基于線段圖解決有關倍的問題的研究與實踐

胡建芳 陳亞峰

摘?要：在解決有關倍的問題時理清量與量之間的數量關系起著非常重要的作用，本文對教學“解決有關倍的問題”的過程中利用線段圖幫助學生理清數量關系并解決問題進行了研究和實踐。

關鍵詞：倍的問題;線段圖;數量關系

“解決倍的問題”是人教版三年級上冊第五單元的內容，教材上出現了兩類問題：求一個數是另一個數的幾倍（求幾倍數）;求一個數的幾倍是多少（求比較量）。而在我們實際解決有關倍的問題時，往往還會出現第三類問題：已知一個數的幾倍是多少，求這個數（求標準量）。這些問題看似簡單，但學生卻很容易出現“見倍就乘”或無從下手的情況，究其原因是沒有理清問題中“標準量”、“比較量”和“幾倍數”這三種量之間的數量關系。

數量關系是從一類有共同規律的數學問題中總結出來的，能夠揭示某些數量之間的本質聯系的數學概念。它能為學生在解決類似問題指引方向，提供基本方法，形成思維，幫助學生有效解決問題。

筆者認為，線段圖可以幫助學生快速而準確理清數量關系。線段圖是由一條或幾條線段組合在一起，利用線段的長短關系表示問題中抽象的數量關系的一種解題形式。線段圖有利于把抽象的概念形象化，幫助學生理清題目中的條件和問題，抓住它們之間的數量關系，成功解決難題。線段圖可以讓“倍的問題”中三種量的關系更加的直觀，三年級的學生以具體形象思維為主，數量關系又比較抽象，所以我們可以利用線段圖的直觀形象，幫助學生理解并分析數量關系。

一、動態演變，初識線段圖

理清問題中的數量關系是學生解決有關倍的問題的關鍵所在，因此我們要讓學生讀懂線段圖，了解線段圖中每一部分表示的意思，知道各部分之間的關系。

1.思考：圖示在學生思維發展過程中的變化及聯系

三年級的學生之前并沒有接觸過線段圖，這主要和學生的思維發展有關。學生的思維特點在小學階段是一個動態的發展：具體形象思維→抽象邏輯思維，但他們的抽象思維很大程度上仍然和直觀經驗相關聯，需要具體形象的幫助。

筆者對教材中出現三類圖示的運用情況進行了統計，發現示意圖通常出現在一年級至三上年級，高年級也有出現，但一般在“數學廣角”和“綜合實踐”課;色條圖只在二上年級出現過一次;線段圖是在三上年級解決“求一個數的幾倍是多少”時開始出現，并且在高年級成為學生解決問題中的有力工具。可見，圖示應用的改變也體現了學生思維發展的變化。

圖示是思維的具象表現，但不得不說，三種圖示還是有所不同：示意圖是最具象的一種圖示，學生最容易理解并且利用它解決問題，所以是學生在低段常用的解決問題的方法;色條圖是對示意圖的初步抽象，教材中使用不多，學生對于這種圖示并不熟悉;線段圖是對圖示的再一次抽象，對三年級的學生而言，線段圖的理解有一定的困難。

2.教學實踐：

針對學生在學習過程中對于色條圖和線段圖的理解有困難，我對這兩種圖示的呈現給予動畫演變的過程，即示意圖→色條圖→線段圖，動態的演變過程能讓學生將抽象的圖示與已經理解的具象的圖示聯系起來，幫助對抽象圖示的理解。

【教學片段：】

（1）示意圖解決問題

（課件出示數學信息，引導學生提出有關倍的問題：擦桌椅的有12人，掃地的有4人。擦桌椅的人數是掃地的幾倍？）

①引出示意圖，請學生描述對示意圖的理解（明確：一個○表示一個人）

②利用示意圖解決問題

問：你能看出擦桌椅的人數是掃地的幾倍嗎？怎么看的？（把掃地的4人看作一份，擦桌椅的就有這樣的3份，就是三倍。）也可以用圈一圈的方法，看出有這樣的3份。（課件演示圈一圈解決問題的過程）

