尊重每一個：“角的度量”教學價值選擇與實踐

孫趙倩

摘 要：“角的度量”一直以來是小學數學度量教學中的難點，盡管學生花了大量的時間來訓練，可還是會有許多學生出現不會擺量角器、內外圈刻度讀錯、內外圈方向讀反等錯誤。量角如果僅作為一項技能，只需要模仿與訓練，但對量角工具及操作技能本質，是否會讓每一個學生都理解？為此，教學“角的度量”一課前，先對學生進行了前測，了解學生已有的認知水平，并對人教版內容的更改進行了分析，了解到改版從掌握技能轉向理解原理的導向意圖。基于尊重每一個的小班化教育理念，在實踐中采用了“在感受統一度量單位后再認識角的度量單位1°角”、制作“量角器”、“理解度量單位累加這一量角的本質”等方式，引導學生自主探索、小組合作學會量角，收到了理想的教學效果。

關鍵詞：理解原理;度量單位;量角器;單位累加

“角的度量”一直以來是小學數學度量教學中的難點。2011版課標中對于這部分內容的學習提出了明確的要求：“能用量角器量指定角的度數，能畫指定度數的角。”為了降低學習難度，于是把量角和畫角分成兩個課時分開教學。本文討論的是量角。

量角是一項技能。通常，老師們也把“角的度量”定位為一節技能訓練課，往往是先簡單介紹一下角的單位“度”;然后直接介紹量角器的結構：中心點、0刻度線、內外圈刻度;再介紹量角的方法：點對點、邊對邊、讀刻度;最后進行大量的量角技能訓練。盡管學生花了大量的時間來訓練，可還是會有許多學生出現不會擺量角器、內外圈刻度讀錯、內外圈方向讀反等錯誤。看似周全縝密的技能訓練過程，怎么會事倍功半？這是一個值得思考的問題。

一、前測調查，基于學情——“了解每一個”

在學習之前，先抽取了本校三（5）班、三（6）班（共62名學生）和四（5）班、四（6）班（共73名學生）進行了前測，并對前測結果進行了剖析。

1.角的度量技能之一：是否認識量角的工具？

其中在“你選擇的是什么工具”一題中（如圖1）

調查顯示，選擇量角器作為工具的三、四年級共有80人，占測試人數的59.26%，能正確寫出量角器名稱的共有32人，占測試人數的23.70%;有48人不能準確地寫出這種工具的名稱，并創造出了許多其他名稱，如圓尺、半圓尺、角度尺等。訪談時，詢問“你怎么從學具袋中選擇了這個工具來量角？”，三年級的同學中，因為有1人提前學過該內容，所以明確這是量角器，其余寫出“半圓尺”“圓尺”“角度尺”的名稱的同學，是因為“學具袋中只有直尺、三角尺和這個圓尺，直尺和三角尺是量長度的，不是量角的，所以選擇那把圓尺”。四年級的同學，因為本冊教材早已下發，接受教材的暗示以及學本單元之前，老師要求學生提前買好量角器，所以知道量角器的名稱。

隨后對測試中30名能夠說出量角器的四年級學生進行訪談，發現有43.33%的學生能夠大致說出量角器上有什么，但僅6.67%的學生能夠用準確的語言描述量角器的構造。根據前測種種結果表明，學生聽說過量角器，但對于量角器的構造認識模糊。

以上種種說明，有一部分學生聽說過量角器，并能精準地表達名稱，但相對其它計量單位的學習和接觸來說，還是屬于比較少的。

2.角的度量技能之二：學生會用量角器量角嗎？

前測發現，有80人正確選擇了用量角器作為工具去測量角的大小，那么他們都會量嗎？

統計發現，對測試題3中四個角的度量是否正確如表2所示

可見雖然選對了測量工具，但絕大部分學生沒有掌握測量的方法。正是由于量角器的構造特殊，而學生在生活中又很少接觸，所以認識量角器，并掌握使用量角器方法還是有難度的。

3.角的度量儲備之三：學生能直觀比較“角的大小”嗎？

前測訪談中發現，學生能直觀知道角的大小，一般是依賴直覺，用描述性的語言“頭如果尖尖的角，角就比較小，頭如果不是尖尖的，角就比較大”;有時候也會知道生活中的角“坡度比較陡，就是與水平線的夾角大;坡度比較平坦，就是與水平線的角度小”，學生通過“角的初步認識”一課學習，已經知道“角的兩邊叉開越大，角就越大”;要比較“角的大小”，學生會拿一個直角去比較，這個角比直角大，還是比直角小，但不知道會大多少或者小多少。

