希爾伯特：以質疑之聲指明數學研究的方向

柏華元

普魯士的首府柯尼斯堡鎮，因“柯尼斯堡七橋問題”（歐拉在1735年解決了這個難題）在18世紀聞名于數學界。到了19世紀后期，這個小鎮再一次名聲大震，因為這里誕生了一位數學大師，他就是大衛·希爾伯特。

1862年，希爾伯特出生于東普魯士的柯尼斯堡鎮，他的祖父和父親都是法官，母親是一位富商的女兒，對哲學、數學、天文學等略有研究。母親負責希爾伯特的啟蒙教育。有段時間母親對質數著了迷，就會拉著小希爾伯特，指著天上的星星，像講故事一樣給兒子介紹質數。慢慢地，希爾伯特也迷上了數學。在孩提時代，希爾伯特就了解到，古希臘人已經證明了“要想盡可能生成所有數字，就需要無窮多個素數”。上學后，他在深入地學習了數學的相關知識后猜測：如果將數字轉換成方程的話，結果應該會大不相同?？墒侨绾巫C明只有有限的方程才可用來生成某些有無窮多個解的方程組呢？這成為19世紀末數學家們面臨的一大挑戰。同時期的其他數學家都嘗試通過構建方程這種費時費力的方法來攻克這個難題。但是希爾伯特卻另辟蹊徑，雖然他無法構建出這樣的一組方程，但是他卻證明了這些有限的方程必然存在。這一觀點震驚了當時的數學界。希爾伯特的導師也心生懷疑：這個結論是不是來得太容易了？

這對當時正統派的數學理論研究者來說，可是一個不小的挑戰。如果人們無法看到有限的數據列表，就很難接受它的存在，即使有確鑿的證據證明它的存在，也很難讓人信服。那些仍固守法國傳統數學的數學家，只認同方程和顯式公式，很難從心里接受這樣一種觀點：有些東西雖然是看不見的，但確實是真實存在的。保羅·戈爾丹是該領域的專家，他這樣評價希爾伯特的發現：“這不是數學，這是神學?！毕柌匾廊粓允刈约旱挠^點，即使他那時才二十幾歲。最后，數學家們終于承認，希爾伯特是對的，就連戈爾丹也妥協讓步了。戈爾丹如此說道：“我相信，就算是‘神學’，也有其可取之處的。”在此之后，希爾伯特開始研究起數字來，他將那些數字形容為“一座難得的集美與和諧于一身的建筑物”。

1893年，德國數學學會邀請希爾伯特寫一份關于數論在19世紀末發展情況的報告。這對于一個剛剛三十出頭的年輕人來說，是一個艱巨的任務。在一百多年前，這門學科甚至都沒有形成一套完整的體系。高斯于1801年出版的《算術研究》一書，開拓了數論這片“沃土”。到了19世紀末，“數論之花”燦爛綻放。為了使這一學科的發展步入正軌，希爾伯特的老朋友赫爾曼·閔可夫斯基加入到他的陣營。他們在柯尼斯堡讀書時就認識了。閔可夫斯基在數論的研究上成績斐然，18歲時就斬獲了數學科學大獎。閔可夫斯基的加入，點燃了希爾伯特對素數的研究熱情。閔可夫斯基宣稱，通過他們的研究，素數一定會“搖曳生姿“起來。

希爾伯特的“神學”為他在歐洲數學界贏得了一席之地。1895年，德國數學家、時任哥廷根大學教授的菲利克斯·克萊因向他拋來了橄欖枝，來信希望他到哥廷根大學任教。希爾伯特欣然接受了邀請。在討論聘用希爾伯特任教一事的大會上，哥廷根大學的其他教職工都對克萊因的邀請和力挺表示質疑，紛紛猜測他是不是招來了一個毫無立場的“跟班兒”。克萊因向他們保證，希爾伯特絕不是那類人。他說：“我已經問過最難相處的人的意見了?！本驮谀悄甑那锾?，希爾伯特只身前往那座小鎮，他的靈魂導師黎曼就曾在那里任教。

不久，哥廷根大學的教職工們就意識到，希爾伯特并不滿足于對正統數學理論的研究。這個新同事的行為作派令那些數學家們大開眼界，震驚不已。其中一個人這樣寫道：“他簡直就是來攪局的。我聽說，有一天晚上，有人看見他在餐廳的后廚和學生們打臺球?！毕柌卦谠鹤永锛芷鹆艘粔K20英尺長的黑板，除了打理花圃和進行自行車炫技之外，其余的時間他就在黑板上演算數學問題。他特別喜歡聚會，經常將留聲機的最大唱針放到唱片上，大聲播放音樂。不過，與希爾伯特在數學上取得的成就相比，這些小怪癖顯得無足輕重。