（2）色條圖解決問題

①色條圖的認識

（利用課件動態演示呈現色條圖：）

問：你能從這個圖示中找到剛才的信息嗎？你能把剛才的信息填到這幅圖示中嗎？（“掃地的”旁邊一條長度表示4人，“擦桌椅的”旁邊一條表示12人）

提出：這樣的圖我們把它叫做色條圖，它的長短表示數量的多少。

②利用色條圖解決問題

問：怎樣才能從色條圖中知道擦桌椅的人數是掃地的幾倍？（用掃地的一條去下面比一比，看看有幾個這樣的一條？）

（3）認識線段圖

（將色條圖演變成線段圖：）

請學生根據自己的理解將信息填入線段圖中。

二、二次畫圖，感知數量關系

1.數量關系在線段圖中的體現

解決問題能綜合培養學生各方面能力，學生解決問題的過程中，有時候會遇到數學信息頗多的題目，那么學生往往會不知道從何開始分析題目，找不出其中的數量關系，特別是有些問題中是多個數量關系的疊加，因此利用線段圖，標注簡單的符號、簡潔的文字，讓學生直觀感知問題中單一的或多重的數量關系，從而得出解決問題的思路和方法。

在人教版的教材中，問題中的數量關系有單一數量關系以及由單一數量關系組成的多重數量關系，筆者對小學階段用線段圖來解決問題的數量關系進行了整理：

（1）體現單一數量關系的線段圖

以上線段圖基本上涵蓋了所有數量關系的不同形式，主要為和差關系、總分關系和倍數關系。當我們解決“小明有4個氣球，小紅有6個氣球，兩人共有多少個氣球？”這個問題時，我們就可以用①號線段圖來幫助學生理解題意，理清數量關系，解決問題;當我們解決“汽車每小時行駛60千米，2小時行駛了多少千米？”這個問題時，可以用④號線段圖來速度、時間和路程之間有“速度×時間=路程”的關系;④號線段圖還可以幫助學生解決“每箱有12瓶水，4箱共有多少瓶水？”這樣的問題，學生能夠在理解的基礎上提煉出數量關系：每箱的數量×箱數=總數;像⑦號線段圖既可以解決“求一個數的幾倍是多少”，也可以解決“求一個數的幾分之幾是多少”這類倍率問題。

（2）體現多重數量關系的線段圖

我們不難發現，這些能夠體現多重數量關系的線段圖里所包含的數量關系，都是兩個單一數量關系的組合，當然，若出現更復雜的問題也會包含更多個單一數量關系。這也說明線段圖可以幫助我們理清各類問題中的數量關系，學生分析各類問題都可以使用線段圖這個工具來分析題意，理清關系，突破問題的關鍵。

2.數量關系在線段圖中的形成

數學思維就是用數學思考問題和解決問題的思維活動形式。數學學習離不開思維，數學問題的解決需要通過思維來實現，學生畫圖的過程既是學生思維活動的過程，同時也是數量關系的建構過程。而對于一些已知條件比較多、關系比較復雜的問題，我們也可以將線段圖作為學生思考的媒介。

畫線段圖是從已有的數學信息出發，用線段來表示條件和問題，并用簡潔的文字、符號進行一一對應的標注。

例如：甲數是5，乙數是甲數的3倍，丙數比乙數多4，丙數是多少？

畫法：根據“甲是5”，可以用一條線段來表示甲;“乙數是甲數的3倍”，那么表示乙數的線段就有

3條表示甲數的線段那么長;再根據“丙數比乙數多4”，知道表示丙數的線段比乙數長一些。同時將條件和問題準確的填補上去（如右圖）。根據已有的數量和數量之間的關系來作圖的，每畫一步都體現其中兩個量的關系，學生在作圖的過程中不知不覺感知其中的數量關系：“甲數×3=乙數”和“乙數+4=丙數”，并建構出兩個關系之間的聯系：甲數×3+4=丙數，從而得出解決問題的思路。

3.教學實踐：

放手讓三年級的學生畫線段圖難度是比較大的，因此筆者在該部分以一問一答一畫的形式，讓學生說，教師板演畫圖的方式進行執教，為學生理清思路，感知不同的有關倍的問題中包含的幾個量的關系。

