實變函數論

實變函數論（real function theory）是十九世紀末二十世紀初形成的數學分支，它起源于古典分析，主要研究對象是自變量（包括多變量）取實數值的函數，研究的問題包括函數的連續性、可微性、可積性、收斂性等方面的基本理論，是微積分的深入和發展，因為它不僅研究微積分中的函數，而且還研究了更為一般的函數，并且得到了比微積分中相應理論更為深刻、更為一般而應用更為廣泛的結論，所以實變函數論是現代分析數學各個分支的基礎。

一、實變函數論的產生

微積分產生于十七世紀，到了十八世紀末十九世紀初，微積分學已經基本上成熟了，數學家深入地研究并建立起許多小分支，使它很快成為數學中的一大分支，也就是數學分析。

也正是在那個時候，數學家逐漸發現分析基礎理論本身還存在著許多問題，比如，什么是函數？這是一個看上去簡單且十分重要的問題，但數學家們并沒有給出統一的、標準的答案。

十九世紀初，曾經有人試圖證明任何連續函數除個別點外總是可微的，1872年，德國數學家魏爾斯特拉斯給出了第一個處處連續但處處不可微函數的例子，使人們意識到連續性與可微性的差異，由于發現了某些函數的奇特性質，數學家對函數的研究更加深入了，人們又陸續發現了有些函數是連續的但處處不可微的;有的函數的有限導數并不黎曼可積;有些函數連續但是不分段單調;等等情況，這些都促使數學家考慮：要處理的函數，僅僅依靠直觀觀察和猜測是不行的，必須深人研究各種函數的性質，比如，連續函數必定可積，但是具有什么性質的不連續函數也可積呢？如果改變積分的定義，可積分條件又是什么樣的？連續函數不一定可導，那么可導的充分必要條件又是什么樣的……

對上面這些函數性質問題的研究，逐漸產生了新的理論，并形成了一門新的學科，這就是實變函數論。

二、實變函數的內容

實變函數論就是研究一般實變函數的理論，實變函數論的內容包括實值函數的連續性質、微分理論、積分理論和測度論等。

在高中，我們已經初步了解了微積分，我們知道，微積分學主要是從連續性、可微性、可積性三個方面來討論函數（包括函數序列的極限函數），如果說微積分學所討論的函數都是性質“良好”的函數（例如往往假設函數連續或只有有限個間斷點），那么，實變函數論是從連續性、可微性、可積性三個方面討論最一般的函數，包括從微積分學來看性質“不好”的函數，它所得到的有關結論自然也適用于性質“良好”的函數，實變函數論是微積分學的發展和深入。

而實變函數論是微積分學的進一步發展，它的基礎是點集論，也可以說實變函數論是在點集論的基礎上研究分析數學中一些最基本的概念和性質的，比如，點集函數、序列、極限、連續性、可微性、積分等，實變函數論還要研究實變函數的分類問題、結構問題。

實變函數論的積分理論主要研究各種積分的推廣方法和它們的運算規則，由于積分歸根到底是數的運算，所以在進行積分的時候，必須給各種點集一個數量的概念，這個概念叫作測度，集合的測度這個概念是由法國數學家勒貝格提出來的。

勒貝格在他的論文《積分和圓函數的研究》中，證明了有界函數黎曼可積的充分必要條件是不連續點構成的一個零測度集，這就完全解決了黎曼可積性的問題，勒貝格積分可以推廣到無界函數的情形當中，這個時候所得積分是絕對收斂的，后來又推廣到積分可以不是絕對收斂的，從這些就可以看出，勒貝格積分研究的范圍比起由柯西給出后來又由黎曼發揚的老積分定義更廣，這說明，實變函數論所研究的是更為廣泛的函數類。

自從維爾斯特拉斯證明連續函數必定可以表示成一致收斂的多項式級數，人們就認清連續函數必定可以用解析式表示出來，連續函數也必定可以用多項式來逼近，這樣，在實變函數論的領域里又出現了逼近論的理論，逼近論就是研究哪一類函數可以用另一類函數來逼近，以及逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出現的各種情況。

和逼近理論密切相關的有正交級數理論，三角級數就是一種正交級數，和逼近理論相關的還有一種理論，就是從某一類已知函數出發構造出新的函數類型的理論，這種理論叫做函數構造論。

從總體上來講，討論函數的可積性是實變函數論中最主要的內容，它包括勒貝格（Henri Leon Lebe-sgue）的測度、可測集、可測函數和積分以及少許更為普遍適用的勒貝格——斯蒂爾杰斯測度（Lebesgue-Stieltjes Measure）和積分的理論（見勒貝格積分），實變函數論中的積分是比黎曼積分更為普遍適用和更為有效的工具，例如微積分基本定理以及積分與極限變換次序，精美的調和分析理論（見傅里葉分析）就是建立在勒貝格積分的基礎上的，此外，還適用于一些特殊的積分，例如為討論牛頓一萊布尼茨公式而發現的佩隆積分（Perron integral）。

在函數連續性方面，實變函數論研究了定義在直線的子集（不必是區間）上函數不連續點的特征，還討論怎樣的函數可以表示成連續函數序列處處收斂的極限，引入了半連續函數，還引入貝爾函數（Baire func，tion），并討論它們的結構。

貝爾函數是由數學家R，L，貝爾于1899年提出的，他提出了如下的函數分類方法：以區間[031上的函數為例，[0.1]上的連續函數稱為0類函數，0類函數是序列點點收斂的極限函數，當它不是0類函數時，就稱為1類函數，1類函數也是序列點點收斂的極限函數，如果不是0類或1類的函數時，便稱為2類函數，這樣依次對每一個自然數n定義函數，可以引人n類函數的概念。

它們分別稱為x在f（x）處的右方上（下）導數，左方上（下）導數（統稱為Dini derivative），，這幾個數（可以是無限大）都相等且有限時，就稱[n，b]在x處是可導的。

在實變函數論中還需要考慮可導點集的特征、多元函數的微分問題以及其它的一些導數概念和不同導數之間的關系。

實變函數論不僅在現代數學，尤其是分析數學中有著廣泛的應用，而且它的理論和方法對于形成近代數學的其它分支，例如拓撲學、泛函分析有著直接的影響。