被認定是無理數，后來卻被人們證明是有理數的.今天我們就來討論這樣一個常數，它曾經被猜測是無理數，最后人們發現它其實是有理數.這個數就是勒讓德常數（Legendre′s constant）.

1808 年，勒讓德在研究素數的分布情況時，發現 [π（x）]滿足以下等式：[limn→∞ln（n）-nπ（n）=B].在這個等式里，[π（x）] 是素數計數函數， B是一個常數，被稱為勒讓德常數.勒讓德估計B大約為1.08366，雖然沒有找到能說明B是無理數的證據，但是他覺得B就是一個無理數.其實，這樣的猜測在當時是很合理的.

從上面的圖片中我們可以看到，當n從 1 增加到10萬時，極限值確實是非常接近于 1.08366的.因此，當時的數學家們普遍認為π（x）符合某種規律.勒讓德也參加了有關π（x）的研究.由于大家的研究都集中在π （x）上，所以B具體是多少就顯得沒有那么重要了.重要的是這個常數的存在性，因為它說明了這個素數定理是正確的.勒讓德的研究讓大家看到了希望，但他本人沒能等到研究的結果. 1833年，勒讓德因病去世.

到了1849 年，有關勒讓德發現的這個極限等式的研究有了新的進展.俄國大數學家切比雪夫證明，如果這個極限存在的話，那么這個極限B=1 .切比雪夫的證明給數學界罩上了一層烏云.大家猜測：這個極限大概不存在吧，因為1是如此的普通，它怎么可能是B呢？可惜切比雪夫也沒能等到最后的結果，于1894年去世.

1899年，比利時數學家查理斯·拉瓦萊·普桑（Charles Jean de la Vallee Poussin）終于解決了這個問題.他證明了極限存在并且等于1 .這是他在數學領域里作出的主要貢獻，并因此獲得了比利時國王授予的男爵稱號.

現在我們知道了B是一個有理數，它的值是1 .它雖不像 π、e和φ那樣與眾不同，但人們更愿意把勒讓德原來給出的1.08366稱為勒讓德常數，盡管它已經失去了原來的意義.