（1）第一次畫圖解決問題

【教學片段】

師：我們也來動手畫一畫，先畫什么？再畫什么？代表什么？

師：然后我們把信息標上去，一般情況下表示具體的人數我們標在線段的下面，“幾倍”表示兩個量之間的關系，我們標在線段上面。

師：現在我們來從線段圖中來解決這個幾倍問題，你是怎么想的？（就是求12里面有幾個4）

（2）第二次畫圖解決問題

【教學片段】

師：3倍一定對嗎？我們是不是要來檢驗一下，我們再來畫畫線段圖。

師：先畫什么？再畫什么？一樣長的一段說明什么？為什么畫3段？

師：這樣看來我們求4的3倍就是求3個4是多少？

兩次畫圖體現并解決了有關倍的兩類問題：求一個數是另一個數的幾倍，求一個數的幾倍是多少。本環節通過對前面的結果進行質疑，學生自然而然提出有關“求一個數的幾倍是多少”的問題，提出檢驗要求，使學生初步感受兩種問題之間存在著聯系。兩次畫圖，先畫都是“掃地的4人”，學生充分明白解決有關倍的問題第一要素是要找出“標準量”，體現對倍概念本質的理解，再根據先畫已知條件再畫問題的方式來逐步畫出比較量和幾倍數，若已知比較量求幾倍數，則先畫比較量再標注問題，若已知幾倍數求比較量，則先畫同樣長的幾段標準量的長度，再標注問題。在這樣的過程中，讓學生感知標準量、比較量和幾倍數這三種量存在著一定的聯系。

（3）在比較中提煉數量關系

比較法是數學學習中常用的方法，是思維發展的展現。讓學生對兩次畫的線段圖進行觀察比較，找到它們的聯系和區別。

【教學片段：】

師：剛才我們因為要檢驗畫了第二幅線段圖，現在請你比較兩幅線段圖，你有什么發現？

生：兩幅圖中的三個量已知的變成未知，未知的變成已知，但他們的關系也沒有變。師：什么樣的關系？生1：擦桌椅的人數÷掃地的人數=3倍。生2：掃地的人數×3倍=擦桌椅的人數生3：掃地的人數看成1份，擦桌椅的人數里有若干個掃地的人數。

通過這一環節的設置，學生能夠清楚的理解在有關倍的問題中有三種量：標準量（看作1份的量）、比較量（里面有若干個標準量的量）和幾倍數（表示另兩種量的倍比關系），這三種量之間有著固定的關系：即“比較量”里有“幾倍數”個“標準量”。

三、專項練習，豐富與倍有關的知識結構網

練習是我們課堂上的一個重要組成部分，學生在鞏固對倍本質的理解以及解決有關倍的問題都離不開練習這一基本活動。有效的練習不僅能使學生鞏固知識，發展學生的思維，也能有新的發現和運用，從而鞏固而豐富知識結構網。因此教師應根據教學內容和將要實現的目標設計一系列有效的練習。

【教學實踐】

1.獲取信息，編成應用題。

課件出示情境圖（右圖），請學生選擇合適的信息，提出有關倍的問題，編成一道應用題。

（1）獨立解決問題

（2）分析典型

①小鹿有18只，小猴有6只，小鹿的只數是小猴的幾倍？

②天鵝有8只，小兔的只數是天鵝的3倍，小兔有幾只？

（3）將信息填入線段圖中

請學生將兩題的信息填入空白信息的線段圖中

（4）分析解決問題

根據線段圖顯示的信息分析量與量之間的關系，理清關系，解決問題。

（5）對比兩幅線段圖

通過對比，發現兩組線段圖倍數關系一致，但一倍量不一樣。

本環節在教學過程中，有學生提出了這樣的問題：“小鹿有18只，天鵝有8只，小鹿的只數是天鵝的幾倍？”通過列式“18÷8=”，發現不能整除，這樣的問題超出了老師的預設，但我們不能進行冷處理，而應該有一定的教育機智，充分利用學生的課堂生成，通過追問來放大它的價值。這就是有余數除法，對于“18÷8=2……2”進行追問兩個“2”分別是什么意思？引出“一個數是另一個的幾倍多或少幾”的問題，使學生感受到前面學習的有余數除法和“倍”的問題之間的密切聯系，并且感知兩種量的關系可以是倍比關系和差比關系共存。此外，用線段圖來表示他們的關系，讓學生深刻感知線段圖對于呈現量與量之間關系的強大功能性。

線段圖的分析是一種數形結合的方法，讓學生將抽象的條件和問題轉化成形象的線段，能夠明確問題中的數量關系，這在教學“解決有關倍的問題”時起了很大的推進作用，學生兩次畫圖，經歷了數量關系的建構過程，通過對比提煉數量關系，理清有關倍的問題中標準量、比較量和幾倍數之間的關系。學生能夠體會線段圖強大的工具性功能，為將來利用線段圖解決更復雜的問題做鋪墊。

參考文獻：

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