1898年，希爾伯特將研究方向從數論轉到了幾何學上，他對一些數學家在19世紀提出的新幾何學觀點很感興趣。而一些數學家宣稱，這些新幾何學觀點違背了古希臘人提出的一條基本幾何公理。但希爾伯特堅信抽象數學中蘊含著“看不見的強大力量”。因此，一個物體有何物質實體是無關緊要的，而物體間有何關系，才是至關重要的。他開始研究隱藏在那些新幾何學問題背后的抽象結構和關系。希爾伯特曾經宣稱，如果用桌、椅、啤酒杯來分別代替點、線、面的話，這些幾何理論依然適用。這使得他一時名聲大振。早在一個世紀前，高斯就發現了這些有關新幾何學的結論，但是他并沒有將這些非正統的想法公之于眾。但是，他開始質疑歐幾里得提出的一個基本幾何公理，即關于平行線的存在性問題。歐幾里得曾經考慮過這樣一個問題：給出一條直線和線外一點，通過該點可以畫出多少條直線與原直線平行？對歐幾里得來說，答案似乎是顯而易見的，就是有且只有一條直線。16歲的高斯開始推測，可能有這樣一種幾何學，其中不存在平行線這樣的幾何圖形。除了歐幾里得的幾何學和這樣一種不存在平行線的新幾何學外，還可能存在第三類幾何學，其中可能存在不止一條平行線。如果真是那樣的話，那么對于這種幾何學來說，三角形內角和就不再是180°，這是希臘人不敢想象的。如果真的存在這樣的新幾何學，那么高斯想知道的是，到底用哪種方法才能最完美地描繪現實世界。古希臘人堅信，他們創建的模型就可以描述現實世界。但是高斯根本不能確定古希臘人的這種觀點是對還是錯。當對漢諾威王國進行地形勘測時，高斯就是利用哥廷根所采用的測量方法來驗證由三處山頂投射下來的光束所構成的三角形內角和是否不等于180°的。高斯認為光線在傳播路徑中會發生偏折?；蛟S，在三維空間發生的彎曲和地球表面的二維圖一樣。他想到了無限大的圓弧，例如，經度線是地球表面兩點之間最短的路徑。對這樣的二維幾何而言，不存在平行的經度線，因為所有的經度線都會相交于極點。之前沒人想到過在三維空間中會發生彎曲的情況。現在我們意識到，高斯觀察到的空間彎曲在歐幾里得開辟的幾何世界面前，只不過是“蚍蜉撼大樹”，僅觸及其一點皮毛罷了。到了19世紀30年代，高斯提出的新幾何學終于出現在公眾視野。

到了希爾伯特時期，這種學說開始登上數學舞臺，以一種更加抽象的方法完美地“描繪”數學世界。一些數學家聲稱，任何不滿足歐幾里得平行線假設的幾何學，必定存在某些內在的矛盾，而這種內在矛盾會導致該幾何學體系的瓦解。希爾伯特在探究這種可能性的過程中，發現非歐幾何和歐氏幾何之間存在較強的邏輯關系。他發現，當非歐幾何存在矛盾時，歐氏幾何也存在這種矛盾。這也算取得了一定進步。希爾伯特的發現表明，兩種幾何學，一損俱損。但是之后，希爾伯特發現了一個令人不安的事實：沒有人可以真正證明歐氏幾何不存在內在矛盾。

希爾伯特開始研究，如何證明歐氏幾何是有邏輯的。盡管兩千多年來沒人發現歐氏幾何有什么內在矛盾，但也不能說不存在矛盾之處。希爾伯特要做的第一件事就是從公式和方程的角度重新解釋幾何學。笛卡兒創立了解析幾何，被18世紀的法國數學家們廣泛接受。利用公式來描述點線關系，可以將幾何簡化成代數，因為用幾個數字就可以表示坐標系里的一個點。數學家們相信數論不存在矛盾之處。因此，希爾伯特希望借助將幾何替換成數字的方法，解決歐氏幾何是否存在矛盾這一問題。

然而，還沒等他找到以上問題的答案，希爾伯特就發現了一個更加令人不安的事實：沒有人能真正證明數論本身不存在矛盾之處。對希爾伯特來說，這真是當頭一棒。數個世紀以來，無論從理論上還是從實踐上，數學家們在運用數論的過程中，都沒有發現什么內在矛盾，因此逐漸將其視為金科玉律?！坝赂蚁蚯?，信念與你同在?！边@是18世紀的法國數學家讓·勒朗·達朗伯對那些質疑“數學的基礎”的人們給出的有力回答。數字之于數學家，好比有機體之于生物學家，都是真實存在的。數學家樂此不疲地借助這些假設（而他們都認為這是不證自明的數字真理）進行推理。從來沒有人想過，這些假設可能存在矛盾之處。