4.角的度量儲備之四：學生是否知道“度”這個角的度量單位？

前測訪談中，設計了提問“在說角的大小的時候，你聽說過“度”來表示嗎？如果聽說過，請舉例“。經過訪談，學生是知道“度”這個名稱，舉例的時候，學生往往舉例是“直角是90度”，但不明確“度”是測量角的大小的“單位”。可見，學生并不知“度”的作用，更不知“度”何以來？

二、分析教材，縱橫比較——“以學生為主體”

1.橫向比較：6套版本教材關于“1°的角”的呈現的思考

參考新課程標準下的六套教材，分別是人教版四上《數學》、北師大版四上《數學》、蘇教版四上《數學》、浙教版四上《數學》、西南師大版四上《數學》和青島版四下《數學》。

不難發現：6套教材中有3套教材有意識地安排了統一度量單位的內容。如青島版給出兩個角比較大小，先用三角尺去比較，再用活動角去比較;蘇教版在給出一個角后，用三角尺上的三個不同大小的角分別去度量，然后給出“為了準確地測量角的大小，要有統一的計量單位和度量工具，量角器就是度量角的工具”這樣的結論;北師大版給出了兩個差不多大小的角，一個學生用直尺上的直角去量，另一個學生用三角尺上的角去量，由于度量單位不統一而且比較大就量不出結果，然后選擇用更小的角作為標準角來度量，并且提示如果標準角再小一些就更精確了。

價值思考：為什么用1°角來作角的度量單位？為什么不是其它大小的角做度量單位？為什么要用量角器來量角，而三角板卻不能作為量角工具？……這一系列的問題，學生都不清楚，雖然不會影響量角這個操作技能，但這禁止了學生的思考，限制了學生的思維發展，正因為如此，這么多套版本的教材開始關注“追本溯源”，而不再簡單地告訴學生“角的度量單位是1°角”，這是一種導向，關注每一個學生的思維品質發展，才是我們價值所在。

2.縱向比較：人教版2011前后“角的度量”編排差異的思考

比較1：2011版課標出現后，角的度量，人教版發生哪些改變？

相比之間：教材關于“角的度量”的例題，兩套版本出現以下4項差異：

差異一：2011版教材增加了“第三方參照物”比較角的大小。

差異二：2011版教材大篇幅增加了“角的度量”的原理闡述。

差異三：2011版教材標示了“量角器認識”的兩個重要部位名稱。

差異四：2011版教材擯棄“半圓等分180份”，而是從“圓周等分360份”認識1度的角。

綜上所述，毋容置疑，關于角的度量，2011版課標后，教材發生的變動是比較大的，彰顯了“以學生為主體”的理念，所以小班化教學中，更需要喚醒孩子們的主動探索，通過合作探究，“角的度量”讓學生知其然而更知其所以然，不讓學生淪為“度量操作工”。

比較2：2011年后人教版教材改變，呈現了什么樣的理念？

人教版2004版教材（如圖2）編排思路為課題導入—出示量角器—認識量角器—介紹用量角器的方法—試著量角。它的特點是教師主導，重點突出，著力點在于讓學生掌握量角這種技能。缺點是學生對于量角器的產生及其使用不清楚，僅僅是會操作而已，學生自主學習的探索空間顯得不夠，學生基本處于“被探究”的處境。

相比之下，2011版人教版教材做了相當大的改動，2011版教材先讓學生感悟用較小的角作為單位可以度量較大的角，從而進一步感受---將若干個單位小角進行拼合后就形成了量角器;再對量角器上各個部分的作用進行理解。

相比而言，2011版教材的編排，課堂引入---用三角板作為工具比較角的大小---需要一個合適的角作單位來量---將圓平均分成360份---每一份所對的角的大小是1°---根據這一原理，人們制作了量角器---量角練習。

很顯然，2011年后的人教版教材，它希望體現以學生為主體，重點在于探索和經歷量角器產生的過程，在理解原理的基礎上形成技能。

比較3：為什么“1度的角”是“把圓周平均分成360份”，而不再是把“半圓平均分成180份”？

從學生學情看，學生對于“周角360度”認識，比“半圓180度”更容易理解，學生會有“平角180度”的建構，但對與“半圓180度”又有新的挑戰，何況“半圓是全新的概念”。

從概念的精準度而言，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。半圓是圓的一半，而我們的日常使用的量角器是半圓形的。半圓和半圓形是不同的概念。人教版教材“角的度量”一課的內容從半圓工具到360°周角的轉變，規避了半圓概念，明確了1°是度量角的單位，是表示一個小角的大小，而不僅僅是量角器上的一根線，這樣使教材更加得嚴謹，體現了精準的數學精神。

從教師主導走向學生主體，從“技能操練”走向“理解原理”，“從小概率學生可能會質疑半圓180度”到“360度圓中得到1度的角”，體現了“尊重每一個”，“發展每一個”的價值導向。

