立體幾何代數化

摘 要：立體幾何是高中學習的一個難點，文科生的空間想象能力普遍偏弱，筆者主要分析了立體幾何中一些重要題型，通過立體幾何代數化，有效降低對學生空間想象能力的要求，讓文科生更容易解決問題，提高教學的有效性。

關鍵詞：立體幾何、空間想象能力、代數化、外接圓、外接球

高中階段進入立體幾何的學習，跟初中的平面幾何相比，對學生的空間想象能力提出了更高的要求，對于很多文科生來說，數學本來就弱，而立體幾何更是難上加難，甚至有不少學生就是因為感覺立體幾何太難才轉投文科數學的懷抱。按正常來說，理科的立體幾何難度肯定高于文科，然而對于文科生來說，立體幾何真的會變容易嗎？

在高中的數學教材中，立體幾何被分成了兩個部分。第一部分：學習空間幾何體的結構特征、三視圖和直觀圖;簡單空間幾何體表面積和體積;空間點、線、面的位置關系;線面平行和垂直的性質定理和判斷定理，這是必修2的內容，共18課時。這一部分主要是培養學生空間想象能力，文理科生都要學習，對文理科生要求是相同的。第二部分：理科生還要學習選修2-1中的空間向量與立體幾何，這一部分引入空間向量，在幾何圖形的基礎上，利用空間向量來證明空間點、線、面的位置關系及求角、面積、體積等。這是用代數的方法解決幾何問題，在一定程度上降低了空間想象能力，提高了對學生計算能力的要求，又體現幾何代數化的過程，而文科學生對這一部分是不作要求的。

正因為空間向量對文科生不作要求，他們要解決立體幾何問題必須完全通過圖形，而無法將立體幾何代數化來處理。事實上，文科生和理科生的思維方式差異較大，文科生的抽象思維水平不高，空間想象能力普遍偏弱，然而計算能力未必弱于理科生，換一種說法，計算能力也比空間想象能力容易提高，如果立體問題只能通過圖像，無法通過計算，那就無形中就加大了立體幾何的難度。所以對于文科生來說，立體幾何不是變容易了，而是更難了。本文主要是探究一下對于立體幾何中的某些重點問題，我們能否將它代數化以降低對學生空間想象能力的要求，讓文科生更易于解決問題，提高教學的有效性。

一、線面垂直模型外接球問題的代數化

例1：已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，，則該球的表面積為（ ）

A.8π B.16π C.32π D.36π

這題是福建省龍巖市2017年高中畢業班教學質量檢查的第10題，是一道比較典型的外接球問題，對學生的空間想象能力要求是比較高的，因為側棱PA⊥平面ABC，所以考慮將三棱錐補成柱體。過B作PA的平行線，過P作AB的平行線，兩條平行線相交于B'點，同理過C作PA的平行線，過P作AC的平行線，兩條平行線相交于C'點，連接B'C'，這樣就構成了一個正三棱柱ABC-PB'C'，

所以球心O就在上下底面外接圓圓心（正三角形的中心）DD'的中點處，OB'就是外接球的半徑。

我們可以進一步探究，如果把上題做一個小小的變動，將三棱錐改成四棱錐，已知四棱錐P-ABCD的四個頂點均在同一球面上其中底面ABCD是正方形，PA⊥ABCD，，求該球的表面積。這時候會發現解題思路是一樣的，也是講四棱錐補成四棱柱，球心也是在上下底面外接圓圓心（正方形的中心）連線的中點處。

因此我們可以得到一個統一的模型，在線面垂直模型（一條直線垂直于底面）的外接球問題中，外接球半徑，其中r1是底面外接圓的半徑，h是垂線的長度。這樣可以把這種類型的題目代數化，有效的降低了對空間想象能力的要求，學生碰到這類題目只要解決一個平面三角形的外接圓問題即可，這樣在教學過程中，學生更易于接受，有效性得到了很大的提高。

二、面面垂直模型外接球問題的代數化

將這題改編一下，例2：已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在同一球面上，其中ΔPAB、ΔABC是正三角形，面PAB⊥平面ABC，，則該球的表面積為_______

例1與例2不同之處在于，例1是線面垂直模型，例2是兩個平面互相垂直即面面垂直模型。

分別找出ΔABC、ΔPAB外接圓的圓心O1，O2，過O1作ΔABC的垂線，過O2作ΔPAB的垂線，兩條垂線相交于O點，O點就是外接球的球心。OA的長就是外接球的半徑。

可以看到這道題對學生的空間想象能力要求更高，很多學生甚至都找不到球心的位置，這種題目對于很多文科生來說會望而卻步，那么能不能將這種題目代數化呢？我們將這題推廣一下，推廣到面面垂直模型（兩個平面互相垂直），分別過兩個面外接圓的圓心O1，O2做兩個面的垂線，兩條垂線的交點就是球心O，∴OO1⊥面O1，OO2⊥面O2;AB就是兩個面的交線，并且我們可以得到AB⊥面OO1CO2，且四邊形OO1CO2是矩形。

我們記外接球的半徑為R，外接圓O1的半徑為r1，外接圓O2的半徑為r2，AB的長度為d，

所以我們得到了面面垂直模型的外接球公式：，其中兩個面外接圓的半徑分別為r1，r2兩個面交線的長度為d.這樣對空間想象能力的要求明顯降低了，學生碰到這類題目只要解決二個平面三角形的外接圓問題就可以求出外接球的半徑。通過代數化，這種中等難度的題型一下變得簡單起來，無論是學還是教，成效都很明顯。

三、二面角模型外接球問題的代數化

我們進一步探究一下這種模型，如果兩個面不是垂直的，假設兩個面的二面角為θ，兩個面外接圓的半徑分別為r1，r2，兩個面交線的長度為d，那么外接球的半徑是多少？

分別過兩個面外接圓的圓心O1，O2做兩個面的垂線，兩條垂線的交點仍然是球心O，∴OO1⊥面O1，OO2⊥面O2;AB就是兩個面的交線，并且我們可以得到AB⊥面OO1CO2，且在四邊形OO1CO2中，，.

當θ為鈍角時，同理也可以得到上述公式，所以我們可以得到二面角模型外接球問題的一般公式：

有了上述公式之后，解決這類問題就變得容易多了，比如2017年福州市質檢的一道題：

A.7π B.12π C.16π D.28π

這道題對于理科生來說都有不小的難度，更何況是文科生，如果畫圖用普通方法去解決這道題，能做出的學生寥寥無幾，但是有了上面的公式后，連圖都不用畫，分別求出等邊三角形的外接圓半徑r1=2，的半徑，直接代入可得R2=7，選D。問題迎刃而解。

當然并不是所有的題目都能代數化，在解決立體幾何問題的過程中，空間想象能力是必不可少的，代數化的方法可以適當降低某些題型對文科生的空間想象能力的要求，但不可能代替這種能力，無論如何空間想象能力的培養還是幾何最根本的要求。對于文科生來說，我們仍希望他們有較好的空間想象能力，這對于他們個人的核心素養的培養，對于自身發展有著很重要的意義。

參考文獻

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作者簡介：楊圣煒，性別：男，出生年月：1983年2月，籍貫：福建福州，工作單位：福州格致中學，研究方向：高中數學，學歷：碩士研究生，職稱：一級教師，郵編350001。