希爾伯特在研究中提出了質疑：數學的基礎是什么？這么重要的問題，一旦提出來就不可能置之不理了。希爾伯特的質疑，標志著一個數學新時代的來臨。數學不再只是其他科學研究的工具，而成為一門探索理論、追求真理的獨立學科。希爾伯特對“數學的基礎”這一問題的思考，給他帶來了一個從事抽象數學實踐的機會。他提出的新方法使他在20世紀聲名鵲起。

在1899年即將接近尾聲時，一個絕好的機會擺在希爾伯特面前，他終于可以向世人描述這樣一幅畫面：他提出的新思想將會給幾何學、數論和數理邏輯帶來一個翻天覆地的變化。一天，希爾伯特收到了來自國際數學家大會的邀請，希望他明年能去巴黎參加大會，并在會上發表重要演講。對于一個不滿40歲的數學家來說，這是至高無上的榮譽。

在如此重大的場合，要演講些什么內容呢？希爾伯特犯難了。一篇好的演講稿既要做到令人耳目一新，又要合乎時宜。希爾伯特想到能否在演講中暢想、展望數學的未來呢？他開始就這一想法征求朋友們的意見。要知道，這在當時是不同尋常的做法，且違背了那條不成文的規定：只有完整的、系統化的思想，才能公開發表。打破由那些公認的定理構筑的安全屏障，去暢想不確定的未來，這是需要極大的勇氣的。但是，希爾伯特不懼爭議。最后，他決定帶著那些尚未得到證明的問題，去挑戰數學界的傳統觀念。

然而，希爾伯特心里也不免打起了鼓：在這樣的場合，發表這樣一種前衛的演講，是明智之舉嗎？或許他也應該隨波逐流，講一講他所取得的研究成果，而不是談那些他還沒有完全解決的問題。由于拖延了時間，他錯過了提交演講報告題目的最后期限。因此，他的名字并沒有出現在第二屆國際數學家大會的演講者名單上。到了1900年夏天，朋友們都擔心他就要與這個表達自己想法的絕佳機會失之交臂了。但是有一天，他們都在辦公桌上發現了希爾伯特的演講稿。“數學問題”這幾個大字，赫然出現在他們的面前。

希爾伯特相信，問題是數學的命脈，而對問題的選擇更要慎之又慎。他寫道：“一個數學問題要夠難，才能引起我們的關注;但是又不能太難，難到完全高不可攀，反過來嘲笑那些徒勞無功的人們。它要能指引我們穿過一條條迷宮般的路徑，尋找隱藏在其中的真理，并能讓我們最終在得到答案后獲得成功的喜悅?！彼岢龅?3道難題，都是按照這一嚴苛標準精挑細選出來的。希爾伯特在演講中向數學探索者們提出了新的挑戰。

19世紀末期，一位杰出的生理學家埃米爾·杜布瓦一雷蒙提出：我們對自然的認識具有局限性。這在許多研究領域都產生了巨大的影響。哲學圈里有一個流行語就是：“我們現在不知道，將來也不會知道。”但是，希爾伯特在新世紀的愿望就是掃除這類悲觀論調。他在介紹完23道數學難題后，發出令人熱血沸騰的吶喊：“要相信，每個數學問題都是可以解決的。這種信念對數學工作者來說，是一種莫大的動力。我們能聽到，有一個聲音在不停地呼喚：問題就在那兒，等著你們去尋找答案。你一定能找到答案，這是因為，對于數學來說，沒有什么是不可知的?！?/p>

希爾伯特所提的前兩個問題，就涉及那些一直困擾他的基本問題，而其它問題則覆蓋數學領域的方方面面。有些是開放式的，并非有明確答案的問題。其中一個問題還涉及黎曼的猜想，那是物理學的基本問題，最終只能用數學知識來解決。

第五個問題源于黎曼秉承的信念：數學的不同分支，不論是代數、分析還是幾何，都是緊密相連的，不能將它們分離開來，只去理解某一分支。黎曼認為方程的幾何性質可以用這些方程定義的幾何圖形推斷出來。數學上有這樣一個說法：代數和分析必須對幾何“敬而遠之”，因為幾何會使人誤入歧途。要想打破這個教條，是需要一定的勇氣的。這也是諸如歐拉和柯西等數學家為什么會如此反對利用符號來描述虛數的原因。對他們而言，虛數就是諸如x=-1之類方程的解，無需再增加令人迷惑的符號了。但是對黎曼來說，這些學科之間顯然是有聯系的。