三、教學實踐，基于價值選擇——注重思維發展歷程

1.充分感知角的度量單位，不再一筆帶過

度量是指出某個物體具有多少個單位的某種屬性。度量單位是度量的核心，度量單位的統一是使度量從個別的、特殊的測量活動成為一般化的、可以在更大范圍內應用和交流的前提。1°是角的度量單位。所以角的度量，其本質是1度的角的疊加，總之，角的度量單位，絕對不可以一筆帶過，必須讓學生感受統一度量單位后再認識。

在實踐教學中是這樣做的：先出示兩個角，請學生估一估∠1和∠2誰大？學生根據已有數學經驗提議用活動角進行比較（如圖4），在此引導學生以小組合作的形式用大小一樣的小角去比較大小（如圖5），發現∠1剛好包含這樣的三個小角，∠2剛好包含四個這樣的小角。總結用小角比的方法，再量∠3，發現它比四個小角還多一點點（如圖6），請小組討論怎么能知道多的一點是多少？引發感想：需要用一個更小的角來拼。多小的角比較合適呢？學生很容易想到了1°這么小的角。再來介紹這個人們早就規定好了的“1°角”：人們將圓平均分成360份，其中的一份所對的角的大小叫做1度（記作1°）（見圖7）。通常用1°作為度量角的單位。

課堂實錄片段：

教師揭示課題后------

師：黑板上有兩個角，請你猜猜哪個角大？

生：∠2大。

師：同學們的猜測都是憑眼睛看的，你能想個辦法來證明下你的猜測嗎？

生：用活動角

（請學生上臺演示）

師：（出示10個大小一樣的小角）用它們能比較出這兩個角的大小嗎？

（請一組學生上臺，其他小組下面合作進行）

（總結小角比的方法，出示∠3，學生量角后得到四個小角還有剩余）

師：有沒有辦法知道這多出來的一點到底是多少？

生：把小角分得細一點，小一點。

師：分到多少算小呢？

生：1度。

師：為了更加精確量出角的大小，人們將圓平均分成360份，其中的一份所對角的大小就叫做1度，記作1°。度是我們計量角的單位……

這樣的處理不僅滲透了統一度量單位的思想， 而且有意識地讓學生感受到當一個度量標準取得越小時， 度量的結果就越精確。

2.因需“創造”量角器

測量工具是為了取得目標物的某些屬性值而進行測量所需要的第三方標準。量角器是量角的工具，是小學階段學生所接觸到的結構最復雜、讀數最易錯的工具。

通過對已經學過“角的度量”的5名五年級學生的訪談，其中5人都能準確說出量角器的構造，但當問到“量角器上為什么要有中心點、為什么有180個刻度”這樣的問題時，一般只能回答諸如 “因為中心點要和頂點對牢的、因為我們量的角是180°以內的”。可見，學生只是認識了量角器，并沒有從原理上理解量角器為什么要這樣設計。量角器和角之間的聯系被割裂開來了。

面對這樣的情況，進行了如下教學實踐：

（1）在學生認識了單位1°角后，為了方便，我們先研究圓的一半，請學生在半圓中找到1個1°角。

（2）借助1°角的累加，在簡化的半圓工具上發現10個1°角組成了1個10°角。

（3）出示50°角和125°角，請學生數一數為了不用每個角都“數”出來，學生提議給半圓工具標上一圈刻度。

（4）出示一個開口相反的30°角學生感受到要方便讀出這樣的角必須再標上一圈刻度。

（5）屏幕展示的就是我們現在用來量角的工具---量角器，介紹量角器的各部分名稱。

（6）同桌互相介紹量角。

這樣教學，不僅動態直觀地展示了量角器的發生過程，讓學生理解量角器原來是180個1°角的集合這一本質，而且為學生更好地使用量角器量角鋪平了道路。在教學中多了一份不學自會的明朗，積累了豐富的數學活動經驗。

同時，量角器的制作過程是由360°的圓周角引入，當所量角比180°還大時，學生自然就會想到把兩個180°的量角器拼起來形成360°量角器。這已不僅僅是認識工具了，而是在進行偉大的創造！

3.理清原理，從記憶方法走向本質理解

新課程標準提出的教學建議中指出，數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯。教師應解釋數學知識的實質及其體現的數學思想，幫助學生理清相關知識之間的區別和聯系等。在基本技能的教學中，不僅要讓學生掌握技能操作的程序和步驟，還要讓學生理解程序和步驟的道理。

（1）分析后測，理清“量角”出錯的類別與根源

以往教學中，老師們總會煞費苦心地編一些兒歌或口訣，如“中心對頂點、零線對一邊、它邊讀刻度、內外要分辨”，學生也會背得滾瓜爛熟。老師在糾錯時又會一遍一遍地核對點對了嗎、邊對了嗎、內外圈對了嗎。可即便這樣，學生仍然會在讀內外圈刻度時出錯，要么內外圈讀反、要么從左往右還是從右往左的方向反了，而且一錯再錯。通過對已經學過“角的度量”的本校五（8）班34名學生進行了調查：測量下列4個角的大小（見圖9），結果如圖10，錯誤率高達67.65%，而表3分析錯誤原因所示。

