一類彈性碰撞問題的簡單解法

摘 要：本文在課本中一類彈性碰撞問題兩種解法的基礎上，利用對稱思想，深入探討了一種簡單的求解過程，激發對復雜問題的思考，培養分析解決問題的能力。

關鍵詞：彈性碰撞;對稱;動量定理

在人教版高中物理選修3-5中，有一節專門討論碰撞問題的內容。課本以“思考與討論”的形式，讓學生通過建模和計算，探究碰撞后兩物體的速度。

如圖，光滑水平面上的兩個剛性小球，質量為m1的小球1以速度v1和質量為m2的靜止小球2發生彈性碰撞后，求各自的速度v1’和v2’？

課本通過提示，建立動量守恒定律和能量守恒定律，列出兩個方程，

對于上述的二元二次方程組，教師有必要在課堂上給學生演示或講解求解過程。現成的解法無非是將①式中的v1’用v2’表達出來，代入②式，再解一元二次方程。但其中一組答案是v1'=v1，v2'=0，可以舍掉。

再聯立①④，很容易就可以得到答案。

盡管如此，以上兩種方法，無論是求解過程，還是最終答案的識記，對高中生來說都有一定的難度。但對于碰撞后兩球速度的討論，以及遇到的更復雜的彈性碰撞問題（如兩球都有初速度），這個過程又是必不可少的。怎樣才能讓學生更容易求解及識記這個碰撞后的結果呢？

在多次繁瑣的求解中，我意識到，兩小球的這種彈性碰撞，是經歷了從開始形變，到形變量最大，再到完全恢復形變的過程，好像有對稱的思想，那么如果能根據以形變量最大的時刻為對稱點，找到碰撞前后速度關于形變量最大時刻的共同速度的對稱關系，是否就能化簡求解過程呢？

帶著這樣的疑問，我把求解兩小球系統動量守恒的四個動量定理的方程寫出來進行比較。設從開始形變到形變量最大的時間為t1，這段時間內兩球間的平均作用力大小為F1;從形變量最大到完全恢復形變的時間為t2，這段時間內兩球間的平均作用力大小為F2;在形變量最大時，兩球的共同速度為v共?？紤]矢量性，則

思考F、t的含義，我們能夠想到，對于接觸的兩個彈性形變的物體，它們的形變是對方引起的。當考慮小球1時，它關于形變最大時刻對稱的兩個時刻，形變應該是相同的，不過一個是向最大形變發生的狀態，一個是由最大形變恢復的狀態。這樣，在碰撞過程中，每時每刻都有關于形變最大時刻對稱的兩個狀態，所以每一組彈力F大小應該也是相同的。雖然每時每刻的彈力不同，但畫出的F-t圖像一定是軸對稱的，對稱軸就是形變最大的時刻。因此，F關于t的圖像相對于對稱軸兩邊所圍成的面積也是相等的，即F1t1=F2t2。

對稱的思考，讓我們找到了比前面兩種更為簡潔的解法：根據動量的矢量性，先求解兩彈性碰撞小球能達到的共同速度v共，再乘以2后，減去各自的初始速度，即可得到每個小球碰撞后的末速度。這樣的求解和結果的識記，都非常簡便。

以更復雜的情況作為檢驗，如圖，光滑水平面上的兩個剛性小球，當質量為m1的小球1以速度v1去和質量為m2、速度為v2的小球2發生彈性碰撞后，求各自的速度v1’和v2’？

用我們探索出來的方法計算，和常規方法得到的結果是一致的：

參考文獻

[1]人民教育出版社，課程教材研究所等.普通高中課程標準實驗教科書物理（選修3-5）[M].人民教育出版社，2010：17-19.

[2]王平水.一類常見彈性碰撞的求解及規律探討[J].中學生數理化（高二版），2010，04：24-25.

作者簡介：陳博（1983.6），男，漢族，河南鄭州人，本科，中級教師