在這23道難題之中，希爾伯特提到了費馬大定理。盡管那時的公眾普遍認為，這個問題是數學史上一個偉大的未解之謎，可讓人奇怪的是，在希爾伯特的問題中，這個問題卻未占一席之地。在希爾伯特看來，這是一個極為特別又無足輕重的問題。高斯也持相同的觀點。他宣稱，人們可以選擇一系列其它方程，并詢問這些方程是否有解。費馬選擇的方程則并沒有什么特別之處。

希爾伯特從高斯對費馬大定理的評論中獲得了靈感，提出了第十問：是否存在一種算法（類似于計算機軟件那樣的數學程序），可以讓人在有限的時間內判斷出一個方程是否有解。希爾伯特希望這個問題能將數學家們的注意力從具體問題轉向抽象問題。高斯和黎曼是他的榜樣，他們為素數研究提供了一個新視角。從此，數學家們不再拘泥于研究一個特定數字是否為素數，而是從整體上去研究有關素數的問題。希爾伯特希望他提出的這一問題也能產生這樣的影響。

正如希爾伯特的好友閔可夫斯基所評價的那樣：“毫無例外，世界上所有的數學家都會閱讀你的演講稿。到時候，你對年輕數學家的吸引力就更大了?！毕柌馗矣诖蚱瞥Ｒ?，發表了這樣一篇演講稿，使其成為20世紀新數學思想的奠基人。閔可夫斯基相信，這23個問題的提出，將會對國際數學界產生巨大的影響。他對希爾伯特說：“你真的觸及了20世紀所有的數學問題?！?/p>

在希爾伯特提出的眾多開放式問題中，有一個與眾不同，它就是第八個問題：證明黎曼假設。在一次采訪中，希爾伯特談到，他相信黎曼假設絕對會成為數學史上最重要的問題。在此期間，曾有人向他請教：未來最偉大的科技成就是什么？他幽默地答道：“是到月球上去抓蒼蠅?！币驗橐獙崿F這一目標，必須解決一系列的技術難題。這意味著要克服人類面臨的幾乎所有困難。

他相信，證明黎曼假設之于數學，就好比到月球上抓蒼蠅。當希爾伯特提出把黎曼假設作為第八個問題后，他進一步解釋，完全理解黎曼的素數公式，或許能帶領我們進入一個新領域。在那兒，我們能揭開素數的許多其它秘密。他認為黎曼假設的證明熱潮具有雙重意義：一方面，它預示著數學史上一個時代的謝幕;另一方面，它將為我們打開更多扇門。

希爾伯特相信，距離證明黎曼假設的那一天不會太久。在1919年的一次演講中，他樂觀地說道，自己能活著看到有人證明出黎曼假設，或許臺下最年輕的觀眾還能有幸見證費馬大定理的證明。但是，他又大膽地預測，或許在場的所有人都不能活到親眼見證第七個問題的證明——2的根號1次冪是否為某個方程的解。希爾伯特在數學上極有天賦，但若論預測能力，則稍顯遜色。不到10年的時間，他的第七個問題就被攻克了。1919年聽過希爾伯特演講的年輕畢業生，見證了懷爾斯對費馬大定理的證明。在過去的幾十年里，盡管人們在證明黎曼假設上已取得了可喜的成績，但是就算希爾伯特從墳墓中醒來，黎曼假設可能依然無解。

有一次，希爾伯特仿佛看到那一天離他不遠了。一天，他收到一個學生寄來的一篇論文，該學生聲稱自己證明了黎曼假設。沒多久，希爾伯特就發現了證明中存在的一個漏洞。但是，他被其采用的證明方法深深吸引了。不過可惜的是，這個學生在一年之后就去世了。希爾伯特對這個年輕人提出的想法贊賞有加，并希望有一天可以促使這個偉大的假設得到證明。他說：“如果你愿意的話，可以考慮在虛數上定義一個函數……”就這樣，希爾伯特投入到錯誤的證明中，使這個數學問題偏離了原來的正確軌道。不過，這完美地詮釋了人們對數學家的刻板印象：數學家往往會與現實社會脫節。不管這個故事是真是假，但都是可信的。

在希爾伯特發表演講后，黎曼假設很快就進入了公眾視野。如今，它被譽為數學史上最偉大的未解之謎。盡管希爾伯特一心想證明這個假設，最終卻未能成功，但他提出的新課題對20世紀的數學產生了深遠的影響。就連他提出的物理學問題以及關于數學公理的基本問題，也在20世紀末推動了人們對素數問題的研究。