以上調查可以看出，學生雖然知道量角的步驟，但量角的準確率依然很低，而且大多數錯誤原因在于對量角本質“度量單位的累加”不理解。機械的模仿與記憶量角方法，不能從根本上解決量角時出現的問題。

（2）以學生為中心，從量角本質入手，分解教學難度

根據前測和對往屆學生的后測，就有了個性化精準學習的可能，在教學實踐中，在建立度量單位1°角的概念后，非常注重學生經歷度量單位累加的過程。學生在先從半圓工具里找到1個1°角，然后找到10°角，并且用1°角的累加驗證10°里有10個1°角。再讓學生合作找到50°角，讓學生用手勢演示累加數，一邊引導學生自我總結：“50個1°角組成了1個50°角，1個50°角由50個1°角組成”，“5個10°角組成了1個50°角，1個50°角由5個10°角組成”。再出示125°，30°…讓學生充分地體驗和描述度量單位累加的過程。并且，在云平臺讀數環節進行知識鞏固，除此之外，也需重視讓學生說出量的過程，如，手勢表示從右邊數起，6個10°和3個1°組成了63°。

這樣教學后，學生對于量角的本質是十分清晰的：所量角的大小可以由若干個1°角累加而成，量角器上有180個1°角累加后的結果，借助量角器上的1°角就能量出所量角的大小。學生只要知道自己是從哪邊開始數起的，就不會因為讀哪圈刻度而苦惱，并且可以大大減少方向性的錯誤。課堂練習三（如圖10）全班僅有1人測量錯誤也印證了這一點。但在練習過程中出現一學生盡管度數量對但量角器放反的情況（如圖11），這也是在下次課中需要強調的。

（4個角全對為正確）

在教學后，又對于本班學生（34人）做了后測：測量下列4個角的大小（見圖9）。結果如圖13所示，同樣的后測與對照班相比，正確率從32.35%提高到85.29%，效果顯著。

從以上數據我們可以看出，學生拿到量角器后不會擺的情況很少了，學生頭腦里非常清楚地產生了每一個角都是由若干個1°角累加而成的印象。相比與五（8）班的調查反饋，發現這樣的教學實踐后，量角的正確率大大提高，而且學生的內外圈讀反、方向讀反等常見錯誤也有所減少，這樣教學，很好地突破了量角技能的難點。

四、實踐反思，基于個性化教育的幾點探索

1.追本溯源，促成“四為課堂”的發生

教育的個性化是教育現代化的重要體現。自有教育以來，對個性化學習的追求，從來沒有停止過。個性化的教學，更是小班化教育的不懈追求。

面對“角的度量”這個技能教學難點，采用簡單的教學模式顯然是行不通的，技能的習得確實需要模仿與訓練，但技能教學不等同于技能的模仿與訓練，我們更需要讓學生理解原理，溯本求源，基于對操作工具、技能操作過程本質的理解，才能讓學生知其然也知其所以然，才能使學習真實發生。

為此，我們促成“四為”課堂的發生：“以生為本”，我們研究學生，進行前測，對往屆學生進行后測，了解學生起點路徑和錯誤教訓，以達到“私人定制”的前奏;“以標為綱”，我們研究目標，對比教材，對目標的導向價值進行分析，以達到“校本細化”的鋪墊;“以學為主”，我們以學定教，讓學生會學樂學，事實表明，學生感受統一度量單位后再認識單位1°角、經歷量角器的發生過程、理解度量單位累加的量角本質后，能夠更為準確地量角的大小;“以導為方”，革新教法，引領指導，教師準備了大量的簡約的半成品，讓學生在自主探究中完成“量角器”的創造，并運用“云數據”測量等電子化手段，讓學生快速精準獲得測量結果，享受成功快樂。

2.板塊設計，學生有更多的自主探究的時空

基于“個性化教學”，基于“兒童立場”的核心素養和關鍵能力的思考，我們有了非常精準的起點測試和錯誤掌控，更有了精準的目標導向，于是我們對“角的測量”有了板塊化設計，這讓教師有更多精力關注孩子的學習，為個性化教學提供可能;教學中再也不急吼吼地讓學生反復操練強化，而是讓學生靜心思考，認真觀察1°角的來源，理解量角器為什么能量角，為培養深度思考力提供可能;在“經歷量角器的發生過程”和“理解量角的本質”這兩個板塊，充分提供動手素材，讓學生充分展開討論交流，展現思維過程，為轉變思維模式提供可能。

參考文獻：

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